2017-2018学年高中数学选修2-2教学案：第1章 1-2 1-2-

1．2.3 简单复合函数的导数

[对应学生用书P11]

π

2x＋，g(x)＝(3x＋2)2. 已知函数f(x)＝sin6问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．

问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？

提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由 g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的． 问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．

提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g′(x)＝g′(u)·u′.

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．

[对应学生用书P11]

[例1] 求下列函数的导数． (1)y＝(2)y＝e

1

；

2x＋33－0.05x＋1

复合函数的求导 ；

(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；

(4)y＝log2(5－3x)．

[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．

[精解详析] (1)y＝133

＝(2x＋3)－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，

222x＋333

所以y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′

23555＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－. 2222 (2)y＝e

－0.05x＋1

是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－

0.05x＋1)′

＝－0.05eu＝－0.05e

－0.05x＋1

.

(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cos u，u＝ωx＋φ的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(ωx＋φ)′ ＝－sin u·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．

(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数， 1所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·

uln 2＝

－33

＝.

5－3xln 23x－5ln 2

[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．

1

1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.

x11

解析：f(x)＝ln是f(u)＝ln u与u＝的复合函数，

xx

1′ 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·x111

－2＝－. ＝·

uxx1答案：－

x

2．函数y＝sin3x＋sin x3的导数为________． 解析：y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2

＝3sin2xcos x＋3x2·cos x3. 答案：3sin2xcos x＋3x2·cos x3 3．求下列函数的导数： 1(1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝.

1－3x4解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x， 所以y′x＝y′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′ ＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x. 1－4(2)∵y＝4＝(1－3x)， 1－3x∴可设y＝u4，u＝1－3x，

－

∵y′u＝－4u5，u′x＝－3，

－

∴y′x＝y′u·u′x＝－4u5×(－3)＝12(1－3x)5.

－

－

[例2] 求下列函数的导数． (1)y＝31xsin(2x－1)；

－

求导法则的综合应用 ln2x－1(2)y＝. 2x－1

[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y′＝(31x)′sin(2x－1)＋31x·[sin(2x－1)]′

－

－

＝－31xln 3·sin(2x－1)＋31x·2cos(2x－1)

－

－

＝31x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．

－

[ln2x－1]′·2x－1－ln2x－1·2x－1′(2)y′＝ 2x－1222x－111

－ln2x－1·2x－1－·2

222x－1

＝

2x－1ln2x－12

－2x－12x－1＝ 2x－1＝

.

2x－1·2x－12－ln2x－1

[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．

(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．

4．若函数f(x)＝xcos 2x，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′ ＝cos 2x－2xsin 2x. 答案：cos 2x－2xsin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y＝

2x－11

；(2)y＝sin2(1－x)． x2

2x－1′x－2x－1·x′

解：(1)y′＝

x2x

－2x－12x－1＝

x2＝

.

x22x－11－x

11

(2)∵y＝sin2(1－x)＝[1－cos(2－2x)]

241111

＝－cos(2－2x)＝－cos(2x－2)． 44441

∴y′＝sin(2x－2)．

2

1

l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．

4

[思路点拨]

求函数fx的导数

→

求f′1得切线l的斜率

→

写出直线l的点斜式方程

复合函数导数的应用 [例3] 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为

→由l与圆C相切列方程→解方程求a.

1

[精解详析] ∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′

2－x2

＝2ax－，

2－x

∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)， 即2(a－1)x－y－a＋2＝0.

1

∵直线l与圆C：x2＋y2＝ 相切，

4

1

∴圆心(0,0)到直线l的距离为，

2所以有

111＝，解得a＝. 84a－12＋12|2－a|

11

∴a的值为. 8

[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．

π6．函数y＝cos 2x在点4，0处的切线方程是________． π

解析：∵y′＝－2sin 2x，∴k＝－2sin＝－2.

2πx－， ∴切线方程为y－0＝－24π

即2x＋y－＝0.

2π

答案：2x＋y－＝0

2

1

－，ln 2处切线的倾斜角． 7．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点2

12

解：令y＝ln u，u＝2x＋3，则y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝. u2x＋312

当x＝－时，y′＝＝1，

23－1

1

－，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 即在2π所以倾斜角为. 4

8．设曲线y＝ex(x≥0)在点M(t，et)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．

－

－

(1)求切线l的方程； (2)求S(t)的解析式． 解：∵y＝ex，

－

∴y′＝(ex)′＝－ex，

－

－

∴y′|x＝t＝－et.

－

故切线方程为y－et＝－et(x－t)，

－

－

即x＋ety－(t＋1)＝0. (2)令y＝0得x＝t＋1.

令x＝0得y＝et(t＋1)．

－

1－

∴S(t)＝(t＋1)·et(t＋1)

21－

＝(t＋1)2et(t≥0)． 2

求复合函数导数的技巧及注意点

(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．

(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．

(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．

[对应课时跟踪训练(五)]

一、填空题

1．设函数f(x)＝sin(4x－2)，则f′(x)＝________. 解析：∵f(x)＝sin(4x－2)，

∴f′(x)＝[sin(4x－2)]′＝4cos(4x－2)． 答案：4cos(4x－2)

2．(全国大纲卷改编)曲线y＝xex

－

－

－1

在点(1,1)处切线的斜率等于________．

解析：y′＝ex1＋xex1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y′|x＝1＝2. 答案：2

3．设曲线y＝f(x)＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 解析：∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k＝2. 又∵f′(x)＝(eax)′＝aeax， ∴k＝f′(0)＝a＝2. 答案：2

ππ

2x＋cos2x＋的导数为________． 4．函数y＝xsin22ππxx

2x＋cos2x＋＝sin(4x＋π)＝－sin 4x， 解析：∵y＝xsin2222

xx－′sin 4x＋－·∴y′＝22(sin 4x)′ 1

＝－sin 4x－2xcos 4x.

21

答案：－sin 4x－2xcos 4x

2

5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________． 解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1， 且y0＝ln(x0＋a)，所以x0＋1＝ln(x0＋a)① 对y＝ln(x＋a)求导得y′＝则

1， x＋a

1

＝1，x0＋a＝1，② x0＋a

由①②可得x0＝－1，所以a＝2. 答案：2 二、解答题

6．求下列函数的导数． (1)y＝5log2(2x＋1)； 5

(2)y＝cos(π－7x)；

3(3)y＝(2x－1)5.

解：(1)设y＝log2u，u＝2x＋1.

51010

则y′＝y′u·u′x＝×2＝＝.

uln 2uln 22x＋1ln 25

(2)设y＝cos u，u＝π－7x.

3

5

π－7x. 则y′＝y′u·u′x＝－sin u×(－7)＝7sin3(3)设y＝u5，u＝2x－1，

则y′＝y′u·u′x＝5u4×2＝10u4＝10(2x－1)4.

7．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 1

解：f′(x)＝－1＋2x.

1＋x3

由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，

2

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3

y－ln 2＝(x－1)，

2即3x－2y＋2ln 2－3＝0.

8．已知A(1，f′(x))是函数y＝f(x)的导函数图象上的一点，点B的坐标为(x，ln(2－x))，向量a＝(1,1)，设f(x)＝AB―→·a，试求函数y＝f(x)的表达式．

解：∵AB―→＝(x，ln(2－x))－(1，f′(1)) ＝(x－1，ln(2－x)－f′(1))， a＝(1,1)，

∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1) ＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1

11

∴f′(x)＝·(2－x)′＋1＝＋1，

2－xx－2∴f′(1)＝0， ∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.