2010年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)

x5243x的值域是 .

2

2. 已知函数y(acosx3)sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是 .

5.函数f(x)a

2x

3ax2(a0,a1) 在区间x[1,1]上的最大值为8，则它在这个

区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱ABCA1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角

BA1PB1,则sin . 8. 方程xyz2010满足xyz的正整数解（x,y,z）的个数是 .

[来源:Z+xx+k.Com]

二、解答题（本题满分56分）

9. （16分）已知函数f(x)axbxcxd(a0)，当0x1时，f(x)1，

3

2

试求a的最大值.

10.（20分）已知抛物线y6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1x2且

2

x1x24.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值.

11.（20分）证明：方程2x5x20恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得

3

2

ra1ra2ra3. 5

加 试

2. （40分）设k是给定的正整数，rk

1(1)

．记f(r)f(r)rr，2

f(l)(r)f(f(l1)(r)),l2．证明：存在正整数m，使得f(m)(r)为一个整数．这里，x

表示不小于实数x的最小整数，例如：1，11．

2

3. （50分）给定整数n2，设正实数a1,a2,,an满足ak1,k1,2,,n，记

1

Ak

求证：

[来源:学§科§网]a1a2ak

,k1,2,,n．

k

akAk

k1

k1

nn

n1

． 2

4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形A1A2An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？