2022年湖北省高考数学一模试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ） A．{﹣4，1} 2．若z=
1−𝑖(1−𝑖)
B．{1，5}
）
√2 2
C．{3，5} D．{1，3}
2，则|z|＝（
A．√2 B．C．1 D． 2
1
3．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的余弦值为（ ）
3𝜋
A．−2 √3B．−2
𝜋
1
C． 2
1
D．
√3 2
4．函数g（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|𝜑|＜2）的部分图象如图所示，则函数g（x）的单调增区间为（ ）
A．[2−24，2+24](𝑘∈𝑍)
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𝑘𝜋5𝜋𝑘𝜋𝜋
B．[
𝑘𝜋𝜋𝑘𝜋7𝜋
+，+](𝑘∈𝑍) 2242245𝜋𝜋
𝜋
C．[𝑘𝜋−24，𝑘𝜋+24](𝑘∈𝑍) D．[𝑘𝜋+24，𝑘𝜋+24](𝑘∈𝑍) 5．已知椭圆C：
𝑥2𝑎2
7𝜋
+𝑦2=1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交
于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为（ ） A．
√3 2
B．√3 C．2√3 D．3
6．（x3﹣2x2+x）3的展开式中x6的系数为（ ） A．﹣1
B．1
C．﹣20
D．20
7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．则P（B|A）＝（ ）
A．
516
B．
1132
𝑥2𝑎2C．
−
𝑦2𝑏22132
D．
2057
8．过原点O的直线交双曲线E：=1（a＞0，b＞0）于A，C两点，A在第一象限，
F1、F2分别为E的左、右焦点，连接AF2交双曲线E右支于点B，若|OA|＝|OF2|，2|CF2|＝3|BF2|，则双曲线E的离心率为（ ） A．
2√145
B．
2√13 4
C．
3√6 5
D．
√53 5
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． （多选）9．给出如下数据：
第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9． 第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18． 则这两组数据的（ ） A．平均数相等
B．中位数相等
→
C．极差相等
→
D．方差相等
（多选）10．已知向量𝑂𝐴=（cosβ，sinβ），将向量𝑂𝐴绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到
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向量𝑂𝐵（0＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ） A．|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|＞|𝑂𝐴−𝑂𝐵| C．|𝑂𝐴+𝑂𝐵|＝|𝑂𝐴−𝑂𝐵|
→
→
→
→
→
→
→
→
→
B．|𝐴𝐵|＜√2
→
→
→
→
→
D．（𝑂𝐴+𝑂𝐵）⊥（𝑂𝐴−𝑂𝐵）
（多选）11．已知圆O的方程为x2+y2＝1，过第一象限内的点P（a，b）作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A．直线AB的方程为ax+by﹣1＝0 B．四点O、A、P、B共圆
C．若P在直线3x+4y﹣10＝0上，则四边形OAPB的面积有最小值2 D．若𝑃𝑂⋅𝑃𝐴=8，则a+b的最大值为3√2 （多选）12．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）
→
→
A．EF⊥BC
B．四面体A﹣BCD的表面积为4+2√3 C．四面体A﹣BCD的外接球的体积为
8√2𝜋 3
D．过EF且与BD平行的平面截四面体A﹣BCD所得截面的面积为√2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（m）＝ ．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且|OT|＝2，则|PF|＝ ．
(3𝑎−1)𝑥+4𝑎，𝑥≤1𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)15．已知f（x）={，满足对于任意实数x≠x，都有＜0121𝑥1−𝑥2𝑎2𝑥−1+2，𝑥＞1成立，则实数a的取值范围是 ．
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16．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906～1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用an表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列{an}满足下列条件：a1＝1，a2＝2，an＝an﹣2+2n1（n≥3，n∈N*），记{an}的前n项和为Sn，则：
﹣
（1）a9＝ ； （2）S100＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知奇函数f（x）=
1𝑎𝑥+𝑏2
是定义在区间[﹣1，1]上的增函数，且f（）=． 25𝑥+12
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x﹣1）＜f（﹣x）的解集．
18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan+1+n（n+1）． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．
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20．（12分）如图为某公园的绿化示意图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为2km，OC＝OD＝OA＝OB＝1km，设∠COB＝θ．
（1）为了美化公园周围的环境，现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD=3，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；
（2）为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值．
𝜋
21．（12分）某校为缓解高三学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案： 方案1：先在A处投一球，以后都在B处投； 方案2：都在B处投篮；
已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为．
4
5
1
4
（1）若甲同学选择方案1，求他初赛结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过初赛的可能性更大？说明理由． 22．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥+𝑥+4，其中a∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性；
1
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（2）对任意x∈[1，e]，不等式𝑓(𝑥)≥
1
+(𝑥+1)2恒成立，求实数a的取值范围． 𝑥第 6 页 共 23 页
2022年湖北省高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（ ） A．{﹣4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}， 则A∩B＝{1，3}， 故选：D． 2．若z=
1−𝑖(1−𝑖)
2，则|z|＝（
）
D． 21
√2 C．1 2
1−𝑖1−𝑖(1−𝑖)𝑖11
解：∵z===2=2+2𝑖， 2−2𝑖−2𝑖(1−𝑖)
A．√2 B．
∴|z|=√(2)2+(2)2=2． 故选：B．
3．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为，则角θ的余弦值为（ ）
3𝜋
11√2A．−
√32 B．−
1
2C． 2
1
D．
√3 2
解：设角θ所在的扇形的半径为r，
12𝑟𝜃2则由题意，可得2
𝑟
=
𝜋
，解得θ=3， 3
2𝜋
可得cosθ＝cos故选：B．
2𝜋3
=−．
2
1
4．函数g（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|𝜑|＜2）的部分图象如图所示，则函数g（x）的单调增区间为（ ）
𝜋
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A．[2−24，2+24](𝑘∈𝑍) B．[2+24，2+24](𝑘∈𝑍) C．[𝑘𝜋−
5𝜋𝜋，𝑘𝜋+](𝑘∈𝑍) 2424𝜋
7𝜋
𝑘𝜋
𝜋
𝑘𝜋
7𝜋
𝑘𝜋
5𝜋
𝑘𝜋
𝜋
D．[𝑘𝜋+24，𝑘𝜋+24](𝑘∈𝑍)
解：根据函数g（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|𝜑|＜）的部分图象， 可得×
41
2𝜋𝜔
𝜋
2=
𝜋6
−
𝜋
24
，∴ω＝4．
𝜋
𝜋
𝜋
再结合五点法作图，可得4×6+φ=2，∴φ=−6， ∴f（x）＝cos（4x−6）．
令2kπ﹣π≤4x−6≤2kπ，k∈Z，求得可得函数f（x）的增区间为[故选：A．
𝑘𝜋2
𝜋
𝑘𝜋2
𝜋
−
5𝜋
≤x≤2+24，k∈Z，
24
𝜋24
𝑘𝜋𝜋
−
5𝜋24
，𝑘𝜋2
+]，k∈Z，
5．已知椭圆C：
𝑥2𝑎2+𝑦2=1（a＞1）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交
于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为（ ） A．
√3 2
B．√3 C．2√3 D．3
解：设椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|＝2a，|NF1|+|NF2|＝2a， 则三角形MNF2的周长为4a＝8，所以a＝2，则c=√3，
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而三角形MF1F2的面积为S=|𝐹1𝐹2|⋅𝑦𝑀=𝑐⋅𝑦𝑀=√3𝑦𝑀，（设点M在x轴上方）， 当点M在椭圆的上顶点时，三角形MF1F2的面积的最大值为√3×𝑏=√3， 此时点M的坐标为（0，1）， 故选：B．
6．（x3﹣2x2+x）3的展开式中x6的系数为（ ） A．﹣1
B．1
C．﹣20
D．20
1
2解：二项式（x3﹣2x2+x）3＝[x（x2﹣2x+1）]3]3＝x3（x﹣1）6， 所以二项式的展开式中含x6项为x所以含x6项的系数为﹣20， 故选：C．
7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．则P（B|A）＝（ ）
3
33
×𝐶6𝑥⋅(−1)3=−20x6，
A．
516
B．
1132
C．
2132
D．
2057
解：每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”， 在所有重卦中随机取一重卦，
记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”， 事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．
1𝐶657
P（A）＝1−6−6=64，
22
1
P（AB）=
𝐶62
63
=64，
206420
𝑃(𝐴𝐵)6420
则P（B|A）==57=．
𝑃(𝐴)57故选：D．
8．过原点O的直线交双曲线E：𝑥2𝑎2−
𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）于A，C两点，A在第一象限，
F1、F2分别为E的左、右焦点，连接AF2交双曲线E右支于点B，若|OA|＝|OF2|，2|CF2|
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＝3|BF2|，则双曲线E的离心率为（ ） A．
2√145
B．
2√13 4
C．
3√6 5
D．
√53 5
解：连接AF1，BF1，CF2，取AF2的中点M，连接OM， ∵|OA|＝|OF2|，∴OM⊥AB，
又O为F1F2的中点，∴OM∥AF1，∴AF1⊥AB，
设|BF2|＝2m，则|CF2|＝3m， 由对称性知，|AF1|＝|CF2|＝3m，
根据双曲线的定义，得|BF1|＝|BF2|+2a＝2m+2a，|AF2|＝|AF1|﹣2a＝3m﹣2a， 在Rt△F1AB中，有|AF1|2+|AB|2＝|BF1|2， 即（3m）2+（5m﹣2a）2＝（2m+2a）2， 化简得，15m＝14a①，
在Rt△F1AF2中，有|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2， 即（3m）2+（3m﹣2a）2＝（2c）2， 化简得，18m2﹣12ma+4a2＝4c2②， 由①②知，25c2＝53a2， ∴e=
𝑐√53=． 𝑎5 故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． （多选）9．给出如下数据：
第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9． 第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18． 则这两组数据的（ ） A．平均数相等
B．中位数相等 C．极差相等 D．方差相等
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解：对于A，第一组数据的平均数为×(3+11+5+13+7+2+6+8+9)=
9
1649
，
第二组数据的平均数为×(12+20+14+22+16+11+15+17+18)=
9
11459
，所
以两组数据的平均数不相等，故选项A错误；
对于B，第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B错误；
对于C，第一组数据的极差为13﹣2＝11，第二组数据的极差为22﹣11＝11，所以两组数据的极差相等，故选项C正确；
2222对于D，第一组数据的方差为×（[3−9）+（11−9）+（5−9）+（13−9）+（7−9）
92
1
6464646464
+（2−
642646464
）+（6−）2+（8−）2+（9−）2] 9999＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892， 第二组数据的方差为×（[12−
9
2
1
1452145214521452145
）+（20−）+（14−）+（22−）+（16−）99999145
145
+（11−9）2+（15−9）2+（17−9）2+（18−9）2]
145145
＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892， 所以两组数据的方差相等． 故选：CD．
（多选）10．已知向量𝑂𝐴=（cosβ，sinβ），将向量𝑂𝐴绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量𝑂𝐵（0＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ） A．|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|＞|𝑂𝐴−𝑂𝐵| C．|𝑂𝐴+𝑂𝐵|＝|𝑂𝐴−𝑂𝐵|
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
B．|𝐴𝐵|＜√2
→
→
→
→
→
D．（𝑂𝐴+𝑂𝐵）⊥（𝑂𝐴−𝑂𝐵）
→
→
解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB则AB＝|𝑂𝐴−𝑂𝐵|， ∵OA+OB＞AB，∴|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|＞|𝑂𝐴−𝑂𝐵|，故A正确． ∵OA＝OB＝1，∠AOB＜90°，
∴AB=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2−2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵⋅𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝑂𝐵=√2−2𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝑂𝐵＜√2，故B正确． ∵|𝑂𝐴+𝑂𝐵|=𝑂𝐴+𝑂𝐵+2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵，|𝑂𝐴−𝑂𝐵|=𝑂𝐴+𝑂𝐵−2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵， 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵≠0，
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→
→→
→
→
→
→
→
2
→
2
→
2
→→→→
2
→
2
→
2
→→
∴|𝑂𝐴+𝑂𝐵|≠|𝑂𝐴−𝑂𝐵|．故C错误． ∵OA＝OB，∴四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥AB，即（𝑂𝐴+𝑂𝐵）⊥（𝑂𝐴−𝑂𝐵），故D正确． 故选：ABD．
→
→
→
→
→→→→
（多选）11．已知圆O的方程为x2+y2＝1，过第一象限内的点P（a，b）作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A．直线AB的方程为ax+by﹣1＝0 B．四点O、A、P、B共圆
C．若P在直线3x+4y﹣10＝0上，则四边形OAPB的面积有最小值2 D．若𝑃𝑂⋅𝑃𝐴=8，则a+b的最大值为3√2 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为PA，PB为圆O的切线， 所以OA⊥PA，OB⊥PB， 所以kOA•kPA＝﹣1，
𝑦1𝑦1−𝑏𝑥1𝑥1−𝑎
→
→
⋅=−1，
又x12+x22＝1， 所以有ax1+by1﹣1＝0， 同理可得ax2+by2﹣1＝0， 所以A，B两点满足ax+by﹣1＝0，
即直线AB的方程为ax+by﹣1＝0，故A正确； 因为OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP＝∠OBP＝90°， 所以∠OAP+∠OBP＝180°，
所以O，A，P，B 四点共圆，故B正确；
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由对称性可知，𝑆四边形𝑂𝐴𝑃𝐵=2𝑆△𝐴𝑂𝑃=2×2×|OA|×|AP|＝|AP|， 所以当|AP|最小时，四边形OAPB的面积最小， |𝐴𝑃|=√|𝑂𝑃|2−|𝑂𝐴|2=√|𝑂𝑃|2−1， 故当|OP|最小时，|AP|取得最小值， 因为P在直线3x+4y﹣10＝0上，
所以|OP|的最小值为点O到直线3x+4y﹣10＝0的距离， 即|𝑂𝑃|𝑚𝑖𝑛=
|−10|
=2， 51
此时|AP|=√3，
故四边形OAPB面积的最小值为√3，故C错误； 由数量积公式有：𝑃𝑂⋅𝑃𝐴=|𝑃𝐴|2=8， 且|𝑃𝑂|2=|𝑃𝐴|2+|𝑂𝐴|2， 所以可求得|𝑃𝑂|2=9， 即a2+b2＝9，
所以𝑎+𝑏=√𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏≤√2(𝑎2+𝑏2)=3√2， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a+b的最大值为3√2，故D正确； 故选：ABD．
（多选）12．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）
→
→
→
→→
→
→
A．EF⊥BC
B．四面体A﹣BCD的表面积为4+2√3 C．四面体A﹣BCD的外接球的体积为
8√2𝜋 3
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D．过EF且与BD平行的平面截四面体A﹣BCD所得截面的面积为√2 解：选项A，如图，取BD中点为原点，建立空间直角坐标系，坐标如下，B（0，−√2，0），C（√2，0，0），E（
→
√2√2√2√2√2，−2，0），F（0，，），A（0，0，√2）， 222
→→→√2√2∴𝐸𝐹=（−2，√2，），𝐵𝐶=（√2，√2，0），∴𝐸𝐹⋅𝐵𝐶=−2×√2+√2×√2+
2√22×0=1≠0，∴EF与BC不垂直，故A错误；
选项B，|𝐴𝐶|=√𝐴𝑂2+𝐶𝑂2=√2+2=2，
∴四面体的表面积S＝S△ABC+SABD+SACD+SBCD=2×2×2×2+2×2×2+2×2×2×
√31√311
2+×2×2=2√3+4，故B正确；
1222
选项C，△BCD外接圆半径r=√2，锥高h=√2，外接球半径R满足，（R﹣h）+r＝R2，
解得R=√2，
∴四面体外接球体积为⋅𝜋⋅𝑅=
34
3
8√23
，故C正确；
1
选项D，如图，分别取AB，CD中点M，N，MF∥BD，EN∥BD，MF＝EN=2𝐵𝐷=√2，∴四边形ENFM为平行四边形，
∵EN∥BD，EN⊂平面ENFM，BD⊄平面ENFM，∴BD∥平面ENFM，
→→√2√2√2√2√2由选项A可知，N（，，0），M（0，−，），𝐸𝑁=(0，√2，0)，𝐸𝑀=(−，0，22222√2)，∴𝐸𝑁⋅𝐸𝑀=0，∴EN⊥EM， 2→→
∴ENFM为矩形，面积S＝EN×ME=√2×1=√2，故D正确，
第 14 页 共 23 页
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（m）＝ ﹣8 ．
解：由题意可得m﹣5+1﹣2m＝0，解得m＝﹣4， 由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x）， 当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，
则f（m）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣（16﹣8）＝﹣8． 故答案为：﹣8．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且|OT|＝2，则|PF|＝ 5 ．
解：由抛物线方程可得：F（1,0），准线方程为:x＝﹣1,由抛物线定义可得|PQ|＝|PF|，
如图所示，|OT|＝2，设PQ与y轴交于点M，
因为OF＝QM，∠OTF＝∠QTM,且∠TOF＝TMQ＝90°， 所以△TMQ≌TOF,所以OT＝MT＝2,则|OM|＝4, 所以yP＝4,代入抛物线方程可得xp＝4, 所以|PF|＝xP+1＝4+1＝5, 故答案为：5．
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(3𝑎−1)𝑥+4𝑎，𝑥≤1𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)
15．已知f（x）={，满足对于任意实数x≠x，都有＜0121𝑥1−𝑥2𝑎2𝑥−1+2，𝑥＞1成立，则实数a的取值范围是 [，） ．
4
31
1
解：对任意的实数x1≠x2，都有
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2
＜0成立，
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数， 3𝑎−1＜0
11
则0＜𝑎＜1，解得≤a＜3．
4 1
{3𝑎−1+4𝑎≥𝑎+2∴实数a的取值范围是[，）．
4
31
1
故答案为：[，）．
4
3
11
16．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906～1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用an表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列{an}满足下列条件：a1＝1，a2＝2，an＝an﹣2+2n1（n≥3，n∈N*），记{an}的前n项和为Sn，则：
﹣
（1）a9＝ 341 ； （2）S100＝ 2102−154
3
．
解：（1）由题意，可知 当n≥3时，an﹣an﹣2＝2n1，
﹣
当n为奇数时，n﹣1为偶数， 则a1＝1， a3﹣a1＝22，
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a5﹣a3＝24， • • •
an﹣an﹣2＝2n1，
﹣
各项相加，可得 an＝1+22+24+…+2n1
﹣
＝1+4+42+⋯+4=（2n+1﹣1），
13𝑛−12
∴a9=3×（29+1﹣1）＝341． （2）由题意，可知
当n为偶数时，n﹣1为奇数，则有 a2＝2， a4﹣a2＝23， a6﹣a4＝25， • • •
an﹣an﹣2＝2n1，
﹣
1
各项相加，可得 an＝2+23+25+…+2n1
﹣
2−2=2 1−2
𝑛+1
=3（2n+1﹣2），
1𝑛+1
(2−1)，𝑛为奇数3∴an={， 1𝑛+1(2−2)，𝑛为偶数31
∴S100＝a1+a2+…+a100
＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）
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＝[（22﹣1）+（24﹣1）+⋯+（2100﹣1）]+[（23﹣2）+（25﹣2）+⋯+（2101
3
3
1
13131
1313﹣2）]
=[（22﹣1）+（24﹣1）+…+（2100﹣1）]+[（23﹣2）+（25﹣2）+…+（2101﹣2）] =3[（22+24+…+2100）﹣50]+3[（23+25+…+2101）﹣2×50] =[（22+23+…+2101）﹣150]
12−2=×31−22
102
13113131
−50
=
2
102
−154
． 32102−154
3
故答案为：341；．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知奇函数f（x）=
1𝑎𝑥+𝑏2
是定义在区间[﹣1，1]上的增函数，且f（）=．
5𝑥2+12
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x﹣1）＜f（﹣x）的解集． 解：（1）f（x）=
0+𝑏2
5𝑎𝑥+𝑏
是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数， 𝑥2+1则f（0）=0+1=0，解得b＝0， 又f（）=，
2
1𝑎2则12()+121
=，解得a＝1，
5𝑥
， 𝑥2+1𝑥
为奇函数， 𝑥2+12
所以𝑓(𝑥)=
经检验，函数𝑓(𝑥)=故𝑓(𝑥)=
𝑥
； 𝑥2+1（2）不等式f（x﹣1）＜f（﹣x），
因为f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的增函数， −1≤𝑥−1≤1
1
所以{−1≤−𝑥≤1，解得0≤𝑥＜2，
𝑥−1＜−𝑥所以不等式的解集为[0，2)．
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1
18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan+1+n（n+1）． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值． 解：（1）a1＝19，Sn＝nan+1+n（n+1）， 当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）an+n（n﹣1）， 两式相减可得an＝nan+1﹣（n﹣1）an+2n， 化简可得an+1﹣an＝﹣2， 由a1＝a2+2，可得a2＝17，
可得{an}为首项为19，公差为﹣2的等差数列， 可得an＝19﹣2（n﹣1）＝21﹣2n； （2）bn＝|an|＝|2n﹣21|，
则T20＝（19+17+15+…+1）+（1+3+5+…+19） ＝2××10×（1+19）＝200．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．
1
2
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥平面PBC， ∴CD⊥PB．
∵PB⊥PD，CD∩PD＝D，CD、PD⊂平面PCD，∴PB⊥平面PCD． ∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．
（2）解：设BC中点为O，连接PO，OE，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又面PBC⊥面ABCD，
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且面PBC∩面ABCD＝BC， 所以PO⊥面ABCD．
以O为坐标原点，𝑂𝐶的方向为x轴正方向，|𝑂𝐶|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥𝑃𝐶∴𝑃𝑂=2𝐵𝐶=1，设AB＝a， 可得𝑃(0，0，1)，𝐸(1，，0)，𝐴(−1，𝑎，0)，𝐵(−1，0，0)，
→→→𝑎𝑎
所以𝑃𝐸=(1，，−1)，𝐸𝐴=(−2，，0)，由题得𝑃𝐸⋅𝐸𝐴=0，解得𝑎=2√2．
22→
→
→
1
𝑎
2所以𝐵𝐴=(0，2√2，0)，𝑃𝐴=(−1，2√2，−1)，𝐸𝐴=(−2，√2，0)， ⋅𝑃𝐴=0，即{−𝑥+2√2𝑦−𝑧=0， 设𝑛=（x，y，z）是平面PAB的法向量，则{𝑛→→
2√2𝑦=0𝑛⋅𝐵𝐴=0
→
→
→
→→→
可取𝑛=（1，0，﹣1）．
⋅𝑃𝐴=0，即{−𝑥+2√2𝑦−𝑧=0， 设𝑚=（x，y，z）是平面PAE的法向量，则{𝑚→→
−2𝑥+√2𝑦=0𝑚⋅𝐸𝐴=0
→
→
→
→
可取𝑚=（1，√2，3）．𝑐𝑜𝑠＜𝑛，𝑚＞=所以二面角B﹣PA﹣E的余弦值为−
√6→→→
√6𝑛⋅𝑚
→=−6． |𝑛|⋅|𝑚|
→→
→6．
20．（12分）如图为某公园的绿化示意图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为2km，OC＝OD＝OA＝OB＝1km，设∠COB＝θ．
（1）为了美化公园周围的环境，现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD=3，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；
（2）为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值．
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𝜋
解：（1）由图可知，SABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA
=2𝑠𝑖𝑛𝜃+2𝑠𝑖𝑛3+2𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝜃−3)=2𝑠𝑖𝑛(𝜃+6)+4（0＜θ＜3）． 则＜𝜃+
6
𝜋
3𝜋
𝜋6
1
1
𝜋
1
𝜋
√3𝜋√32𝜋
＜5𝜋
，∴sin（𝜃+6）≤1，此时𝜃+6=2，可得𝜃=3． 6
𝜋𝜋𝜋𝜋
∴当𝜃=时，郁金香种植面积最大；
（2）由余弦定理，BC=√1+1−2𝑐𝑜𝑠𝜃=2𝑠𝑖𝑛2，DA=√1+1+2𝑐𝑜𝑠2𝜃=2𝑐𝑜𝑠𝜃． 则l＝4sin+2cosθ（0＜θ＜2）．
2𝜃
𝜋
𝜃
令t＝sin，则0＜t＜2𝜃2
𝜃
√22．
𝜃
1
∴l＝4sin+2（1−2𝑠𝑖𝑛22）＝4t+2（1﹣2t2）=−4(𝑡−2)2+3． ∴当t=2，即𝜃=3时，l的最大值为3．
21．（12分）某校为缓解高三学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案： 方案1：先在A处投一球，以后都在B处投； 方案2：都在B处投篮；
已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为．
4
5
1
4
1
𝜋
（1）若甲同学选择方案1，求他初赛结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过初赛的可能性更大？说明理由． （1）设甲同学在A处投中为事件A，在B处第i次投中为事件Bi（i＝1，2）， 由已知𝑃(𝐴)=4，𝑃(𝐵𝑖)=5．X的取值为0，2，3，4．
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14
则𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴𝐵1𝐵2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵1)𝑃(𝐵2)=𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝐴𝐵1𝐵2)+𝑃(𝐴𝐵1𝐵2)=
1
3113××=， 4551003413146××+××=， 455455253
4
4
12
𝑃(𝑋=3)=𝑃(𝐴)=4，𝑃(𝑋=4)=𝑃(𝐴𝐵1𝐵2)=4×5×5=25， X的分布列为：
X P
0
3100
2
3
66
3
1
12
14
4
1225
25
315
X的数学期望为：𝐸(𝑋)=0×100+2×25+3×4+4×25=100=3.15． （2）甲同学选择方案1通过初赛的概率为P1，选择方案2通过初赛的概率为P2， 则𝑃1=𝑃(𝑋=3)+𝑃(𝑋=4)=4+25=100=0.73， 𝑃2=𝑃(𝐵1𝐵2)+𝑃(𝐵1𝐵2𝐵3)+𝑃(𝐵1𝐵2𝐵3)=∵P2＞P1，
∴甲同学选择方案2通过初赛的可能性更大． 22．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥++4，其中a∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）对任意x∈[1，e]，不等式𝑓(𝑥)≥𝑥+(𝑥+1)2恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），𝑓′(𝑥)=𝑥−
𝑎
1𝑎𝑥−1
=2， 2𝑥𝑥11
𝑥44144414112×+××+××==0.896， 555555551251
12
73
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得𝑥＞， 由f'（x）＜0，得0＜𝑥＜𝑎，
∴函数f（x）在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在(0，𝑎)上单调递减，在(𝑎，+∞)上单调递增． （2）𝑓(𝑥)≥𝑥+(𝑥+1)2，即（x+1）2﹣alnx﹣4≤0． 令g（x）＝（x+1）2﹣alnx﹣4（x∈[1，e]），
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1
𝑎1
1𝑎1𝑎11
1
则𝑔′(𝑥)=2𝑥+2−𝑥=
𝑎
2𝑥2+2𝑥−𝑎
． 𝑥当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在[1，e]上单调递增， ∴g（x）min＝g（1）＝0，不等式不恒成立； 当a＞0时，令h（x）＝2x2+2x﹣a（x＞0），
此时h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）＝﹣a＜0， ∴存在唯一x0∈（0，+∞）时，使得h（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g'（x）＜0，g（x）单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g'（x）＞0，g（x）单调递增， ∴g（x）在[1，e]上的最大值g（x）max＝max{g（1），g（e）}， 𝑔(1)≤0
则{， 𝑔(𝑒)≤0
即（e+1）2﹣a﹣4≤0，解得a≥（e+1）2﹣4， ∴实数a的取值范围是[（e+1）2﹣4，+∞]．
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