一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠COM的大小为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．（a3）2＝a5 C．a3•a2＝a6
B．a6÷a3＝a2 D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
4．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ） A．0.34×105
﹣
B．3.4×106 C．3.4×105
﹣D．3.4×106
﹣
5．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（ ）
A．110°
B．70°
C．90°
D．30°
6．（3分）一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任
意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ） A．摸到白球是必然事件 C．摸到白球是随机事件
B．摸到黑球是必然事件 D．摸到黑球是不可能事件
7．（3分）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ） A．地表
B．岩层的温度
C．所处深度
D．时间
8．（3分）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互为余角 D．垂线段最短
9．（3分）若要植一块三角形草坪，两边长分别是20米和50米，则这块草坪第三边长不能为（ ） A．60米
B．50米
C．40米
D．30米
10．（3分）如图，BE＝CF，AB∥DE，添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．AC∥DF
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若二次三项式x2+2mx+81是完全平方式，则常数m的值为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD是△ABC的中线，且AD＝5cm，则△ABC的面积为 ．
13．（4分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是 ．
14．（4分）某人购进一批苹果到市场上零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表．
数量x（千克） 售价y（元）
1 3+0.1
2 6+0.2
3 9+0.3
4 12+0.4
5 15+0.5
则当卖出苹果数量为10千克时，售价y为 元．
三、解答题（本大题共6小题，共分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）计算：
（1）25×（﹣）2﹣4×（﹣
）0+（）2；
﹣
（2）2a（5a﹣4）+（5a+3）（4a﹣2）．
16．（6分）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
17．（8分）根据题意及解答，填注推导理由：
如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，交AB和CD于点M、N，MP平分∠AME，NQ平分∠CNE．试说明MP∥NQ． 解：∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CNE．（ ） ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∵∠AME＝∠CNE， ∴∠1＝∠2．（ ） ∵∠1＝∠2，
∴MP∥NQ．（ ）
∠CNE．（ ）
18．（8分）为了准备体育艺术节的比赛，某篮球运动员在进行定点罚球训练，如表是部分训练记录：
罚球次数 命中次数 命中频率
20 15 0.75
40 32 0.8
60 48 0.8
80 65 0.81
100 80 0.8
120 96 0.8
（1）根据上表：估计该运动员罚球命中的概率是 ；
（2）根据上表分析，如果该运动员在一次比赛获得10次罚球机会（每次罚球投掷2次，每命中一次得1分），估计他罚球能得多少分，请说明理由．
19．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据； （3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
20．（10分）如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．
（1）求证；DE⊥DF； （2）求证：△BDE≌△DCF； （3）求证：EF∥BC．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）计算：（）2019×（）
﹣2020
＝ ．
22．（4分）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，在∠α与∠β的数量关系中，若用∠α的代数式表示∠β，则∠β＝ ．
23．（4分）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的纸片做成无差别的纸团，洗匀后从中任取一个纸团，若展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为 ．
24．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝ ．
25．（4分）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）小明周末外出爬山，他从山脚爬到山项的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为t（分），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．
（1）小明中途休息用了 分钟；上述过程中，小明所走的路程为 米； （2）若小明休息后爬山的平均速度是25米/分，求a的值．
27．（10分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： （1）已知x+y＝6，xy＝
，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
28．（12分）探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理
由．
2019-2020学年四川省成都市郫都区七年级（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C．
2．（3分）如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠COM的大小为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【分析】利用对顶角的定义得出∠AOC＝80°，进而利用角平分线的性质得出∠COM的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠BOD＝80°， ∴∠AOC＝80°，
∵射线OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM＝×∠AOC＝×80°＝40°． 故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．（a3）2＝a5 C．a3•a2＝a6
B．a6÷a3＝a2 D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误； B、a6÷a3＝a3，故此选项错误； C、a3•a2＝a5，故此选项错误； D、（﹣ab）3＝﹣a3b3，正确． 故选：D．
4．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ） A．0.34×105
﹣
B．3.4×106 C．3.4×105
﹣D．3.4×106
﹣﹣
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×106．
﹣
故选：D．
5．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（ ）
A．110°
B．70°
C．90°
D．30°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°， ∴∠B′＝110°， 故选：A．
6．（3分）一个不透明的盒子中装有9个白球和1个黑球，它们除了颜色外都相同．从中任意摸出一球，则下列叙述正确的是（ ） A．摸到白球是必然事件 C．摸到白球是随机事件
B．摸到黑球是必然事件 D．摸到黑球是不可能事件
【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可． 【解答】解：∵摸到白球是随机事件，不是必然事件， ∴选项A不符合题意，选项C符合题意； ∵摸到黑球是随机事件， ∴选项B、D不符合题意； 故选：C．
7．（3分）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ） A．地表
B．岩层的温度
C．所处深度
D．时间
【分析】地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是深度，因变量是岩层的温度．
【解答】解：∵地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化， ∴自变量是深度，因变量是岩层的温度． 故选：B．
8．（3分）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．直角三角形的两个锐角互为余角 D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性， 故选：A．
9．（3分）若要植一块三角形草坪，两边长分别是20米和50米，则这块草坪第三边长不能为（ ） A．60米
B．50米
C．40米
D．30米
【分析】根据三角形的三边关系定理可得50﹣20＜x＜50+20，再解即可． 【解答】解：由题意得：50﹣20＜x＜50+20， 即30＜x＜70，
观察选项，D选项符合题意． 故选：D．
10．（3分）如图，BE＝CF，AB∥DE，添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．AC∥DF
【分析】由平行可得到∠B＝∠DEF，又BE＝CF推知BC＝EF，结合全等三角形的判定方法可得出答案． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF．
A、当AB＝DE时，可用SAS证明△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、当∠A＝∠D时，可用AAS证明△ABC≌△DEF，故本选项错误； C、当AC＝DF时，根据SSA不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
D、当AC∥DF时，可知∠ACB＝∠F，可用ASA证明△ABC≌△DEF，故本选项错误； 故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若二次三项式x2+2mx+81是完全平方式，则常数m的值为 9或﹣9 ． 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可． 【解答】解：∵x2+2mx+81是一个完全平方式， ∴2mx＝±2•x•9， 解得：m＝±9． 故答案为：9或﹣9．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD是△ABC的中线，且AD＝5cm，则△ABC的面积为 15cm2 ．
【分析】根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴△ABC的面积＝故答案为：15cm2．
13．（4分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是 55° ．
，
【分析】先根据平角的定义求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2＝∠3即可． 【解答】解：∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝35°， ∴∠3＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝55°，
故答案为：55°．
14．（4分）某人购进一批苹果到市场上零售，已知卖出苹果数量x与售价y的关系如下表．
数量x（千克） 售价y（元）
1 3+0.1
2 6+0.2
3 9+0.3
4 12+0.4
5 15+0.5
则当卖出苹果数量为10千克时，售价y为 31 元．
【分析】根据图表中数据可得出，y与x的函数关系进而得出答案． 【解答】解：由图表可得出： y＝3x+0.1x＝3.1x．
当x＝10时，y＝3.1×10＝31， 故答案为：31．
三、解答题（本大题共6小题，共分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）计算：
（1）25×（﹣）2﹣4×（﹣
）0+（）2；
﹣
（2）2a（5a﹣4）+（5a+3）（4a﹣2）．
【分析】（1）根据零指数次幂，负指数次幂的性质，有理数的乘方进行计算，再乘除，后加减即可求解；
（2）根据整式乘法的法则计算，再合并同类项即可求解． 【解答】解：（1）原式＝＝1﹣4+9 ＝6；
（2）原式＝10a2﹣8a+20a2+2a﹣6 ＝30a2﹣6a﹣6．
16．（6分）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【分析】原式中括号中利用单项式乘多项式，完全平方公式以及平方差公式化简，去括号合并后得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣4y2﹣2x2+5xy）﹣y ＝﹣xy+5y2﹣y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，原式＝﹣6+45+3＝42． 17．（8分）根据题意及解答，填注推导理由：
如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，交AB和CD于点M、N，MP平分∠AME，NQ平分∠CNE．试说明MP∥NQ． 解：∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CNE．（ 两直线平行，同位角相等 ） ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∵∠AME＝∠CNE，
∴∠1＝∠2．（ 等量代换 ） ∵∠1＝∠2，
∴MP∥NQ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∠CNE．（ 角平分线的定义 ）
【分析】利用平行线的性质定理和判定定理解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CNE．（两直线平行，同位角相等）， ∵MP平分∠AME，NQ平分∠CNE， ∴∠1＝∠AME，∵∠AME＝∠CNE， ∴∠1＝∠2．（等量代换）， ∵∠1＝∠2，
∴MP∥NQ．（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直
∠CNE．（ 角平分线的定义），
线平行．
18．（8分）为了准备体育艺术节的比赛，某篮球运动员在进行定点罚球训练，如表是部分训练记录：
罚球次数 命中次数 命中频率
20 15 0.75
40 32 0.8
60 48 0.8
80 65 0.81
100 80 0.8
120 96 0.8
（1）根据上表：估计该运动员罚球命中的概率是 0.8 ；
（2）根据上表分析，如果该运动员在一次比赛获得10次罚球机会（每次罚球投掷2次，每命中一次得1分），估计他罚球能得多少分，请说明理由． 【分析】（1）直接由表格数据可估计该运动员罚球命中的概率；
（2）根据（1）可知运动员罚球命中的概率，由题意可知20次罚球得分多少． 【解答】解：（1）根据表格数据可知该运动员罚球命中的概率0.8， 故答案为0.8；
（2）由题意可知，罚球一次命中概率为0.8， 则罚球10次得分为10×2×0.8＝16， ∴估计他能得16分．
19．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据； （3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；
（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°； （2）∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°， 同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°； （3）∵△DAF的周长为20， ∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC， ∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+FA＝20．
20．（10分）如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．
（1）求证；DE⊥DF； （2）求证：△BDE≌△DCF； （3）求证：EF∥BC．
【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质可求结论； （2）由“AAS”可证△BDE≌△DCF；
（3）通过证明四边形DEFC是平行四边形，可得EF∥BC． 【解答】证明：（1）∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC， ∴∠PDE＝∠ADB，∠FDP＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠PDE+∠PDF＝∠ADB+∠ADC＝（∠ADB+∠ADC）＝90°， ∴DE⊥DF；
（2）∵BE⊥DE，DF⊥CF， ∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∵∠BDE+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°， ∴∠BDE＝∠DCF， ∴DE∥CF， ∵D是BC中点， ∴BD＝DC，
在△BDE和△DCF中，
，
∴△BDE≌△DCF（AAS）， （2）∵△BDE≌△DCF， ∴DE＝CF， ∵DE∥CF，
∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF∥BC．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）计算：（）2019×（）
﹣2020
＝ ．
【分析】根据负整数指数幂的定义以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：（）2019×（）故答案为：．
22．（4分）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，在∠α与∠β的数量关系中，若用∠α的代数式表示∠β，则∠β＝ 180°﹣2∠α ．
﹣2020
＝＝＝．
【分析】利用平行线的性质可得∠α＝∠3，∠1＝∠β，再利用平角定义可得答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠α＝∠3，∠1＝∠β， 由折叠可得∠3＝∠2，
∵∠2+∠3+∠1＝180°， ∴∠β+2∠α＝180°， ∴∠β＝180°﹣2∠α， 故答案为：180°﹣2∠α．
23．（4分）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的纸片做成无差别的纸团，洗匀后从中任取一个纸团，若展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为
．
【分析】当a分别取2，0，1，3，4时，解方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x得到正整数的个数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：当a＝﹣2时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣2x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝﹣2；
当a＝0时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，无解； 当a＝1时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝4； 当a＝3时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为3x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝； 当a＝4时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为4x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝1； 所以使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的结果数为2，
所以展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率＝． 故答案为．
24．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝ 2或4 ．
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解． 【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝6，
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， ∵AD为偶数， ∴AD＝2或4， 故答案为2或4．
25．（4分）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为 1 ．
【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''，在Rt△OCP'中求出OC即可．
【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N
则P'P''的长即为△PMN周长的最小值， 连接OP'，OP''，过点O作OC⊥P'P''于点C
由对称性可知OP＝OP'＝OP''， ∵OP＝2，∠AOB＝60°，
∴∠P'＝∠P''＝30°，OP′＝OP''＝2， ∴OC＝故答案为1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）小明周末外出爬山，他从山脚爬到山项的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为t（分），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．
（1）小明中途休息用了 20 分钟；上述过程中，小明所走的路程为 3800 米； （2）若小明休息后爬山的平均速度是25米/分，求a的值．
＝1；
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明中途休息用了多少分钟，小明所走的路程是多少；
（2）根据函数图象中的数据和题意，可以计算出a的值． 【解答】解：（1）由图象可得，
小明中途休息用了60﹣40＝20（分钟），上述过程中，小明所走的路程为3800米， 故答案为：20，3800； （2）由题意可得，
a﹣60＝（3800﹣2800）÷25， 解得，a＝100， 即a的值是100．
27．（10分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ； 【成果运用】利用上面所得的结论解答： （1）已知x+y＝6，xy＝
，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
【分析】【知识生成】利用面积相等推导公式（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； 【知识迁移】利用体积相等推导（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2； （1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）先根据非负数的性质得：a+b＝6，ab＝7，由知识迁移的等式可得结论． 【解答】解：【知识生成】
如图1，方法一：已知边长直接求面积为（a﹣b）2； 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴面积为（a+b）2﹣4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； 【知识迁移】
方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为（a+b）3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2， ∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2； 故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2； （1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∵x+y＝6，xy＝
，
，
∴（x﹣y）2＝62﹣4×∴（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y＝±5；
（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0， ∴a+b＝6，ab＝7，
∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90． 28．（12分）探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理
由．
【分析】（1）结论：CE∥AB．证明△BAD≌△CAE（SAS）可得结论．
（2）利用全等三角形的性质证明∠ADB＝∠AEC＝120°，证明∠ADB+∠ADE＝180°即可解决问题．
（3）结论：BE＝AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可． 【解答】（1）解：结论：CE∥AB． 理由：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE．
（2）证明：如图2中，
由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝∠ADE＝60°， ∵∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°， ∴B，D，E共线．
（3）解：结论：BE＝AE+EC．
理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝60°， ∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°， ∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE， ∵BA＝CA，BH＝CE， ∴△ABH≌△ACE（SAS）， ∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE， ∴∠HAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AE＝EH，
∴BE＝BH+EH＝EC+AE， 即BE＝AE+EC．
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