2015~2016学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷

一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．13的倒数是（ ）．

A．3 B．1

C．133

【考点】倒数． 【答案】D

【解析】13的倒数是3．

2．计算23的结果是（ ）． A．5

B．6 C．23

【考点】二次根式的乘除法． 【答案】B

【解析】236．

3．不等式3x21的解集是（ ）．

A．x13

B．x13

C．x1 【考点】解一元一次不等式．

【答案】C

【解析】移项得，3x12， 合并同类项得，3x3， 把x的系数化为1得，x1．

4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ A． B． C． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【答案】D

【解析】A是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；

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D．3

D．32

D．x1

．

D． ）

D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选D．

5．若3x4y(xy0)，则下列比例式成立的是（ ）． A．

xy 43B．

x4 3yC．

x3 y4D．

xy 34【考点】比例的性质． 【答案】A

【解析】由比例的性质，得3x4y，故A正确； 由比例的性质，得xy12，故B错误； 由比例的性质，得4x3y，故C错误； 由比例的性质，得4x3y，故D错误； 故选A．

6．在RtVABC中，C90，BC3，AB5，则cosA的值为（ ）．

3A．

5【答案】B

B．

4 5C．

3 4D．

4 3【考点】锐角三角函数的定义．

【解析】∵C90，BC3，AB5， ∴ACAB2BC24， ∴cosA

7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE2ED，则

AC4． AB5FA的值是（ ）． FBB．D．

1A．

3C．

2 52 31 2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【答案】D

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，ABCD， ∴VAFE∽VCDE， ∴AF:CDAE:ED， ∵AE2ED，

∴AF:CDAE:ED2:1，

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∴

FA2． FB38．如图，⊙O的直径AB2，弦AC1，点D在⊙O上，则D的度数是（ ）．

A．30 【答案】C

B．45 C．60 D．75

【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．

【解析】∵⊙O的直径是AB， ∴ACB90， 又∵AB2，弦AC1， ∴sinCBAAC1， AB2∴CBA30， ∴AD60．

9．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）． A．6，32 【考点】正多边形和圆． 【答案】B

【解析】∵正方形的边长为6， ∴AB3， 又∵AOB45， ∴OB3，

∴AO323232，

即外接圆半径为32，内切圆半径为3．

B．32，3

C．6，3

D．62，32

10．如图所示，扇形AOB的圆心角为120，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．

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A．

4π3 3B．

4π23 3C．

4π3 32D．

4π 3【考点】扇形面积的计算． 【答案】A

【解析】过点O作ODAB， ∵AOB120，OA2， ∴OAD180AOB18012030，

2211∴ODOA21，ADOA2OD222123，

22∴AB2AD23， ∴S阴影S扇形OABSVAOB故选A．

120π2214π2313．

36023

二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：mn26mn9m__________． 【考点】m(n3)2

【答案】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解析】mn26mn9m m(n26n9) m(n3)2．

12．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是__________． 【考点】中位数． 【答案】8

【解析】这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9， 则中位数为：8．

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13．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为

1.2m和9m，则旗杆的高度为__________m．

【考点】相似三角形的应用． 【答案】12

【解析】∵同一时刻物高与影长成正比例． 设旗杆的高是xm． ∴1.6:1.2x:9， ∴x12．

即旗杆的高是12米．

14．若反比例函数ym1 的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是__________．

x【考点】反比例函数的性质． 【答案】m1

【解析】∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小， ∴m10， 解得：m1．

15．将抛物线y2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为__________． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【答案】y2(x1)23

【解析】将抛物线y2x2向下平移3个单位得y2x23，再向左平移1个单位，得y2(x1)23； 故所得抛物线的解析式为y2(x1)23．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，VABC外接圆的圆心坐标是__________，半径是__________．

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【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质． 【答案】(5,2)；25

【解析】∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等， 又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，

∴三角形的外心位置基本确定，只有(5,2)点到三角形三个顶点距离相等， ∴(5,2)点是三角形的外接圆圆心． 利用勾股定理可得半径为：25．

三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）

17．计算：cos60tan30sin60(cos452)0． 【考点】特殊角的三角函数值． 【答案】0 【解析】原式1331 232111 220．

18．已知

ab5a2b0，求代数式2(a2b)的值． 23a4b21 2【专题】计算题． 【答案】【解析】

5a2b(a2b)

a24b25a2b(a2b) (a2b)(a2b)5a2b， a2bab0， 23第6页（共16页）

∵

2∴ab，

310b2b10b6b4b13． ∴原式22b6b8b2b2b3

19．求二次函数yx24x3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．

【考点】抛物线与x轴的交点． 【答案】

【解析】yx24x3(x2)21，

则抛物线的顶点坐标为：(2,1)，对称轴为直线：x2， 当y0，则0(x2)21， 解得：x11，x23，

故抛物线与x轴交点为：(1,0)，(3,0)． 如图所示：

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20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y

的直线yxb交x轴于点B． （1）求k和b的值． （2）求VOAB的面积．

k

的图象上，过点Ax

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【答案】（1）k10；b3．

（2）根据三角形的面积公式，可得答案． 【解析】（1）把A(2,5)分别代入y

kk，得5，解得k10；

2x

把A(2,5)分别代入yxb，得2b5，解得b3． （2）作ACx轴于点C，

由（1）得直线AB的解析式为yx3， ∴点B的坐标为(3,0)， ∴OB3，

∵点A的坐标是(2,5)， ∴AC5，

1115∴SVAOBOBAC35．

222第8页（共16页）

21．李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单

位：米）的变化而变化．

（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用．

【答案】（1）S与x之间的函数关系式为：Sx240x，自变量x的取值范围为0x40． （2）当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400． 【解析】（1）分析可得：Sx(40x)x240x，且有0x40，

所以S与x之间的函数关系式为：Sx240x，自变量x的取值范围为0x40． （2）求Sx240x的最大值， Sx240x(x20)2400，

所以当x20时，有S的最大值S400，

答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．

22．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC23，B60，ODAC，垂足为D．

（1）求OD的长． （2）求劣弧AC的长．

【考点】圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形． 【答案】（1）OD1．

4（2）劣弧AC的长为π．

3【解析】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴C90， 又∵ODAC，

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∴ADCD3，ADO90， ∵B60， ∴A30，

在RtVAOD中，OA2，OD1． （2）连接OC，则AOC120， ∴»AC的长lnπr120π24π． 1801803

23．在四边形ABCD中，ABAD8，A60，D150，四边形周长为32，求BC和CD的长度．

【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质． 【答案】BC10，CD6． 【解析】如图，连接BD， ∵ABAD，A60． ∴VABD是等边三角形， ∴BD8，160． 又∵12150， ∴290．

设BCx，CD16x，

由勾股定理得：x282(16x)2， 解得x10，16x6， ∴BC10，CD6．

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24．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测

到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan313） 5

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【答案】这条河的宽度为60米． 【解析】过点C作CDAB于D， 由题意DAC31，DBC45， 设CDBDx米，

则ADABBD(40x)米， 在RtVACD中，tanDAC则

CD， ADx3， 40x5解得x60（米），

经检验，x60是原方程的根， ∴这条河的宽度为60米．

25．已知抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴相交于A、B两点，且AB2，求m的值．

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【考点】抛物线与x轴的交点． 【答案】m2或m2． 3【解析】设一元二次方程(m1)x2(m2)x10的两根为、， ∴m21，， m1m1∴()242， ∴()244， 4m24， 即m1m12解得m2或m

2． 326．在VABC中，AB6cm，AC12cm，动点D以1cm/s的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s的

速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与VABC相似时，求运动的时间t．

【考点】相似三角形的判定与性质． 【答案】

【解析】当动点D、E同时运动时间为t时， 则有ADt，CE2t，AE122t． ∵A是公共角，

∴（1）当ADEB时，VADE∽VABC， 有

ADAEt122t，即， ABAC612∴t3；

（2）当ADEC时，VADE∽VACB， 有

ADAEt122t，即， ACAB126解得t4.8．

综上可得：当点D、E同时运动3s和4.8s时，以点A、D、E为顶点的三角形与VABC相似．

27．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．

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（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想． （2）若AB6，AD5，求AF的长．

【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【答案】（1）ED与⊙O的位置关系是相切 （2）AF14． 5【解析】（1）ED与⊙O的位置关系是相切． 理由如下：连接OD，

∵CAB的平分线交⊙O于点D， »BD»， ∴CD∴ODBC， ∵AB是⊙O的直径， ∴ACB90， 即BCAC， ∵DEAC， ∴DE∥BC， ∴ODDE，

∴ED与⊙O的位置关系是相切． （2）连接BD． ∵AB是直径， ∴ADB90，

在RtVABD中，BDAB2AD2362511 ∵AB为直径，

∴ACBADB90， 又∵AFCBFD， ∴FBDCADBAD， ∴VFBD∽VBAD， ∴

FDBD， BDAD∴FD11， 5第13页（共16页）

∴AFADFD51114． 55

28．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且

AFEB．

（1）求证：VADF∽VDEC．

（2）若AB8，AD63，AF43，求AE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 【答案】（1）证明见解析． （2）AE6．

【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，

∴CB180，ADFDEC． ∵AFDAFE180，AFEB， ∴AFDC． 在VADF与VDEC中， AFDC， ADFDEC∴VADF∽VDEC．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CDAB8．

由（1）知VADF∽VDEC， ∴

ADAF， DECDADCD63812． AF43∴DE在RtVADE中，由勾股定理得：AEDE2AD2122(63)26．

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29．已知：如图，直线y3x3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，VOAB是等腰直角三

角形．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标．

（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么VPAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和VPAB的最大面积；若没有，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【答案】（1）yx22x3． （2）点D的坐标为(4,5)．

131527（3）在第一象限的抛物线上，存在一点P(,)，使得VABP的面积最大，最大值为．

248【解析】（1）令y3x30得：x1， 故点C的坐标为(1,0)；

令x0得：y3x33033， 故点A的坐标为(0,3)； ∵VOAB是等腰直角三角形． ∴OBOA3， ∴点B的坐标为(3,0)，

设过A、B、C三点的抛物线的解析式yax2bxc， c3a1则9a3b30，解得b2，

c3ab30∴解析式为yx22x3．

（2）设直线AB的解析式为ykxb， 3kb0k1∴，解得，

b3b3∴直线AB的解析式为：yx3．

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∵CD∥AB，

∴设直线CD的解析式为yxb． ∵经过点C(1,0)， ∴(1)b0， 解得：b1，

∴直线CD的解析式为：yx1， 令x1x22x3， 解得：x1或x4，

将x4代入yx22x3162435， ∴点D的坐标为(4,5)． （3）存在．

如图所示，设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点，

过点P作PNx轴于点N，则ONx，PNy，BNOBON3x． SVABPS梯形PNOASVPNBSVAOB

111(OAPN)ONPNBNOAOB 222111 (3y)xy(3x)33 22239(xy)， 22∵P(x,y)在抛物线上，

∴yx22x3，代入上式得：

3933327SVPAB(xy)(x23x)(x)2，

222228∴当x当x3时，SVPAB取得最大值． 23152时，yx2x3，

421315∴P(,)．

24131527∴在第一象限的抛物线上，存在一点P(,)，使得VABP的面积最大，最大值为．

248

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