人口增长logistic模型的拟合

李月 200911131952 谭结 200911131959 刘延卿200911131915

问题摘要

关于人口模型的研究，我们已经有很多方法。这个题目要求我们用LOGISTIC模型来拟合美国人口数据。了解到LOGISTIC模型的性质和原理之后，我们根据老师给出的数据： 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

123 132 151 179 204 227 251 281 分为以下几个步骤来进行估计。

首先，我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及 k， 先拟合线性模型 un=r-m*yn，其中 un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。 其次，我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数 y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]

需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，就可以得到一个更加好的参数估计。在MATLAB中实现。 最终我们得到结果： （需要完善的部分）

1 关键词

LOGISTIC模型 非线性拟合 循环语句 参数估计 内禀增长率

2 问题的重述

.用人口增长的Logistic模型 dy/dt=r(1-y/K)y 拟合美国人口数据： 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920

31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

123 132 151 179 204 227 251 281

3 问题的分析

问题的关键是要做一个LOGISTIC模型。在模型的建立中，至关重要的是对参数的估计。我们知道的LOGISTIC模型，x’=rx(1-x/k)是这个模型的基础，所以我们最重要的任务就是要合理估计参数。

分为以下几个步骤来进行估计。

1我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x’=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及 k， 2先拟合线性模型 un=r-m*yn，其中 un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。 3我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数 y=k/[1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)]

需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，在MATLAB中实现运行。

4 符号说明及问题假设 4-1 符号说明

(注：由于我们主要任务是估计参数，其实没有实际太多的符号说明，这里就给出一些MATLAB中的字母代表的意义，方便大家理解) N 人口数目，以一个人为单位 T 时间，这里指的也是年份

r(r(N)) 内禀增长率，就是在没有外界自然条件限制下的自然增长率，理想状态下的增长率

K 环境承载力或饱和水平，k→ ∞ 时，模型退化为 Malthus 模型

4-2问题假设

假设1. 人群个体同质。 假设2. 群体规模大。

假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。

假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率） 假设5. 群体增长平稳。

假设6. 个假设60:在有限的资源内生物种群存在有饱和水平, r为 N的线性减函数, 有零点 K .

5 模型的建立 5.1 背景知识介绍

有关LOGISTIC模型：

在Marthus 模型的基础上我们建立了LOGISTIC模型，只需要修改Marthus 模型中的假设六，我们就得到了一个更加接近实际情况的模型，就是LOGISTIC模型，在这个模型里，我们增加了限制，对人类的个体增长进行了控制，不再是个体独立增长，二十有了环境承载力，K.增加了这个参数，当k无穷大的时候，LOGISTIC模型就接近于Marthus 模型。

5.2 对问题的初步分析

首先，我们先处理老师给出来的数据，

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

123 132 151 179 204 227 251 281 绘制一个人口与时间的关系的图像 （贴图）

分析离散的数据，我们确定要建立的模型是：

dN(t)N(t) r(1)N(t)dtK

为了初步估计参数，我们先要算离散解

▪ x’=x[n+1]-x[n]

x[n+1]-x[n]x[n] =r(1-)x[n]K

为了计算这个离散解，我们进行了线性拟合，而且是一维线性拟合。

在得到原始的结果，粗糙的估计了参数R,K之后，我们又继续进行非线性拟合