2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示

广州市从化中学 宋发奎

自2004年广东省自主命题以来，广东高考数学试题从04、05年的探索

期到06年的适应期，07年迎来了她的成熟期和创新期。看完全卷，使人眼前一亮，改革步伐之快让人耳目一新，是近几年来难得的好卷。这份试卷可用“试题新颖，难度略降，紧扣课标，考查能力”来概括，命题风格向上海高考题靠近。以下谈谈试卷特点和对今后教学的启示。

一、

试题特点

1． 试题新颖，考查能力

全卷新颖题很多，如第4题是一道分段函数图像题，既考查了函数的图

像也间接考查了分段函数的解析式，定义域、值域，同时还是一道实际应用题。第6题是统计与算法相结合的好题，同时也是图表信息题，要求学生从图表中获取信息。第7题是一个优化问题，是线性规划的变种题，线性规划已经考过多年，确实要变一变，今年的优化问题，课本中找不到同类型的练习题，此题考查学生分析问题解决问题的能力。第8题是“新定义”问题，考查学生的阅读理解能力、自学能力、知识迁移能力，06年也有些题，但今年此题更好，只需运用一般与特殊的关系，不难选出正确答案。第12题是填空题中的“爬坡题”，是一道立体几何中的计数问题，同时也是一个归纳推理问题，比06年的“垒球”问题难度稍小一些，这样更合理。

第一大题是三角求值题，为送分题。已知条件为：在直角坐标系中，给

定三点的坐标，求一个角的三角函数值问题，考查余弦定理。既容易又不落俗套。

第二大为《统计》中的求线性回归方程问题，在全国首创，新课标增加

了统计的内容，此题体现了新课标的要求，考查了新课标要求的运算能力和数据处理能力。这种题型出乎许多老师的意外，试题并不难，只相当于课本例题，高三复习一般都很少把其作为重点来复习，正因为如此，这道题就考平时学习的基本功了。

1

第18题为解析几何题，难度比０６年明显下降，这也体现了新课程的特

点，在新课程中增加了许多学习内容，当然传统的重点内容如三角、解析几何的学习时间比以前减少，要求也有所降低。

第19题为立体几何题，为折叠问题中的最值问题，并用导数求解，第三

问为用向量方法求异面直线所成的角。这题集折叠问题、最值问题和导数为一体，体现了函数思想，淡化了推理论证，符合新课标对立体几何处理的思想。

第20题为含参二次方程的零点问题。新标把二次函数、函数与方程作为

函数的重点，这道题应运而生，此题考查了零点定理、数形结合思想和分类讨论思想。

第21题为递推数列问题，用到函数、导数等知识。此题为压轴题，比去

年的难度有所下降。第一问为送分题，第二问是证明an，可用分析法或数学归纳法证明，第三问转化为等比数列求和，但要发现并证明此数列为等比数列要有很高的数素养和变换技巧。此题考查推理论证能力和化归思想。

2.紧扣新课标，全面考查各种数学能力和应用意识、创新意识

今年是新课标实施后的第一次高考，人们都在猜测今年究竟是按新《课

标》要求命题？还是按原《大纲》命题？或是过渡一年？07年试题明确地告诉我们，试题按新课标要求命题。

(1)在内容上，新课标中被删除或降低要求的内容也相应不再出现或降低

了要求。如降低要求的有：、三角函数、立体几何中的推理论证、解析几何等，不再出现的内容如：反函数、极限、坐标平移、定比分点等内容。而新增内容如函数与方程，统计、算法等在大题和小题中，得到充分的体现。

(2)新课标要求的各种能力在试题中得到充分的体现。如第19题，考查空

间想象能力，第17题考查运算求解能力和数据处理能力，21题考查推理论证能力，第12、21题考查了抽象概括能力。在注重数学应用方面，第4、6、7、17题，三道小题和一道大题为实际应用问题，改革力度之大让人惊讶。第7、8、21题等新题型考查了学生的创新意识和创新能力。第4、6、17题，考查了学生

2

的画图、识图能力。

3．试题梯度明显，区分度高

选择题可分为二个层次，前六题为第一层次，主要考查基础知识和基本

技能，没有复杂的运算，前四题一看就能得出结果。第7、8两题为第二层次，没有繁难运算，考查思维能力。填空题也分两个层次，第12题为第二层次，其他题为第一层次，各层次试题的难度与选择题难度一样。解答题可分为三个层次，前三题为基础题，只相当于课本难度，第19、20题为第二层次，属中档题，考查数学思想和方法和数学能力。第21题为第三层次，属压轴题，考查推理论证能力和化归能力。全卷梯度合理，区分度好。

4．试卷结构有所创新

理科选择题由去年的10题变为今年的8题，填空题由去年的4题变为今

年的6题，减少选择题，增加填空题有利于提高试卷的信度。填空题的设问也作了调整，有三道题是一题两空，一道题为一题三空，这样增加了填空题的区分度，提高了得分率。解答题的题数、分值没有变化，但高考从没考试过的新题型比较多，学生普遍感觉试题新。

5． 文理试题有别，内容相差不大，小题有所区别，大题区别不大 今年广东卷是首次文理分卷，人们普遍关注文理究竟有多大区别。在试

卷结构方面，文科选择题10题，填空题4题，在选择、填空共14道题中，文理共用题有8题(含一道选做题)，文科与理科不同的题有7题，其中有4题是姊妹题，考同一内容，难度相差不大，还有一题是因为理科在选做题中有《不等式选讲》而文科没有，文科多了一道用导数求函数单调区间的小题，文理在小题上真正在难度上有区别的只有两题，文科将理科选择题中第8题(新定义题)和填空题中第12题(归纳推理题)变成了一道函数题和立几判断题，由第二层次降为第一层次，所以文科小题中基本上都是基础题。在大题中，第一题是三角题，文理为姊妹题，理科题本来就很容易，文科更容易。唯一有区别的是立体几何题，文科是已知几何体的三视图，求体积和侧面积。位于第二题，属于容易题，理科是折

3

叠问题中的最值问题，位于倒数第三题，属中难度题。统计大题、解析几何大题和函数大题则完全一样，理科的压轴题共有三问，去掉第二问，保留第一问和最难的一问后作为文科倒数第二题，所以在大题中，除立体几何外，其他题难度下降不大。其实文科题应将理科压轴题改为常规等差、等比数列题也许效果会更好。

二、对今后的教学启示

1．学习新《课标》、钻研新《课标》、落实新《课标》。新《课标》不仅

是高一、高二上新课时的行动指南，更是高三复习的行动指南。

2．抓基础，精讲精练，培养能力。应对这种试题，题海战术显然不能奏

效，只有精讲精练，让学生扎实打好基础，把时间还给学生，让学生多思考，在日常教学中注重培养数学的运算能力、数据处理能力、空间想象能力和推理论证能力。只有把培养学生的思维能力放在首位，才能以不变应万变。 平时的训练要控制好难度和比例，选择、填空题以基础题为主，大题以基础题和中难度题为主。

3．重视数学思想方法的渗透，注重培养学生的应用意识和创新意识。在

教学中注重渗透函数与方程思想、数形结思想、分类讨论思想和化归思想等数学思想方法。数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，才算真正学明白了数学。

三、高考揭榜后的反思

本文是在高考成绩没有放榜时写成，现结合高考结果，谈谈有关问题。

据了解，今年广州省全省理科平均分为７９分，文科平均分是８６分，文科均分比理科高，除试题难度不同外，还有题型不同的原因，选择的得分率比填空题的得分高。广州市A组理科１０４分，文科１０８分，B组理科９４分，文科９９分。

附：

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

参考公式：锥体的体积公式V13sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)．

4

如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)．

nˆ 用最小二乘法求线性同归方程系数公式bxyii1ninxyˆx． ˆyb,a2i1xinx2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求的． 1．已知函数f(x)

11x的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN B．xx1 C．x1x1

D．

A．xx1

2．若复数(1bi)(2i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝

A．2

2 B．

1212 C．12 D．-2

3．若函数f(x)sinx

A．最小正周期为

2(xR),则f(x)是

的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为2的偶函数

4．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

A． B． C． D．

25．已知数an的前n项和Snn9n，第k项满足5ak8，则k=

A．9 B．8 C．7 D．6

6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要

5

统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A．i<6 B． i<7 C． i<8 D． i<9

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为

A．15 B．16 C．17 D．18

8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是

A．（a*b）*a=a B．［a*(b*a)］*(a*b)=a C．b*(b*b)=b D．(a*b)* ［b*(a*b)］=b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只

能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120，则aa＋ab ． 11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．

12．如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定

的直线共有 条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝ 图4 ; f(n)＝ ．（答案用数字或n的解析式表示）

13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x2cosxt3C(参数tR)(参数0，2)，，圆的参数方程为则圆C的y3ty2sin22圆心坐标为 ，圆心到直线l的距离为 ． 14．（不等式选讲选做题）设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝ ;若f(x)2，则x的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线

AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则

6

∠DAC＝ ，线段AE的长为 ．

图5 16．（本小题满分12分）

17．(本题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生 产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x y

3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)． （1）若c5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

（1）请画出上表数据的散点图；

ˆaˆ； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybx

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性 同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：32.5435464.566.5）

18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆

xa222y9＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．

（1）求圆C的方程．

（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分14分）

如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记

BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积．

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

7

（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

20．（本小题满分14分）

已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a．如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)x2x1，（），f(x)是fx、是方程f(x)0的两个根的导数，设a11，an1an（1）求、的值；

（2）证明：任意的正整数n，都有an； （3）记bnln

ananf(an)f(an)，(n1,2,)．

，(n1,2,)，求数列{bn}的前n项和Sn．

2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科）参考答案

一、选择题

题号 答案

二、填空题

9． 10． 11．x9211541 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 12．

nn12，

nn1n22

13．（0，2），22 14．6，1,1 15．30 ，3

三、解答题

16．解：（1）∵A3,4，B0,0，

8

∴AB5，sinB45．

当c5时，BC5，AC53204225，

根据正弦定理，得BCsinAACsinB，

∴sinA255．

（2）∵A3,4，B0,0，Cc,0， ∴AB5，ACc3242，BCc．

根据余弦定理，得cosAAB2AC2BC22ABAC．

若A为钝角，则cosA0，即AB2AC2BC20，

即52c32422c0，

解得c253．

17．解：（1）如下图

7654能耗3210012345产量n（2）xiy＝32.5＋43＋54＋64.5＝66.5，

i1i

9

x＝

y＝

n345644222＝4.5，

＝3.5，

22.5344.5xii1345686，

0.7，

2b＝

66.544.53.58644.52a＝3.5－0.74.5＝0.35．

故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35．

（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7100＋0.35＝70.35，

故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨）

18．解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m<0，n>0），则该圆的方程为xmyn8，

mn222已知该圆与直线y＝x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则＝22．

即mn＝4 ① 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m2＋n2＝8． ② 联立方程①和②组成方程组解得

m222x2y28． ，故圆的方程为n2（2）a＝5，∴a＝25，则椭圆的方程为

2

x225y291．

其焦距c＝259＝4，右焦点为（4，0），那么OF＝4．

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆x4y8与（1）所求的圆的交点数．

22通过联立两圆的方程解得x＝即存在异于原点的点Q（

4545，y＝

125．

，

125），使得该点到右焦点F的距离等于OF的长．

19．解：（1）∵EFAB，∴EFPE．

又∵PEAE，EFAEE，且PE在平面ACFE外， ∴PE平面ACFE．

10

∵EFAB，CDAB， ∴EFCD． ∴

EFCDxBDEFCDBDx66x．

所以四边形ACFE的面积

SACFESABCSBEF12663121366x962612x． 6x．

32∴四棱锥PACFE的体积VPACFE即Vx36x636SACFEPE36x363． x（0x36）（2）由（1）知Vx36令Vx0，解得x6．

612x．

2∵当0x6时，Vx0，当6x36时，Vx0， ∴当BEx6时，Vx有最大值，最大值为V6126．

（3）（解法1）过点F作FGAC交AE于点G，连接PG，则PFG为异面直线AC与PF所成的角．

∵ABC是等腰三角形， ∴GBF也是等腰三角形． 于是FGBFPF从而PGPEGE22BEEF22242，

BEBE262．

PFFGPG2PFFG222在GPF中，根据余弦定理，得cosPFG故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为

117．

7（解法2）以点E为坐标原点，向量EA，EF，EP分别为x，y，z轴的正向建立空间直

．

角坐标系，

则E0,0,0，P0,0,6，F0,6,0，A666,0,0，C366,3,0．

于是AC36,3,0，PF0,6,6．

ACPF361， 异面直线AC与PF所成角的余弦为cos73342ACPF 11

故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为

17．

3220．解：当a＝0时，函数为fx2x3，其零点x＝当a≠0时，函数fx在区间[－1，1]分为两种情况： ①方程fx0在区间1,1上有重根． 此时48a3a0，解得a当a32732327不在区间[－1，1]上．

．

71,1．

时，fx0的重根x②函数在区间[─1，1]上只有一个零点，但不是fx0的重根． 此时f1f10，即a5a10，解得1a5． ③函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 0,137解得或a5． a11,22af1f10.综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

37,1,． 221．解：（1）解方程x2＋x－1＝0得x＝由，知1251255，

，12．

an12an122（2）∵fx2x1，∴an1anf(an)f(an)．

an1an2an12an12an2an1222an1an2an12．

下面用数学归纳法证明，当n1时，an0成立． ①当n1时，a11

3250，命题成立．

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②假设nk（k1）时命题成立，即ak0，此时ak0．

2则当nk1时，akk1a，命题成立．

2ak10根据数学归纳法可知，对任意的正整数n，有an0．

（3）根据（2），同理可得a2n1an．

2an1115∵a51n（n1,2,3,），且a11，∴b1ln2＝．1154ln222ban1nlnanaln22lnan1nan1a2bn1，

n1即数列bn为首项为b1，公比为2的等比数列．

b112n故数列bn前n项和Sn122n14ln51n2224ln512．

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