实 践 讲 堂 近些年来．平面向量与解三角形相结合的题目经常出现在 各类考试题中．并且通常是以选择或填空的形式出现．下面是 取值范围为Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。 与之相关的两个简单结论。 结论１：如图（１）．在三角形ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的任意 一点。若满足 ：加 （ｍ，ｎ是实数），则我们有结论 ｍ＋ｎ．４－１。 证明：（方法司类比第１题）过Ｄ点作ＤＥ／／ＡＣ交ＡＢ 于Ｅ、交ＢＣ于Ｌ，作ＤＦ／／ＡＢ交ＡＣ于Ｆ、交曰Ｃ于Ｋ，如图 （４）。 则有 证明：过Ｄ点作ＤＥ／／ＡＧ交 于 ，作ＤＦ／／ＡＢ交 Ｃ于 ： ＋ ，若记 ： ＋ ，记 ：ｍ （ｍ为正实数，且小于１）， 则ｆ府ｆ＝ｍｆ ｆ，并且有 ＝ ＋ 。 求 与 之间的关系的方法也和上题类似： Ｆ，如图（２），则ＡＥＤＦ为平行四边形，所以 ：ｍ （ｍ为正实数，且小于１），贝ｆ Ｊ 『ｌ：ｍＩ ｌ，并且有 ：， 十 ① 接下来我们期望得出 与 之间的关系： △ ，ＪＥ △曰 △ｃ △ 曰 ＝ ＝＿ＡＦ ＿③ ④ 由于 与 是共线向量，所以只需找到Ｊ Ｊ与ｊ ｆ 之间的关系。而三角形相似可以提供线段之间的比例关系。 因为Ｄ点在三角形ＡＢＣ的内部。所以在线段ＢＣ上．Ｋ点 必定在厶点的左边，即ＢＫ＜ＢＬ，再由①和②可得： ＡＦ ＜ Ｂ Ｅ＝ ＡＢＤＥ￣ＡＢＣＡ＠ ＢＥ＝器 堕△ｃ肋 △ 口 ＝ ＡＦ ＢＡ ＝ ＡＦ② 一ＡＣ １一ｍ ．１ ｌ＜（１一ｍ）ｌ ｌ⑤ 由于向量 与 共线，若记 ：ｎ ，ｍ，ｎ＞ｏ，由⑤得： ＜１－ｍ，．‘．Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。 再根据 ：ｍ ，可算得亩：（１－ｍ）Ａｆｔ，代人②式即有 【其他形式】若百 ＝ｍ百 ＋ｎ ，则ｍ＋ｎ的范围是ｏ＜ｍ＋ｎ ｌ １＝（１一ｍ）１ ｌ’．．Ａ￣－（１一ｍ） ， ．１；若 ＝ｍ ＋ｎｃ－－ｆ，则ｍ＋ｎ的范围是０＜ｍ＋ｎ＜１；若Ｄ点是三 ￣ｆ￣ＡＢＣ的中心，此时ｍ＝ｎ＝丁１。 · ＝ ＋ＡＴ： ＋（１一ｍ） ， 显然，ｎ＝ｌ—ｍ，即ｍ＋ｎ＝Ｉ。 注：若Ｄ点是ＢＣ边上的中点，则 ：｝ ＋ ，此 时一ｎ＝ 。 练习１：已知Ｐ是△，４ＢＣ的中线ＡＤ上的任意一点，且满 足 ＝Ａ ，求Ａ 的取值范围。 练习２：设Ｐ是三角形 日Ｃ内一点（不包括边界），且向量 结论２：如图（３），在三角形ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＡＢＣ内的任意 一：ｍ ＋ｎ 名／ ’ （ｍ， Ｅ Ｒ），则ｍ２＋ｎ２—２ｍ一２ｎ＋３的取值范围是 点（不包括边界），若 ：ｍ ＋ｎ （ｍ，ｎ是实数），则ｍ ＸＵＥＺＨ０ＵＫＡＮ １ ４１
