信息论与编码习题(2)

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 2.2 一副充分洗乱了的牌(含52张牌)，试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？

(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？

2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

Xx11x22x33x442.4 设离散无忆信源，其发出的消息为3/8PX1/41/41/8(2021201 30213001203210110321010021032011223210)，求

(1) 此消息的自信息量是多少？

(2) 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？

2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7% ，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含有多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？

x2x3x4x5x6Xx12.6 设信源，求这信源的熵，并解释为PX0.20.190.180.170.160.17什么HXlog6不满足信源熵的极值性。

2.7 同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息量； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息量；

(3) 两个点数的各种组合(无序对)的熵或平均信息量； (4) 两个点数之和(即2,312构成的子集)的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

2.8 证明HX1X2Xn≤HX1HX2HXn

2.9 证明HX3/X1X2≤HX3/X1，并说明等式成立的条件。

2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：

若把这些频度看做概率测度，求：

(1) 忙闲的无条件熵；

(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。 2.11 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为

Y X 0 1 0 1 1/8 3/8 3/8 1/8 并定义另一随机变量ZXY(一般乘积)。试计算： (1) H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ)；

(2) H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ), HY/XZ和HZ/XY；

(3) IX;Y,IX;Z,IY;Z,IX;Y/Z,IY;Z/X和IX;Z/Y。

2.12 有两个离散随机变量X和Y，其和为ZXY(一般加法)，若X和Y相互独立，求证：HX≤HZ,HY≤HZ。

2.13 设有一个信源，它产生0,1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P00.4,P10.6的概率发出符号。

(1) 试问这个信源是否是平稳的？

2(2) 试计算HX,HX3/X1X2及limHX；

2.14 设XX1,X2,,XN是平稳离散有记忆信源，试证明：HX1X2XN H(X1)HX2/X1HX3/X2X1HXN/X1X2XN1。

2.15 某一无记忆信源的符号集为{0,1},已知P01/4,P13/4。

(1) 求符号的平均熵；

1”(2) 有100个符号构成的序列,求某一特定序列(例如有m个“0”和100m个“ )的自信息量的表达式；

(3) 计算(2)中序列的熵。

2.16 一阶马尔可夫信源的状态图如题2.10图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。

(1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H。

(3) 试计算HX并写出X4N4信源中可能有的所有符号。

题2.10图

2.17 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X{黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)=0.3，白色的出现概率P(白)=0.7。

(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵HX；

(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白)=0.9，P(黑/白)=0.1，P(白/黑)=0.2，P(黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X)；

(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较HX和H2(X)的大小，并说明其物理意义。

2.18 每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概率出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个汉字来口述这电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？

12.19 给定语声样值X的概率密度为pxe/x,x，求HCX，并证明

2它小于同样方差的正态变量的连续熵。

122x2≤yr2 2.20 连续变量X和Y的联合概率密度为：px,yr，求其他0log2sinxdxlog22) 022.21 设XX1X2XN是N维高斯分布的连续信源，且X1,X2,,XN的方差分别为2212,2,,N,它们之间的相关系数(XiXj)0i,j1,2,,N,ij。试证明：N维高斯Hx,HY,HXY和IX:Y。(提示：

21分布的连续信源的熵HcXHcX1X2XN2log2e2i1N2i

bx20≤x≤a

2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数为px

0其他(1) 试求信源X的熵HcX；

(2) 试求YXAA0的熵HcY；

(3) 试求Y2X的熵HcY。