高高考数学压轴大题突破练(直线与圆锥曲线一)

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）

压轴大题突破练

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)

1．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；

(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解 (1)设圆P的半径为r， 则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r， ∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，

∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3.

x2y2

∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．

43(2)由(1)知：2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4， ∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)． 圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4. ①当l的方程为x＝0时，|AB|＝23， ②设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，

|－k＋b|1＋k＝1|2k＋b|1＋k＝2

22

22k＝k＝－4或4解之得：. b＝2b＝－222

x＋2，y＝－x－2. 44

∴l的方程为y＝



联立方程2

y＝4x＋

x2y2

＋＝143

2

化简：7x2＋8x－8＝0.

88

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

77

18

∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝.

718

综上，|AB|＝23或.

7

2．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线y＝kx＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． x22

解 (1)依题意可设椭圆方程为2＋y＝1，

a则右焦点F(a2－1，0)，

|a2－1＋22|由题设＝3，解得a2＝3.

2x22

故所求椭圆的方程为＋y＝1.

3

(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点， y＝kx＋m，

由x22得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 3＋y＝1∵直线与椭圆相交，

∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0 ⇒m2<3k2＋1.①

xM＋xN3mk∴xP＝＝－2，

23k＋1m

从而yP＝kxP＋m＝2，

3k＋1

∴k＝yP＋1m＋3k2＋1

APxP＝－3mk，

又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，

m＋3k2则－＋13mk＝－1

k，即2m＝3k2＋1.②

把②代入①得m2<2m，解得03>0，解得m>2.

综上求得m的取值范围是1

2

3．(2013·福建)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径． 解 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)， 所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝5， 所以|MN|＝2|CO|2－d2＝25－4＝2. (2)设C(y20

4

，y0)，则圆C的方程为

(x－y204)2＋(y－y0)2＝y4

016

＋y20， 2即

x2

－y02

x＋y2－2y0y＝0.

由x＝－1，得

y2－2y0y＋1＋y202

＝0，

设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则



Δ＝4y20－41＋y202

＝2y20

－4>0，y

2y1y2

＝0

2＋1.

由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4， 所以y20

2＋1＝4，解得y0＝±6，此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为(32，6)或(3

2，－6)，

从而|CO|2＝333333

4，|CO|＝2，即圆C的半径为2

.

x2y2

4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，

ab△F1MF2是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；

(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k11

－，－2. ＋k2＝8，证明：直线AB过定点2(1)解 由已知，可得b＝2，a2＝(2b)2＝8， x2y2

所求椭圆方程为＋＝1.

84

(2)证明 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 若直线AB的斜率存在，设方程为y＝kx＋m， xy8＋4＝1，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. y＝kx＋m，2m2－84km则x1＋x2＝－，xx＝. 1＋2k2121＋2k2y1－2y2－2

由k1＋k2＝8，得＋＝8，

x1x2kx1＋m－2kx2＋m－2

所以＋＝8，

x1x2x1＋x2

即2k＋(m－2)·＝8.

x1x2

mk1

所以k－＝4，整理得m＝k－2.

2m＋2

11

x＋－2. 故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k221

－，－2. 所以直线AB过定点2

若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝x0， 设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，

y0－2－y0－21

由已知＋＝8，得x0＝－.

x0x02

11

－，－2. 此时AB的方程为x＝－，显然过点221

－，－2. 综上，直线AB过定点2

2

2