线性回归方程

【目标引领】 1． 学习目标：

了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。

2． 学法指导：

①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．

②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．

③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．

【教师在线】 1． 解析视屏：

1．相关关系的概念

在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：

一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长x之间的函数关系Sx（确定关系）；

一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）

相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。

不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

22．求回归直线方程的思想方法

观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？

引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：

ˆbxa，其中a、b是待定系数。 设所求的直线方程为yˆibxia(i1,2,,n)，于是得到各个偏差。 则yˆyˆiyi(bxia),(i1,2,...n) yˆyˆi的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代显见，偏差y表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

Q(y1bx1x)2(y2bx2a)2....(ynbxna)2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。 记Q(yi1n2ibxia)。

上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即

nxiyinxyi1bn22 xnxii1aybx1n1n其中xxi,yyi

ni1ni1以上方法称为最小二乘法。

2． 经典回放：

例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？ （1）电压U与电流I （2）圆面积S与半径R

（3）自由落体运动中位移s与时间t

（4）粮食产量与施肥量 （5）人的身高与体重 （6）广告费支出与商品销售额

分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。 对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。

人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。

广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。

点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可

能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。 例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：

ｘ y 45 6.53 42 6.30 46 9.25 48 7.50 42 6.99 35 5.90 58 9.49 40 6.20 39 6.55 50 7.72 ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万） (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。 解：（１）见下图

y1053030455055x

（２）x1(45424648423558403950)45.50 10y1(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37 10ˆbxa， 设回归直线为y则axyii1nninxy0.176，byax0.

i1xinx22ˆ0.176x0.，图形如下: 所以所求回归直线的方程为yy1053030455055x

点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数x,y；计算xi与yi的积，求

xyii；计算

x2i；将结果代入公式求ａ；用 byax求ｂ；写出回归方程。

【同步训练】

1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A．角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下

列说法中正确的是 （ ） A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元 B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元 C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元 D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元

3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均 （ ） A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位

4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为

y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。 5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形

【拓展尝新】

6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

时间t(s) 深度y(μm) (1)画出散点图；

(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46 【解答】

1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散点图（略）．

(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

i xi yi xiyi 1 15 330 4950 2 20 345 6900 3 25 365 9125 72i4 30 405 12150 5 35 445 15575 76 40 450 18000 7 45 455 20475 x30,y399.3,xi172i7000,y1132725,xiyi87175 i1i187175730399.34.75b故可得到。 70007302a399.34.75302576．解：(1)散点图略，呈直线形.

(2)经计算可得：t46.36,y19.45

i111ti236750,i111yi242,ti111iyi13910

139101146.3619.450.3b2 367501146.36a19.450.346.365.2^0.3t5.2。 故所求的回归直线方程为y