(2021年整理)考研数学《线性代数》考点知识点总结

第一章 行列式 二元线性a11xa12yb1 方程组： a21xa22yb2排列的逆t序数： nDa11a12b1，D1a21a22b2a12a11b1，D2 a22a21b2xD1D，y2 DDti（ti为排列p1p2pn中大于pi且排于pi前的元素个数） t1t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t0标准排列。 n阶行列Ddet(aij)式： a11a21an1a12a1na22a2nan2annt=(1)a1p1a2p2anpn tt为列标排列的逆序数． 定理1： 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数 定理2： n阶行列式可定义为D(1)ap11ap22apnn=(1)a1p1a2p2anpn． 1．D=DT，DT为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变) 2．互换行列式的两行(列)，行列式变号． 记作：rirj（cicj）DD． 推论：两行(列)完全相同的行列式等于零． 记作：rirj（cicj）DD0． t3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k． 推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面． 记作：kDrik（kDcik）． 记作：kDrik（kDcik）． 4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：rjrik（cjcik）D0． 行列式的性质： 5．Da11a21i)a1na12(a1ia1i)a2na22(a2ia2a11Da21an1a12a1ia1na11a22a2ia2na21an2aniannan1ia1na12a1ia2na22a2an2annani)annan1an2(aniani上式为列变换，行变换同样成立． 6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 记作：cicikcj(ririkrj)，D不变． 注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式． 对角行列式 上D（下DT）三角形行列式 120012n，012(1)0a11a1kD1det(aij)ak1akkb11b1nD2det(bij)bn1bnnn(n1)2a110a22an2annaabcd2n12n Da21an1a11a22ann na11a1kak1akknb若对Dc11c1kb11b1kck1ckkbk1bkk设， 若2n阶行列式D2n， cd有D2n=(ad-bc)n． 则有D=D1D2． 余下n-1阶行列式． 余子式： n阶行列式中把aij所在的第i行和第j列去掉后，引理： n阶行列式D中，若第i行所有元素除aij外都为零，则有DaijAij． 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和． 定理3： (代数余子式性质) 代数余子式： Aij(1)ijMij 推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零． n1,当ij,D,当ij,nD,当ij,或aikAjkDij其中ij akiAkjDijk1k10,当ij.0,当ij;0,当ij;1x1范德蒙德Dnx12行列式： x1n11x22x2n1x21x32x3n1x31xn2＝(xixj)．证明用数学归纳法． xnnij1n1xna11x1a12x2a1nxnb1,a11a1naxaxaxb,2112222nn2设方程组，若D0，则方程组有惟一解： an1ann克拉默法axaxaxbnnnnn11n22则： a11a1,j1b1a1,j1a1nDnD1D2 (j1,2,,n)． ，其中Djx1,x2,,xnDDDan1an,j1bnan,j1ann定理4： 若上线性方程组的系数行列式D0，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则D0． 定理5： 若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式D0，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则D0． 第二章 矩阵及其运算 n阶单位矩阵(单位阵)： 对角矩阵(对角阵)： 纯量阵： 10E00010 01λ10Λ00λ2000 λnλ0E000λ0 0λEAAEA． 另可记作Λdiag(1,2,,n)． (E)AA，A(E)A． 矩阵与矩阵相乘： 若Α(aij)是一个ms矩阵，B(bij)是一个sn矩阵，且CAB，则C(cij)是一个mn矩阵，且cijai1b1jai2b2jaisbsjT(i1,2,,m;j1,2,,n)．若ABBA，称A与B是可交换的． 矩阵转置： 若Α(aij)，则Α(aji) (AB)TATBT，(AB)TBTAT 若AAT，A为对称阵 方阵行列式的运算规律： 1．AA； 2．AnA； 3．ABAB，AA1T方阵的行列式： n阶方阵A元素构成的行列式，记A或detA． A11A12*伴随矩阵： AA1nAij为行列式A中对应元素的 A21An1A22An2代数余子式． AA*A*AAE A2nAnn1． 逆矩阵： 若ABBAE，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的． 定理1： 若矩阵A可逆，则A0． 1定理2： 若A0，则矩阵A可逆，且A1*A． A奇异矩阵： 当A0时，A称为奇异矩阵． 111运算规律： 1．(A)A；2．(A)矩阵A可逆的充要条件：A0，即矩阵A是非奇异矩阵。 1A1；3．(AB)1B1A1；4．(AT)1(A1)T． 多项式可相乘或分解因式 (A)f(A)f(A)(A)，2m矩阵A的m次多项式： (A)a0Ea1Aa1AamA kk1kk1，则Λkdiag(1,k1．若APΛP，则APΛP， 2．Λdiag(1,2,,n)（对角阵）2,,n), (A)P(Λ)P1． 加减相乘与矩阵相同。 (A)diag((1),(2),,(n))． 分块对角矩阵：（其中A以及Ai均为方阵） A11A1r若A， 分块矩阵AAsrs1的运算规律： TTA11A1rT 则AATATsrs1Tα1Tα2， αTmA1A0A210A11，若，则A0A0As1A20 1As性质：AA1A2As，且Ai0(i1,2,,s)，则A0． A(a1,a2,,an) 列向量： Amn行向量： αiT(ai1,ai2,,ain) a1ja2jaj amjΛmAmnT1α1Tα22 αTmm若AA0， 则A0． TAΛn(1a1,2a2,,nan) 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 ；3．rikrj(cikcj)． 矩阵的初等变换： 初等行(列)变换：1．rirj(cicj)；2．rik(cik)（k0）r c ；等价：矩阵间等价： 行等价：A~（矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B） B；列等价：A~BA~B．行阶梯型矩阵： 阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。 行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0． ErF标准型： 0初等矩阵： 0矩阵Amn经初等变换总能化为标准型F． FE或 r0mn等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。 单位矩阵E经一次初等变换所得矩阵E(f)（f为变换规则）： E(i,j)：E(i(k))：E(ij(k))：1．2．)k0）；3． rirj(cicj)；rikrj(kcicj)．rik(cik（方阵A可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E1(f)。E2(f)，…，El(f)，使A=E1(f)E2(f)…El(f)． rE． 推论2：A~B存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B． 推论1：方阵A可逆A~r· r(E，A-1B)，r(E，x) 方阵A可逆，则(A，E)～(E，A-1)． (A，B)～Axb，x=A-1b(A，b)～· · · 定理1： 矩阵A初等行变换，初等矩阵左乘E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘AE(f)． 定理2： 重要性质： AcErT1TT1TTTT1TYCA~CCA1或Y(CA)(A)C(A,C)~(E,(A)C) 1矩阵的标准型F中非零行的行数r，记R(A)．且r+1阶子矩阵A的取A中k行与k列交叉处的k2个元素且秩： 式全等于零，r阶非零子式称A的最高阶非零子式。 k阶子式： 不改变对应位置组成的k阶行列式。 定义： 零矩阵的秩为0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。 矩阵秩的性质： ①0≤R(Am×n)≤min{m，n}； ②R(AT)=R(A)； ③若A~B，Q可逆，则R(PAQ)=R(A)； 则R(A)=R(B)； ④若P、⑤max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)，特例，当B=b为列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)+1； ⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)； ⑦R(AB)≤min{R(A)，R(B)}； ⑧若Am×nBn×l=0，则R(A)+R(B)≤n． 线性方程组有解，称它相容；无解，就称它不相容． n元线性方程组Axb 定理4： （i）无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)； （ii）有惟一解的充分必要条件是R(A)R(A,b)n； （iii）有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A,b)n． 定理5： 线性方程组Axb有解的充要条件是R(A)R(A,b)． 定理6： n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是R(A)n． 定理7： 矩阵方程AXB有解的充要条件是R(A)R(A,B)． 定理8： 设ABC，则R(C)min{R(A),R(B)}． 定理9： 矩阵方程AmnXnlO只有零解的充要条件是R(A)n． 第四章 向量组的线性相关性

注：列向量用黑体小写字母a、b、α、β等表示，行向量则用a、b、α、βT等表示，若无指明均当列向量．

向量b能由向量组A线性表示：b=λ1a1+λ2a2+…+λmam(λi为实数)或可记为bAx(x为一列向量)． n维向量(组)：向量(组中每个向量)由n个数组成。 向量组等价：两向量组能相互线性表示． 向量组A线性相关：k1a1+k2a2+…+kmam=0（ki不全为0)，反之线性无关。 向量组的秩：从向量组A中可选出r个向量线性无关，且任意r+1向量都线性相关，r为秩，记RA． 性质： 矩阵A与B行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价；列等价，则列向量组等价． 定理1： 向量b能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=R(A，b)． 定理2： 向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=R(A，B)． 推论： 向量组A：a1，a2，…，am与向量组B：b1，b2，…，bl等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A，B)． 定理3： 若向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示，则R(B)≤R(A)． 逆阵推广： n维单位坐标向量组E：e1，e2，…，el能由n维向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=n． 定理4： 向量组A：a1，a2，…，am线性相关的充要条件是R(A)0时一定线性相关。 ⑶设向量组A：a1，a2，…，am线性无关，而向量组B：a1，…，am，b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。 定理6： 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩． 推论： 由向量组A中部分向量组成向量组A0，若满足A0线性无关且A中任一向量都能由A0线性表示，则向量组A0便是向量组A的一个最大无关组． TTT定义： 定理7： 设mn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩RS=n－r． 解的结构： 方程Ax0通解：x=k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt；方程Axb通解：x=k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt+η*．ξ基础解系，t=n-r． 非空，封闭（加法、数乘运算均在集合内进行）的n维向量的集合称向量空间． 向量空间： 由线性无关向量组a1，a2，…，ar(基)所生成的r维(维数)向量空间为：V={x=λ1a1+λ2a2+…+λrar|λ1，λ2，…λrR}，λi称为x在基a1，a2，…，ar中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称自然基。 空间向量V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩。 基变换公式：B=AP；坐标变换公式：xB=P1xA．P=A1B，P1=B1A，其中A为旧基矩阵，B为新基矩阵，变换公式： －xA为旧基中的坐标列向量，xB为新基中的坐标列向量。P=A1B称为过渡矩阵．

第五章 相似矩阵及二次型 内积性质： 1.[x，y]=[y，x]；2.[λx，y]=λ[y，x]；3.[x+y，z]=[x，z]+[y，z]；4.当x=0时，[x，x]=0；当x≠0时，[x，x]>0． 22施瓦茨不等式：[x，y]2≤[x，x][y，y]． n维向量x的长度(范数)：x x , x ]  x1 2  x 2  x n．  [ －－－－向量长度： 性质：1.非负性：当x≠0时，||x||>0；当x=0时，||x||=0；2.其次性||λx||=|λ|||x||；3.三角不等式||x+y||≤||x||+||y||． 向量夹角： arccos[x,y]（x≠0，y≠0），当[x，y]=0时，称向量x与y正交；若x=0，x与任何向量都正交。 x y定理1： 若n维向量a1，a2，…，ar是一组两两正交的非零向量，则a1，a2，…，ar线性无关． 定义： 规范正交基：基中向量两两正交且都是单位向量；规范正交基中坐标计算公式： i  e iT a  [a, e i ] ． 施密特正交化 (基规范正交化)： 1．b1a1；b2a2[b1,a2][b,a][b,a][b,a]b1；b2ar1rb12rb2r1rbr1．[b1,b1][b1,b1][b2,b2][br1,br1] 1112．单位化e1b1，e2b2，，erbr，就是一个规范正交基．b1b2br－－正交矩阵： n阶矩阵A满足ATA=E（即A1=AT）． A为正交阵的充要条件：A的列(行)向量均是单位向量，且两两正交． 正交阵： 正交阵构成一个规范正交基。 正交变换： y=Px（P为正交阵），且||y||=||x||． 性质：1.若A为正交阵，则A1=AT也为正交阵，且|A|=1或(-1)； 2.若A和B均为正交阵，则AB也是正交阵． 方阵特征若Ax=λx成立，数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 定义： 特征方程：|A－λE|=0；特征多项式：f(λ)=|A－λE|=(λ1-λ)(λ2-λ)…(λn-λ)，f(λ)是λ的n次多项式。 设n阶矩阵A=（aij）的特征值为λi，则1．λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann；2．λ1λ2…λn=|A|． 特征性质： 若pi是方阵A的对应特征值λi的特征向量，则kpi（k≠0）也是对应于λi的特征向量． 若λ是方阵A的特征值，则：1．λk是Ak的特征值；2．当A可逆时，1/λ是A的特征值(其中φ(λ)=a0+a1λ+…+amλm；φ(A)=a0E+a1A+…+amAm）． －－－1的特征值；3．φ(λ)是φ(A)定理2： 设λ1，λ2，…，λm是方阵A的特征值，p1，p2，…，pm是对应的特征向量，若λi各不相等，则pi线性无关． 定义： 若对矩阵A，B有，P1AP=B，则称B是A的相似矩阵．对A进行运算P1AP称对A进行相似变换． 定理3： 若A与B相似，则A与B的特征多项式相同，且A与B的特征值亦相同． 推论：若A与对角阵Λ相似，则λ1，λ2，…，λn即是A的n个特征值． －定义： 把方阵A对角化：P1AP=Λ；可求得Λ=diag((λ1，λ2，…，λn)，其中λi为A特征值． 定理4： n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。 推论：若n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。 定理5： 对称阵的特征值为实数。 定理6： 设λ1，λ2是对称阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量．若λ1≠λ2，则p1与p2正交． 设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使P1AP=PTAP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵． 推论：设A为n阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A－λE的秩R(A－λE)=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量． －定理7： 对称阵A1．求出A的全部特征值λ1，λ2，…，λs，它们的重数依次为k1，k2，…，ks(k1+k2+…+ks=n)． 对角化的2．分别对ki重特征值λi，求(A－λE)x=0的基础解系，得ki个线性无关特征向量，把它们正交化、单位化． －步骤： 3．把求出的总共n个正交、单位向量构成正交阵P，便有P1AP=PTAP=Λ，P列向量与Λ的对角元对应． 1．基本函数式：f(x1，x2，…，xn)=a11x21+a22x22+…+annx2n +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn． 2．fn二次型： i,j1axx（1中满足aijij3．f=xTAx，2中记对称阵A=（aij），xT=（x1，x2，…，xn）． ji． aij）4．标准形(或法式)：f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n．（x=Cy代入1） 5．规范形：f=z21+…+z2p－z2p+1－…－z2r 6．f=(Cy)TACy=yT(CTAC)y（x=Cy代入3）． (x=Pz代入1，即4中λi只取1，-1或0)． 7．f=yTΛy，4中记Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，yT=（y1，y2，…，yn）． 定义： 二次型与对称阵A之间一一对应，A叫做二次型f的矩阵，f叫做A的二次型，A的秩叫做二次型f的秩． 设n阶矩阵A与B，若有可逆矩阵C，使B=CTAC，则称矩阵A与B合同（．若A对称则B对称且R(A)=R(B)．） 二次型f总有正交变换x=Cy，使f化为标准形f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，其中λi是f的矩阵A=（aij）的特征定理8： 值。 推论：二次型f=xTAx(AT=A)，总有可逆变换x=Pz，使f(Pz)为规范形． 已知x=Cy，CTAC=Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λi是f的矩阵A=（aij）的特1征值，设y=Kz，对角阵K=diag(k1，k2，…，kn)，根据二次型各种形式有 其中kf变换： iif=xTAx=yT(CTAC)y=zTKT(CTAC)Kz=zTKTΛKz，且得x=CKz，KTΛK=diag(λ1k21，122222222λ2k2，…，λnkn)，且得规范形f=λ1k1z1+λ2k2z2+…+λnknzn． ,i0,i0 配方变换： 1．二次型有平方项x2i，直接配方．2．二次型无平方项，有乘积项x2ix2j，取xi=yi+yj，xj=yi－yj． 定理9（惯设有二次型f=xTAx，它的秩为r，有两个可逆变换x=Cy及x=Pz，使f=λ1y21+λ2y22+…+λry2r（λi≠0），及性定理）： f=k1z21+k2z22+…+krz2r（ki≠0），则λ1，λ2，…，λr中正数的个数与k1，k2，…，kr中正数的个数相等． 二次型标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负则为负惯性指数． 定义： 若秩为r，正惯性指数为p，则二次型规范形便可确定为：f=z21+…+z2p－z2p+1－…－z2r． 对二次型f(x)=xTAx（x≠0），若恒有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称对称阵A是正定的；若恒有f(x)<0，则称f为负定二次型，并称对称阵A是负定的． 二次型f=xTAx为正的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正，即它的正惯性指数等于n． 推论：对称阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正． 对称阵A=（aij）为正定的充要条件是： A的各阶主子式都为正，即 对称阵A=（aij）为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 定理10： 定理11（霍尔维a11a0，茨定理）： 11a12a21a22a11a1n0； 0，an1anna11a1r(1)r0，（r=1,2，…，n）． ar1arr二元正定二次型f(x,y)c（c>0为常数）的图形是以原点为中心的椭圆． 补充： 三元正定二次型f(x,y,z)c（c>0为常数）是一族椭球．