余弦定理教案

一、教学目标

1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的内容及其证明方法；会运用余弦定理、正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。

2．让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生推导余弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．鼓励学生探索发现规律并解决实际问题，激发学生的学习兴趣

二、教学重、难点

1. 教学重点：余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2. 教学难点：运用正弦定理和余弦定理解三角形。

三、教学设想：

（一）1、复习回顾

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc sinAsinBsinC正弦定理可以解决的问题：①正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。②正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。

2、情景导入：

隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。

问题就转化为在一个三角形中，已知两边一角，求第三边。这是我们上一节课正弦定理不能解决的问题，那我们该怎样处理呢 （二）探讨过程：

在三角形ABC中，过点C作CD⊥AB于D, 则：

C

a2CD2DB2b2AD2DB2

a

b

bDBADDBADbcDBAD2AD

22B A

b2cc2ADb2c22cAD bc2cbcosA

即abc2bccosA 同理有bac2accosB cab2abcosC

可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到余弦定理。

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：

22222222222a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

大家想想，当C为直角时，余弦定理就变成了什么对，就是我们初中学习的勾股定理。也就是说：勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理还可以变形成：

问：对照公式，请学生总结余弦定理可以解决的问题

（1）正弦定理可用于解决已知三角形的两个边和一个角，求第三边和其它的两个角的问题。

（2）正弦定理也可用于解决已知三角形的三边，求三个角的问题。 （三）例题讲解

例1、在ABC中，A90,b8,c3，求. a

分析：这是已知三角形的两条边和夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理。

解：abc2bccosA83283cos6049 a7

22222例2、在ABC中，a6,b7,c10，求ABC中的最大角和最小角的余弦值。 分析：这是已知三角形的三边，求角，可以直接应用正弦定理 解：由于abc，所以最大角是C，最小角是A

a2b2c262721025cosC

2ab26728b2c2a27210262113cosA

2bc2710140（四）练习：

教材P20面练习1.3.2 ：1、2、3题

（五）小结：

这节课主要学习了余弦定理的内容，余弦定理的证明方法以及和余弦定理的应用。 （1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即

abc2bccosA

222b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

（2）余弦定理变形式：

（3）正弦定理可以解决的问题：①正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。②正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。 （六）作业：

教材P21面习题： 1、6