第9讲 函数的基础知识
重难点1 平面直角坐标系及点的坐标
(2018·咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(-1,5).
【思路点拨】 如图,过点E作x轴的垂线,过点F作y轴的垂线,构造全等三角形,得到相应的线段长,从而求出点F的坐标.
【变式提问】 例1 中,点G的坐标是(-3,2);将正方形OEFG绕点O顺时针旋转,当点F在y轴上时,点E的坐标是(26262626,)或(-,-). 2222方法指导
1.解决与平面直角坐标系有关的问题要灵活运用数形结合的思想.
2.求一个点的坐标需确定两方面的信息:一是坐标的正负性,以确定这个点所在的区域;二是坐标的绝对值,以确定这个点到两条坐标轴的距离.
3.坐标的平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
模型归纳 全等的三垂直模型
易错提示
注意坐标与线段长的关系,本题中,点F在第二象限,横坐标为负,纵坐标为正.
【变式训练1】 (1)点A的坐标为(2,3),将点A绕原点逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(-3,2);
(2)点A的坐标为(2,3),将原点O绕点A顺时针旋转90°,得到点C,则点C的坐标为(-1,5).
【变式训练2】 如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(5,0),点C的坐标为(1,2),则点B的坐标为(6,2);
【变式训练3】 (2017·百色)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,1
0),将正方形OABC沿OB方向平移OB个单位长度,则点C的对应点坐标是(1,3).
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重难点2 函数图象
(2018·孝感)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,BC=6 cm,动点P从点A开始沿AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,P点到达B点运动停止,则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是(C)
A B C D 【思路点拨】 根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式.
方法指导运动背景下的函数图象问题,第一,要数形结合,将运动过程与图象完全对应起来;第二,可先从图象上判断自变量的取值范围是否与运动实际过程一致,然后结合图象的趋势判断是否与实际过程一致;第三,可选取图象上的特殊点看是否符合运动过程;第四,可尝试求出函数关系式,再根据函数关系式的类型去判断.
易错提示在复习中遇到判断函数图象的问题时,容易想到学过的一次函数、二次函数、反比例函数,但要注意一些分段函数及非常规的函数.
【变式训练4】 (2018·长沙)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是(B)
A.小明吃早餐用了25 min B.小明读报用了30 min
C.食堂到图书馆的距离为0.8 km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min
【变式训练5】 (2018·广安)已知点P为某个封闭图形边界上的一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是(A)
A B C D
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考点1 平面直角坐标系及点的坐标
1.(2017·宁夏)在平面直角坐标系中,点(3,-2)关于原点对称的点是(A)
A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,-2) D.(3,2) 2.(2018·东营)在平面直角坐标系中,若点P(m-2,m+1)在第二象限,则m的取值范围是(C)
A.m<-1 B.m>2 C.-1<m<2 D.m>-1
3.(2018·扬州)在平面直角坐标系的第二象限内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,则点M的坐标是(C)
A.(3,-4) B.(4,-3) C.(-4,3) D.(-3,4)
4.(2018·北京)如图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论:
①当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-6,-3)时,表示左安门的点的坐标为(5,-6);
②当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-12,-6)时,表示左安门的点的坐标为(10,-12);
③当表示天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(-11,-5)时,表示左安门的点的坐标为(11,-11);
④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(-16.5,-7.5)时,表示左安门的点的坐标为(16.5,-16.5).
上述结论中,所有正确结论的序号是(D)
A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②③④
5.(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(-2,1),将点A先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,则平移后点A的坐标为(1,-1). 6.(2018·南京)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-1,2).作点A关于y轴的对称点,得到点A′,再将点A′向下平移4个单位长度,得到点A″,则点A″的坐标是(1,-2).
考点2 函数概念
7.若汽车的速度为120 km/h,则描述路程s(km)与时间t(h)之间关系的说法中:①s是t的函数;②t是s的函数;③s=120t;④s随t的增大而减小.其中正确的有(A)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
8.(2018·呼和浩特)二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶,它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白昼时长最长,根据如图,在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气(D)
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A.惊蛰 B.小满 C.立秋 D.大寒
9.(2018·恩施)函数y=
2x+11
的自变量x的取值范围是x≥-且x≠3. x-32
考点3 函数图象
10.(2018·随州)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是(B)
A B C D
11.(易错)(2017·齐齐哈尔)已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数,则下列函数中,能正确反映y与x之间函数关系的图象是(D)
A B C D
12.(2017·潍坊)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是(B)
A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2)
13.(2017·北京)小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是(D)
A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点 B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
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C.小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程 D.小林在跑最后100 m的过程中,与小苏相遇2次
14.(2018·滨州)如果规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[2.3]=2,那么函数y=x-[x]的图象为(A)
A B C D
15.(2018·安顺)如图,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4.若点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐标为(8,0).
16.如图是一种古代计时器“漏壶”的示意图,在壶内盛有一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶壁上画有刻度,人们可以根据壶中水面的位置计算时间.若用x表示时间,y表示壶底到水面的高度,下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)(B)
,A) ,B) ,C) ,D)
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