第２９卷第３期 大 学 数 学 Ｖｏ１．２９，№．３ ２０１３年６月 ＣＯＩ ＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊｕｎ．２０１３ 计算函数卷积的两种方法 王桂花 ， 蒋里强 ， 孟祥德 ， 兰社云 （１．郑州师范学院数学与统计学院，郑州４５００４４； ２．防空兵学院基础部，郑州４５００５２） ［摘 要］用图形变换法和积分法分别计算函数的卷积．图形变换法有助于培养学生的直观想象、绘图和 工程实践能力，积分法有助于培养学生的逻辑思维和分析能力．两种方法都非常典型，有特点，从不同角度培 养学生的计算能力．教学中，教师应将两种方法做一对比，兼收图形变换法形象直观和积分法分析自然之特 点，让学生对卷积计算融会贯通． ［关键词］函数卷积；图形变换法；积分法 ［中图分类号］０１７２．２ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１３）０３一Ｏ１５１—０５ 卷积是由含参变量的广义积分定义的函数，在概率论、傅里叶变换中有重要的应用．对卷积，从不同 的观点出发，对其含义有不同的解释．对应的，有两种计算卷积的方法：一种是经常使用的积分法，另一 种是图形变换法． 首先给出卷积的定义． 定义 给定定义在（一。。，＋。。）上的函数ｆ （ ）和ｆ。（￡），称由含参变量的广义积分所确定的函数 ｒ ｏ。 ｇ（ ）一Ｉ ｆｌ（ｒ）ｆ２（￡一ｒ）ｄｖ （１） Ｊ一。。 为函数ｆ （ ）和ｆ （ ）的卷积，记为ｇ（￡）一ｆ （￡）＊＿厂 （ ）． １ 图形变换法计算步骤 我们可以用图解法给出卷积含义的一种解释． 如图１所示，函数ｆ （ ）和ｆ （￡）分别为图（ａ），（ｂ）中的两条曲线，（ｃ）表明由（１）式所定义的卷积计 算过程可分解成如下几个步骤： （ｉ）对函数ｆ （￡），只须将自变量换为积分变量ｒ； （ｉｉ）对函数ｆ （￡），不仅要把自变量ｔ换为积分变量ｒ，同时将ｆ。（ｒ）关于纵轴的镜像函数厂。（一ｒ） 沿横轴向左或向右平移一个ｌ ｔ Ｉ值距离，即．厂。（￡一ｒ）； （ｉｉｉ）求ｆ （ｒ）和ｆ （ｔ—ｒ）的乘积，对任一给定的ｔ值，它是ｒ的函数，画出ｆ （ｒ）ｆ。（ —ｒ）的图像； （ｉｖ）求出ｆ （ｒ）厂。（￡一ｒ）曲线下的面积，即积分，该面积为卷积ｇ（￡）一ｆ （￡）＊ｆ。（￡）对于给定的ｔ 的函数值（图１（ｄ））． ：、 “ ｜ ／ 、＼＼，２（￡） 、 ，，， ＼ ／／ ～、、、、＿．一一一 ／ ７ 、ｈ．＿一 ｏ Ｚ Ｏ ｒ （ａ） （ｂ） ［收稿日期］２０１２—０８一ｌｌ ［基金项目］河南省软科学研究计划项目——数学探究教学的理论与实践研究 １５２ 大 学 数 学 Ｊ ｆｌ（ｒ） ． 、、 ｌ， ， －ｒ） ， ｇ（￡） ， ， ， （ｒ） ， ／ 、 ，…＿ 一Ｏ Ｉ ｒ ｏ （ｂ） 图１ ２ 图形变换法和积分法计算卷积示例 ， ＼， ，（●＝；● ●●●●● ／一ｌ、 ｌ２ ｃ；●●●●●●●●＼ ｆ ０，ｔ＜０， ｆｌ（￡）一 ２—２ｔ，０≤ｔ≤１， １ ０，ｔ＞１， ｔ＜０， ０≤ｔ≤２， ｔ＞２， 试求卷积ｆ （ ）＊ｆ （ ）． 解法１ 首先用图形变换法求卷积． ｛ Ｊ２ ’ １ ｌ ｆ２（￡） ２ ０ １ ｔ Ｏ ２ ｉ ￡≤０ ２ ＾（ｔ－－ｒ） １ ２ ｆｌ（ｒ）＿厂２（ｆ—ｒ） 一 ｔ ０ １ ｒ Ｏ Ｚ （ｂ） ｌＪ ９ Ｏ≤ｆ＜１ ／’ｚ（ｆ—ｒ） １ ‘ ’ｚ（ 一ｒ 。Ｉ ｏ ｔ １ １ ０ ｔ １ 第２９卷 第３期 王桂花，等：计算函数卷积的两种方法 ｌ＜￡≤２ ＼，ｌ（ ） ｌ 一 ２１ ｌ ＼． 厂２：ｔ－ｒ） ｌ 一 Ｏ １ ｔ Ｏ １ ｒ （ｄ） Ｊ２＜￡≤３ ２ ＼， （ｆ） １ ｌ ｛ ｆｚ（ｔ－ｒ） ｒ ２ ＼ 一 一 Ｏ １ ２ ｔ Ｏ ｔ——２ １ ９ ３＜ ｆ＜＋。ｏ ＼＾（ ） ｔ ’１ ＼ ｆｚ（￡一ｒ） １（ｒ） ’２（￡一ｒ） ９ ＼ Ｏ １ ｔ ｔ Ｏ Ｚ （ｔ） 图２ 当ｔ≤０时，由图２（ｂ）知，厂 （ｒ）ｆｚ（ 一ｒ）一０，从而 厂１（ ）＊ｆｚ（ ）：Ｉ ｆ１（ｒ）ｆ２（ｔ—ｒ）ｄｒ＝＝＝０； 当０＜ｔ≤１时，－厂 （ｒ）ｆ２（ 一ｒ）如图２（ｃ）所示， ，１（ ，２（ × 一 一 ； 当１＜ｔ≤２时，ｆ （ｒ）－厂 （ 一ｒ）如图２（ｄ）所示， １＿ｒ）× 一丢； 当２＜ｔ≤３时，ｆ （ｒ）， （￡一ｒ）如图２（ｅ）所示， 厂 （￡）＊厂 （ ）一』 。２（１一ｒ）×丢ｄｒ＝：＝ ９—３￡＋ ｔ２； 当ｔ＞３时，如图２（ｆ）所示，厂ｌ（ｒ）ｆｚ（ 一ｒ）一０ 厂ｌ（￡）＊－厂２（￡）一０． 综上所述， ０， ｔ≤０或ｔ＞３， 一鲁， ０＜ｔ≤１， －厂ｌ（￡）＊／２（￡）＝＝＝ １ ’ １＜ｔ≤２， 号 ＋ ， ２＜ｔ≤３． 解法２现在用积分法求卷积 ｒ ∞ ，ｌ（ ）＊ｆｚ（￡）一Ｉ ｆｌ（ｒ）ｆｚ（￡一ｒ）ｄｒ． Ｊ一。。 １５３ １５４ 大 学 数 学 第２９卷 欲使厂 （ ）＊厂。（ ）≠０，须使ｆ （ｒ） （ｆ—ｒ）≠０，因此ｒ，ｔ—ｒ必须满足不等式 』ｌｏ≤ｒ≤ ，０≤ 最Ⅱ ／Ｏ≤ｒ≤ ， ｔ—ｒ≤２，’ ｌｔ一２≤ｒ≤ｔ． ｒ ｌ ｛ ．２ ２ Ｏ 一Ｉ １ ／ 一 ３ Ｉ ， 图３ ～ 一２ 一２ 一， 即ｔ，ｒ只有位于图３所不的阴影区域时，ｆ （ ）＊ｆｚ（ ）才不为零．除此之外，ｆｌ（￡）＊ｆｚ（ ）均为零． 从图３可以看出，当ｔ≤０或ｔ＞３时，ｆ （ ）＊ｆ （ ）一０． 由图３所示阴影区域形状可以看出： 当０＜ｔ≤１时， 厂 １（￡）＊ｆ＊ （ｚ（ ）一』一Ｉ厂Ｊ ０ 厂 ｌ（ｒ））２ （ｆ （￡一ｒ）＝ｆ） ｄｒ ０ｏｒ ２（１ ｒ－ｒ）×＋ × 一一 ｄ３一ｔ一等；厶 当１＜ｔ≤２时， ）＊ 一』Ｊ ｏ ，ｌ（ｒ），２（ 一ｒ）ｄｒ＝ｆ ｏ ２（１－Ｚ＂）× ｄ厶 厶ｒ一丢； 当２＜ｔ≤３时， 厂 （￡）＊ｆｚ（￡）一－Ｊｆ ｔ－ ２２（１一ｒ）×号ｄ厶 厶ｒ一号一３ ＋ ．厶 综Ｅ所述，也．可得到 ｔ≤０或ｔ＞３， ０＜ｔ≤１， １＜ｔ≤２， ２＜ｔ≤３． 比较两种计算方法，用图形变换法计算卷积直观易于理解，但困难在于对ｔ的每一种情况都要画出 ｆ （ｒ）ｆ。（￡一ｒ）相应的函数图形才能确定卷积对应的积分，计算出卷积．用积分法计算卷积，关键在于确 定使被积函数ｆ （ｒ）ｆｚ（￡一ｒ）（不等于零的ｔ和ｒ的变化区域，在这个区域中依据ｔ的各种情况确定ｒ的 积分上下限，从而求出卷积．用积分法计算卷积符合一般的思维习惯，自然顺畅，关键在于合理安排ｔ和 ｒ的位置，画出直观易于理解的区域图形．两种方法都非常典型，有特点，学习时可以将两种方法做一对 比，兼收图形变换法的形象直观和积分法的分析自然之特点，对卷积计算融会贯通． ［参 考 文 献］ Ｅ１］复变函数与积分变换［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１：２１６—２２０． Ｅ２］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［－Ｍ－］．北京：高等教育出版社，２００１：９５—９７ 第３期 王桂花，等：计算函数卷积的两种方法 １５５ Ｔｗｏ Ｋｉｎｄｓ ｏｆ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｎ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ ＷＡＮＧ Ｇｕｉ—ｈｕａ ，ＪＩＡＮＧ Ｌｉ—ｑｉａｎｇ ，ＭＥＮＧ Ｘｉａｎｇ—ｄｅ ，ＬＡＮ Ｓｈｅ—ｙｕｎ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００４４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ａｉｒ Ｄｅｆｅｎｓｅ Ｆｏｒｃｅｓ Ａｃａｄｅｍｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００５２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ ｔＯ ｔｒａｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｃａｐａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｆｒｏｍ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｖｉｅｗ．Ｔｈｅ ｆｉｇｕｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔＯ ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ ｃａｐａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎ ｖｉｓｕａｌ ｉｍａｇｉｎａｔｉｏｎ，ｐａｉｎｔｉｎｇ，ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅ ａｎｄ ＳＯ ｏｎ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｃｕｌｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ ｃａｐａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎ ｌｏｇｉｃ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｈａｖｅ ｒｅｍａｒｋａｂｌｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ．Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｔｅａｃｈｅｒｓ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｍｐａｒｅ ａｎｄ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ｌｅａｄｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ａｎｄ ｇｅｔ ｔｈｅ ｋｅｙ ｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ；ｆｉｇｕｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｃａｌｃｕｌｕｓ ｍｅｔｈｏｄ
