绵阳二诊数学理科试卷及答案

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绵阳市高中2009级第二次诊断考试

数 学（理科）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页.全卷满分150分.考试结束后将答题卡和答题卷一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上. 1. sin600 A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 22. “a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

13. 已知函数f(x)x2sin3xcos，其中R，则g()f'(1)的取值范围是

2 A. [1,1]

B. [2,2]

C. [3,3]

D. [1313,] 224. 若x0,y0，且xy1，则zxy的最大值是 A. 1

B. 2

C. －1

D. －2

5. 已知直线l1:y2x3，若直线l2与l1关于直线xy0对称，又直线l3l2，则l3 的

斜率为 A. -2

B. 1 2 C.

1 2 D. 2

6. 若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为原点)，

则k的值是 A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 3

7. 给出如下三个命题：

① 三个非零实数a、b、c依次成等比数列的充要条件是bac； ② 设a、bR,且ab0，若

ab1，则1； ba③ 若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数. 其中假命题的代号是

A. ①②③

B. ①②

C. ①③

D. ②③

8. 直线xcos3y20(aR)的倾斜角的范围是

55 A. [0,][,) B. [,)(,]

666226 C. [0,5 ] 65D. [,]

669. 已知O是ABC内一点，0AOB2OC0,则AOB的面积与ABC的面积之比为 A. 1：4

B. 2：3

C. 1：3

D. 1：2

x1cos10. 已知点A(2,0),B(0,2),C是曲线则ABC的面积的,(R)上任意一点，

ysin最小值等于 A.

32 2B. 32 C.3 D. 32

11. 在数列an中，若a12,a29，且当nN*时，an2是anan1的个位数字，则a2009 等于 A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

12. 如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别是A2B2C2的三个内角的正弦值，那么 A. A1B1C1与A2B2C2都是锐角三角形

B. A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形 C. A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形

D. A1B1C1与A2B2C2都是钝角三角形

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置.答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上.

二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了

解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应该抽取的人数为 . 14. 设向量a,b,c满足abc0,ab,a1,b2，则c＝ . 15. 若log2a(1a2)log2a(1a)，则正实数a的取值范围是 . 16. 已知函数f(x)1sin2x，给出下列结论：

sinxcosx ① f(x)的定义域为{x|xR,且x2k ② f(x)的值域为[1,1]；

③ f(x)是周期函数，最小正周期为2； ④ f(x)的图像关于直线x4,kZ}；

4对称；

⑤ 将f(x)的图像按向量a(,0)平移得到g(x)的图像，则g(x)为奇函数.

2其中正确的结论是 .（将你认为正确的结论序号都写上）

三、 解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知向量

m(c2b,a),n(cosA,cosC),且mn. （1） 求角A的大小；

（2） 若ABAC4,求边BC的最小值.

18. （本小题满分12分）已知数列an(nN*)是首项为1的等比数列，其公差d0，且

a3、a72、3a9成等比数列.

（1）求数列an的通项公式；

(2) 设数列an的前n项和为Sn，求f(n)Sn的最大值.

(n18)Sn119. （本小题满分12分）在2008年北京奥运会羽毛球女单决赛中，中国运动员张宁以2：

1力克排名世界第一的队友谢杏芳，蝉联奥运会女单冠军.羽毛球比赛按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局的选手获胜，比赛结束），且各局之间互不影响.根据两人以往的交战成绩分析，谢杏芳在前两局的比赛中每局获胜的概率是0.6，但张宁在前二局战成1：1的情况下，在第三局中凭借过硬的心理素质，获胜的概率为0.6.若张宁与谢杏芳下次在比赛上相遇.

（1）求张宁以2：1获胜的概率；

（2）设张宁的净胜局数为，求的分布列及E. 20. （本小题满分12分）已知f(x)x3mx2x2(mR).

1 (1) 如果函数f(x)的单调递减区间为(,1)，求函数f(x)的解析式；

3 （2）若f(x)的导函数为f'(x)，对任意x(0,)，不等式f'(x)2xlnx1恒成立，求

实数m的取值范围.

21. （本小题满分12分）已知动点P(x,y)到原点的距离的平方与它到直线l:xm（m是常数）的距离相等.

（1）求动点P的轨迹方程C;

(2) 就m的不同取值讨论方程C的图形.

axb22.（本小题满分12分）已知偶函数f(x)2(a,b,c是常数）的导函数为f'(x)，且

xcf(1)1， f'(1)2.数列an满足a11，且当n2,nN*时，ann2[f(1)f(2)f(3)f(n1)]

（1）求函数f(x)的解析式； (2) 求证：

1anf(n1)(n2,nN*)； an1f(n) （3）求证：(11111)(1)(1)(1)4. a1a2a3an绵阳市高中2009级第二次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分标准

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. DCBA ADBA CDCB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

113. 50 14. 5 15. (,1) 16. ③④

2三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17. （1）由已知，可得 mn(c2b,a)(cosA,cosC)0， 即 (c2b)cosAacosC0. 由正弦定理，得

………………………………2分

(2RsinC4RsinB)cosA2RsinAcosC0，

∴ 2sinBcosAsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB， 由sinB0,得2cosA1, ∴A60. 法二 由余弦定理，得

………………………………6分

b2c2a2a2b2c2(2bc)a，

2bc2abb2c2a2b2c2a2a2b2c2∴ ， c2b2bb2c2a2b2c2a2a2b2c2b， ∴

c2b2b∴ b2c2a2bc.于是由 b2c2a22bccosA， 得 2cosA1，∴A60.

（2）由已知，得ABAC|AB||AC|cosAcbcos604， ∴ bc8

………………………………9分

∴ a2b2c2bc2bcbcbc8，即BC的最小值为22.

………………………………12分

18. （1）∵an1(n1)d， ∴ a312d,a716d,a918d, 于是 (36d)23(12d)(18d)，

………………………………3分

注意到d0，得d1，所以ann. (2) 因为ann，所以Sn当且仅当nn(n1)，于是 2………………………………6分

361 ，即n6时，f(n)的最大值为. ………………12分 n3219. （1）张宁以2：1获胜即前两局战成1：1，第三局张宁胜.

1P(1)C20.6(10.6)0.60.288.

………………………………6分

(2) 的所有可能取值为－2，－1，1，2. ∴ 的分布列为

ξ -2 0.36 -1 0.192 1 0.288 2 0.16 ∴ E20.36(1)0.19210.28820.160.304…………12分 20. （1）f'(x)3x22mx1.

………………………………2分

1由题意 f'(x)3x22mx10的解集是(,1)，

31即 3x22mx10的两根分别是,1. ………………………………4分

31将x或x1代入方程3x22mx10得m1.

3∴ f(x)x3x2x2.

………………………………6分

（2） 由题意知 3x22mx12xlnx1在x(0,)恒成立，

3x在x(0,)恒成立. ………………………………8分 23132设 h(x)lnxx，则 h'(x).令h'(x)0，得x.

2x2322当0x时，h'(x)0；当x时，h'(x)0， ……………………10分

3322∴ 当x时，h(x)取得最大值，h(x)maxln1ln2ln3e,

33∴ mln2ln3e. 即mlnx因此m的取值范围是[ln2ln3e,).

………………………………12分

21. （1）因为原点为O(0,0)，所以动点P(x,y)到原点的距离为|PO|x2y2， ∴ 动点P的坐标满足(x2y2)2|mx|，

∴ x2y2|mx|，此即为动点P的轨迹方程. ……………………4分

（2） 由x2y2|mx|，两边平方，移项因式分解， 得 (x2y2mx)(x2y2mx)0，

1111∴ (x)2y2m或(x)2y2m. ……………………6分

24241111① 当m0且m0，即m时，点P的轨迹是两个圆.一个圆的圆心是

44441111m；一个圆的圆心是(,0)，半径为m.……………………8(,0)，半径为4422分

11或m－时，点P的轨迹是一个圆和一个点. ……………………10分 4411③ 当m或m－时，点P的轨迹是一个圆. ……………………12分

44② 当m22. （1）由已知可得f(x)f(x)axbaxb2ax0对定义域内的任意x都

(x)2cx2cx2c成立，∴a0.

ab又f(1) 1 得ab1c. ∴b1c.

1c于是f(x) ……………………2分

1c2(1c)x2(1c),f'(x),f'(－1)＝2， ∴x2c(x2c)2(1c)2∴ c0. 因此函数的解析式为f(x)(2) ∵f(n)1 n21. 2x ……………………5分

∴ ann2[1111],(n2,nN*)， 22223(n1)1111112]1n(1)， 22222223(n1)23n于是

1ann2[1an1(n1)2(1111)， 2232n2因此

1ann2f(n1)an1f(n)(n1)2(n2,nN*).

……………………9分

(3) 由题意可得 a24；当n1时，有1124. a1……………10分

当n2,nN*时， 不等式左边＝

1a11a21a31an a1a2a3an1a111a21a31an11anan1 a1a2a3a4anan1＝

1112232(n1)2n2＝an1

143242n2(n1)2＝

2an11112(1) 2222(n1)23n ……………………12分

111112[1(1)()()223n1n

21111*44(因2,n2,nN)nn(n1)n1nn所以，对任意nN*有(11111)(1)(1)(1)4……………………14分 a1a2a3an