复变函数论第四版第二章练习

一、复函数的可导（可微）、解析------充分掌握解析的定义，并特别留意在一点处解析和一

点处可导的区别，切实掌握C.-R.方程及有关定理及公式，熟练掌握复函数可导的必要定理、充要和充分条件，复函数解析的等价性定理。

1. 函数wzImzRez在其可导处的导数为（ ）

z122. 讨论函数f(z)e,0,z0, 在原点处的可微性。

z0,x(x2y2)(yix),243. 设f(z)xy0,f(z)f(0)0,但f(0)不存在。

zz0,z0,0时，证明：当沿任何向径ymx4.设f(z)piq为zxiy的解析函数且已知2xyp(y2x2)q2xy(x2y2)20，求f(z).

z5,z0,5. 证明函数f(z)|z|4在原点不可微但在原点满足C._R.条件。

0,z0,32326.设f(z)mynxyi(xlxy)在z平面上解析，其中zxiy,n,m,l为实数，求

l,m,n之值。

7.设f(z)在区域D上解析，证明f(z)在区域D1{z:zD}中解析。

8.如果函数f(z)uiv在区域D内解析，并且满足条件8u9v2003，试证f(z)在D必为常数。

9. 设f(z)z,D{z|Rez},取z131211(13i),z2(13i),通过计算22f(z1)f(z2)，验证中值定理在复数域内不成立。

z1z2* 10. 设f(z)uiv在有界闭区域D上连续且在其内解析不为常数，证明：u(x,y)在且只在D的边界上取得最大值和最小值.

二、充分掌握复指数函数、复正弦、余弦函数； 充分掌握初等函数中的多值函数（根式函数、对数函数）及主值的概念，能计算一般幂函数和一般指数函数，理解多值函数的単值解析分支并能计算其函数

1.（阅读 数学分析 下册P页关于复指数函数的定义） 2．比较复指数和实指数函数之间的区别 3. 设函数f(z)e1z除z0处在C上有定义，证明：

1）在去心半圆\"0|z|1,|argz|2\"上函数有界；2）在上述去心半圆上f(z)连续，

但不一致连续；3）在去心扇形\"0|z|1,|argz|

4.证明：

2\"上一致连续。

n1ynnsin(xky)sinxysin2;y2k0sin2y中sin0，这里x,y为实数.

2n1ynncos(xky)cosxysin2;其y2k0sin25. 函数f(z)2arg(z3)在复平面除去实轴上一区间（ ）外是解析的； 6.Ln(34i)（ ），主值为（ ） 7.计算下列各值

1）．e

3in(t；2）．a)i；3）n(23)i．L4；4）．1；5）．(2)22.