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线性回归方程

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线性回归方程

【目标引领】 1. 学习目标:

了解非确定性关系中两个变量的统计方法;掌握散点图的画法及在统计中的作用,掌握 回归直线方程的求解方法。

2. 学法指导:

①求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实标意义.否则,求出的回归直线方程毫无意义.因此,对一组数据作线性回归分析时,应先看其散点图是否成线性.

②求回归直线方程,关键在于正确地求出系数a、b,由于求a、b的计算量较大,计算时仔细谨慎、分层进行,避免因计算产生失误.

③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题,把“无序”变为“有序”,并对情况进行估测、补充.因此,学过回归直线方程以后,应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.

【教师在线】 1. 解析视屏:

1.相关关系的概念

在实际问题中,变量之间的常见关系有两类:

一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长x之间的函数关系Sx(确定关系);

一类是相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系(非确定关系)

相关关系:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系。

不同点:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

22.求回归直线方程的思想方法

观察散点图的特征,发现各点大致分布在一条直线的附近,思考:类似图中的直线可画几条?

引导学生分析,最能代表变量x与y之间关系的直线的特征:即n个偏差的平方和最小,其过程简要分析如下:

ˆbxa,其中a、b是待定系数。 设所求的直线方程为yˆibxia(i1,2,,n),于是得到各个偏差。 则yˆyˆiyi(bxia),(i1,2,...n) yˆyˆi的符号有正负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不能代显见,偏差y表几个点与相应直线在整体上的接近程度,故采用n个偏差的平方和

Q(y1bx1x)2(y2bx2a)2....(ynbxna)2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。 记Q(yi1n2ibxia)。

上述式子展开后,是一个关于a,b的二次多项式,应用配方法,可求出使Q为最小值时的a,b的值,即

nxiyinxyi1bn22 xnxii1aybx1n1n其中xxi,yyi

ni1ni1以上方法称为最小二乘法。

2. 经典回放:

例1:下列各组变量哪个是函数关系,哪个是相关关系? (1)电压U与电流I (2)圆面积S与半径R

(3)自由落体运动中位移s与时间t

(4)粮食产量与施肥量 (5)人的身高与体重 (6)广告费支出与商品销售额

分析:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

解:前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化,两者之间是函数关系。 对于粮食与施肥量,两者确实有非常密切的关系,实践证明,在一定的范围内,施肥量越多,粮食产量就越高,但是,施肥量并不能完全确定粮食产量,因为粮食产量还与其他因素的影响有关,如降雨量、田间管理水平等。因此,粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。

人的身高与人的体重也密切相关,一般来说,一个人的身高越高,体重也越重,但同样身高的人,其体重不一定相同,身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。

广告费支出与商品销售额有密切的关系,但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见,后三小题各对变量之间的关系是相关关系。

点评:不要认为两个变量间除了函数关系,就是相关关系,事实是上,两个变量间可

能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。 例2:已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下:

x y 45 6.53 42 6.30 46 9.25 48 7.50 42 6.99 35 5.90 58 9.49 40 6.20 39 6.55 50 7.72 x(血球体积,mm),y(血红球数,百万) (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。 解:(1)见下图

y1053030455055x

(2)x1(45424648423558403950)45.50 10y1(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37 10ˆbxa, 设回归直线为y则axyii1nninxy0.176,byax0.

i1xinx22ˆ0.176x0.,图形如下: 所以所求回归直线的方程为yy1053030455055x

点评:对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a、b的计算公式,算出a、b.由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误.求线性回归方程的步骤:计算平均数x,y;计算xi与yi的积,求

xyii;计算

x2i;将结果代入公式求a;用 byax求b;写出回归方程。

【同步训练】

1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

2.某市纺织工人的月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y=50+80x,则下

列说法中正确的是 ( ) A.劳动生产率为1000元时,月工资为130元 B.劳动生产率提高1000元时,月工资提高约为130元 C.劳动生产率提高1000元时,月工资提高约为80元 D.月工资为210元时,劳动生产率为2000元

3.设有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加一个单位时,y平均 ( ) A.增加1.5单位 B.增加2单位 C.减少1.5单位 D.减少2单位

4.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人们,体重y(kg)依身高x(cm)的回归方程为

y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦,身高1米78,他的体重应在 kg左右。 5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形

【拓展尝新】

6.在某种产品表面进行腐蚀线试验,得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据:

时间t(s) 深度y(μm) (1)画出散点图;

(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

5 6 10 10 15 10 20 13 30 16 40 17 50 19 60 23 70 25 90 29 120 46 【解答】

1. D 2.C 3.C 4.69.66 5.解:(1)散点图(略).

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格

i xi yi xiyi 1 15 330 4950 2 20 345 6900 3 25 365 9125 72i4 30 405 12150 5 35 445 15575 76 40 450 18000 7 45 455 20475 x30,y399.3,xi172i7000,y1132725,xiyi87175 i1i187175730399.34.75b故可得到。 70007302a399.34.75302576.解:(1)散点图略,呈直线形.

(2)经计算可得:t46.36,y19.45

i111ti236750,i111yi242,ti111iyi13910

139101146.3619.450.3b2 367501146.36a19.450.346.365.2^0.3t5.2。 故所求的回归直线方程为y

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