一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的平方根是（ ）A．
B．﹣C．±D．±
2．（3分）三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）A．5
B．6
C．11D．16
3．（3分）下列等式正确的是（ ）A．
4．（3分）实数
B．，0，
C．，3.14159，
D．，
，0.1010010001…（相
邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有（ ）A．2个
B．3个C．4个
D．5个
5．（3分）如图，下面说法错误的是（ ）
A．∠1与∠C是内错角B．∠2与∠C是同位角C．∠1与∠3是对顶角D．∠1与∠2是邻补角6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
③两直线平行，内错角相等
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离A．1个
B．2个C．3个
D．4个
7．（3分）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C．如图3，测得∠1=∠2
D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°
8．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
﹣|a+b|
A．bB．﹣2a+bC．2a+bD．2a﹣b
9．（3分）如图，现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，那么∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△
CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（ ）
A．71°B．64°C．80°D．45°
11．（3分）如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
12．（3分）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点
E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．∠F的度数为（ ）
A．120°
B．135°C．150°D．不能确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ．
14．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD=132°，则∠EOC= °．
15．（3分）若x、y为实数，且满足|2x+3|+．
=0，则xy的立方根为
16．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于10cm，则四边形ABFD的周长等于 ．
17．（3分）如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ．
18．（3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]
=1，现对72进行如下操作：72
[
]=8
[
]=2
[
]=1，这样对72只需进行3次操
作后变为1，类似地：
（1）对81只需进行 次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）19．（8分）计算：（1）|
﹣1|﹣|
﹣2|+|
﹣
|
（2）
20．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD=90°（1）若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：4，求∠AOF的度数．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大小．（用含α、β的代数式表示）
22．（8分）如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠CDO=62°，求∠DOF的度数．
23．（8分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，判断∠C与∠AED的大小关系，并说明理由．
24．（8分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）当∠A为70°时，∵∠ACD﹣∠ABD=∠ ∴∠ACD﹣∠ABD= °
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD﹣∠A1BD=（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1= °；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系 ；
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F= ．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
2017-2018学年天津市南开区七年级（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的平方根是（ ）A．
B．﹣C．±D．±
【考点】21：平方根．
【分析】依据平方根的定义回答即可．【解答】解：∵（±）2=，∴的平方根是±．故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（3分）三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）A．5
B．6
C．11D．16
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】设此三角形第三边的长为a，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设此三角形第三边的长为a，则10﹣4＜a＜10+4，即
6＜a＜14．故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
3．（3分）下列等式正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
【考点】24：立方根；22：算术平方根．
【分析】原式各项利用立方根及算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：A、原式=
，错误；
B、原式=﹣（﹣）=，错误；C、原式没有意义，错误；D、原式=故选：D．
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（3分）实数
，0，
，3.14159，
，
，0.1010010001…（相
=4，正确，
邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有（ ）A．2个
B．3个C．4个
D．5个
【考点】26：无理数；22：算术平方根；24：立方根．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③
含有π的数，结合所给数据进行判断即可．
【解答】解：在所列实数中无理数有1之间依次多一个0）这3个数，故选：B．
，，0.1010010001…（相邻两个
【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
5．（3分）如图，下面说法错误的是（ ）
A．∠1与∠C是内错角B．∠2与∠C是同位角C．∠1与∠3是对顶角D．∠1与∠2是邻补角
【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角；J2：对顶角、邻补角．【分析】依据内错角、同位角、对顶角、邻补角的定义回答即可．【解答】解：A、∠1与∠C是内错角，故A正确，与要求不符；B、∠2与∠C是同旁内角，故B错误，与要求相符；C、∠1与∠3是对顶角，故C正确，与要求不符；D、∠1与∠2是邻补角，故D正确，与要求不符．故选：B．
【点评】本题主要考查的是内错角、同位角、对顶角、邻补角的定义，掌握相关定义是解题的关键．
6．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补③两直线平行，内错角相等
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离A．1个
B．2个C．3个
D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义判断即可，【解答】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，①是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，②是假命题；两直线平行，内错角相等，③是真命题；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，④是真命题；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，⑤数假命题；故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°【考点】J9：平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解答】解：A、当∠1=∠2时，a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a∥b；C、∠1=∠2不等判定a，b互相平行；D、由∠1+∠2=180°可知a∥b；故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
8．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
﹣|a+b|
A．bB．﹣2a+bC．2a+bD．2a﹣b
【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【分析】直接利用数轴得出a＜0，a+b＜0，进而化简得出答案．【解答】解：原式=﹣a﹣[﹣（a+b）]=﹣a+a+b=b．故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
9．（3分）如图，现将一块三角板的含有60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，那么∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∵∠1=2∠2，∴∠1=2∠3，∴3∠3+60°=180°，∴∠3=40°，∴∠1=2×40°=80°，故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE
度数为（ ）
A．71°B．64°C．80°D．45°【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．【解答】解：
由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=26°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，∴∠CDE=71°，故选：A．
【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．
11．（3分）如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．150°C．120°D．100°
【考点】JA：平行线的性质；J8：平行公理及推论．
【分析】过C作CQ∥AB，得出AB∥DE∥CQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项．【解答】解：过C作CQ∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CQ，∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°﹣30°=80°，∴∠E=180°﹣80°=100°，故选：D．
【点评】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
12．（3分）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点
E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．∠F的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．不能确定
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°﹣90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°﹣90°=45°，
∴∠F=180°﹣（∠FAD+∠FDA）=180﹣45°=135°．故选：B．
【点评】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然
后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： 垂线段最短 ．
【考点】J4：垂线段最短．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．
14．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD=132°，则∠EOC= 42 °．
【考点】J3：垂线；J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角相等可得∠COB=132°，再根据垂直定义可得∠EOB=90°，再利用角的和差关系可得答案．【解答】解：∵∠AOD=132°，∴∠COB=132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°，
∴∠COE=132°﹣90°=42°，故答案为：42．
【点评】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等．
15．（3分）若x、y为实数，且满足|2x+3|+﹣ ．【考点】24：立方根；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．
【解答】解：∵|2x+3|+∴2x+3=0且9﹣4y=0，
=0，
=0，则xy的立方根为 解得：x=﹣、y=，
则===﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．
16．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，若△ABC的周长等于10cm，则四边形ABFD的周长等于 12cm ．
【考点】Q2：平移的性质．
【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1，AC=DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，∴AD=CF=1，AC=DF，
∴四边形ABFD的周长=AB+（BC+CF）+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周长=10，∴AB+BC+AC=10，
∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．故答案为：12cm，
【点评】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
17．（3分）如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ③④ ．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故答案为③④．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
18．（3分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[=1，现对72进行如下操作：72
[
]=8
[
]=2
[
]=1，这样对72只需进行3次操
]
作后变为1，类似地：
（1）对81只需进行 3 次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】（1）根据运算过程得出[
]=9，[
]=3，[
]=1，即可得出答
案．
（2）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）∵[
]=9，[
]=3，[
]=1，
∴对81只需进行3次操作后变为1，故答案为：3．
（2）最大的正整数是255，理由是：∵[
]=15，[
]=3，[
]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[
]=16，[
]=4，[
]=2，[
]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）19．（8分）计算：（1）|
﹣1|﹣|
﹣2|+|
﹣
|
（2）
【考点】2C：实数的运算．
【分析】（1）首先利用绝对值的性质计算绝对值，然后再计算实数的加减即可；
（2）本题涉及开立方、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（1）原式===2
﹣1﹣2+﹣3；
﹣
，
﹣1﹣（2﹣
）+
，
（2）原式=0.5﹣2﹣=﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD=90°（1）若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：4，求∠AOF的度数．
【考点】J2：对顶角、邻补角；IJ：角平分线的定义．
【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）∵∠COF与∠DOF是邻补角，∴∠COF=180°﹣∠DOF=90°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC=90°﹣∠AOF=90°﹣50°=40°．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°．∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=70°；（2）∠BOD：∠BOE=1：4，
设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF=90°﹣∠AOC=90°﹣20°=70°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度数．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得
大小．（用含α、β的代数式表示）
【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．
【分析】（1）由∠B=35°，∠ACB=85°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由PE⊥AD，可得∠DPE的度数，从而求得∠E的度数．（2）根据第一问的推导，可以用含α、β的代数式表示∠E．
【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∠B+∠ACB+∠BAC=180°．∴∠BAC=60°．∵AD平分∠BAC．∴∠DAC=30°．
∵∠ACB=85°，∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°．∴∠PDE=65°．又∵PE⊥AD．∴∠DPE=90°．
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°．∴∠E=25°．
（2））∵∠B=α，∠ACB=β，∠B+∠ACB+∠BAC=180°．∴∠BAC=180°﹣α﹣β．∵AD平分∠BAC．
∴∠DAC=（180°﹣α﹣β）．
∵∠ACB=β，∠ACB+∠DAC+∠PDE=180°．
∴∠PDE=180°﹣β﹣（180°﹣α﹣β）=90°又∵PE⊥AD．∴∠DPE=90°．
∵∠PDE+∠DPE+∠E=180°．
．
∴∠E=180°﹣90°﹣（90°）=．
【点评】本题主要考查三角形的内角和的应用，关键是可以根据题意，灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．
22．（8分）如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠CDO=62°，求∠DOF的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BOD，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据垂直的定义求出∠EOF=90°，再根据∠DOF=∠EOF﹣∠DOE代入数据计算即可得解．【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠BOD=180°﹣∠CDO=180°﹣62°=118°，∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=×118°=59°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，
∴∠DOF=∠EOF﹣∠DOE=90°﹣59°=31°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的对，垂线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23．（8分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，判断∠C与∠AED的大小关系，并说明理由．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【分析】相等，根据同角的补角相等可得∠2=∠EFD，则AB∥EF，得∠3=∠ADE，证明DE∥BC，可得结论．【解答】解：∠C=∠AED，理由是：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠EFD=180°，∴∠2=∠EFD，∴AB∥EF，∴∠3=∠ADE，∵∠B=∠3，∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，∴∠C=∠AED．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定及平角的定义，熟练掌握平行线的判定是关键．
24．（8分）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．
（1）当∠A为70°时，∵∠ACD﹣∠ABD=∠ A ∴∠ACD﹣∠ABD= 70 °
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD﹣∠A1BD=（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1= 35 °；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系 ∠An=∠A ；（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F= 25° ．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；
②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【考点】L3：多边形内角与外角；K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得
∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律；（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知
2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．【解答】解：（1）当∠A为70°时，∵∠ACD﹣∠ABD=∠A，∴∠ACD﹣∠ABD=70°，
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，∴∠A1CD﹣∠A1BD=（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1=35°；
故答案为：A，70，35；
（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠A1=80°，∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2，即∠BAC=22∠A2=80°，∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠An，即∠An=故答案为：∠An=
∠A．
∠A，
（3）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F，2∠F=∠A+∠D﹣180°，
∴∠F=（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A+∠D=230°，∴∠F=25°；故答案为：25°．
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．
∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD=∠BAC，（1分）
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，
∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣∠BAC，∴∠Q+∠A1=180°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角和角平分线的定义，三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
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