2015-2016学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．﹣的倒数是（ ） A．3 2．计算A．
B．B．
C．﹣ D．﹣3
的结果是（ ） C．
D．3
3．不等式3x+2＞﹣1的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则
的值是（ ）
第1页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
A． B． C． D．
8．如图，⊙ O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A．6，
B．
，3 C．6，3 D．
，
10．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：mn2+6mn+9m= ．
12．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是 ．
13．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为 m．
14．若反比例函数围是 ．
的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范
第2页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
15．将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ，半径是 ．
三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）
17．计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣
）0．
18．已知，求代数式的值．
19．求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
第3页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B． （1）求k和b的值；坐标 （2）求△OAB的面积．
21．李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦（1）求OD的长； （2）求劣弧AC的长．
，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．
23．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
第5页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
24．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）
25．已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．
第6页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
26．在△ ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F． （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB=6，AD=5，求AF的长．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
28．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6
，AF=4
，求AE的长．
29．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
2015-2016学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．﹣的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3 【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣的倒数是﹣3； 故选D．
【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2．计算A．
B．
的结果是（ ） C．
D．3
【考点】二次根式的乘除法． 【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可． 【解答】解：
•
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．
3．不等式3x+2＞﹣1的解集是（ ）
A．x＞﹣ B．x＜﹣ C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【考点】解一元一次不等式．
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：移项得，3x＞﹣1﹣2， 合并同类项得，3x＞﹣3，
把x的系数化为1得，x＞﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
5．若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确； B、由比例的性质，得xy=12，故B错误； C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误； D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误； 故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据余弦的定义解答即可． 【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5， ∴AC=
=4，
∴cosA==， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得△AFE∽△BFC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴△AFE∽△CDE， ∴AF：CD=AE：ED， ∵AE=2ED，
∴AF：CD=AE：ED=2：1，
∴=． 故选D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形． 【专题】几何图形问题．
【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．
【解答】解：∵⊙O的直径是AB， ∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1， ∴sin∠CBA=∴∠CBA=30°，
，
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
∴∠A=∠D=60°， 故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．
9．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A．6，
B．
，3 C．6，3 D．
，
【考点】正多边形和圆．
【分析】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
【解答】解：∵正方形的边长为6， ∴AB=3，
又∵∠AOB=45°， ∴OB=3 ∴AO=
=3
，
，内切圆半径为3．
即外接圆半径为3故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键．
10．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算． 【专题】探究型．
【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可． 【解答】解：过点O作OD⊥AB， ∵∠AOB=120°，OA=2， ∴∠OAD=
=
=30°，
第12页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
∴OD=OA=×2=1，AD=∴AB=2AD=2
，
==，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=故选A．
﹣×2×1=．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：mn2+6mn+9m= m（n+3）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：mn2+6mn+9m =m（n2+6n+9） =m（n+3）2．
故答案为：m（n+3）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是 8 ． 【考点】中位数．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9， 则中位数为：8． 故答案为：8．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为 12 m．
第13页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可． 【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例． 设旗杆的高是xm． ∴1.6：1.2=x：9 ∴x=12．
即旗杆的高是12米． 故答案为12． 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．
14．若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范
围是 m＞1 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣1＞0，再解不等式即可． 【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小， ∴m﹣1＞0， 解得：m＞1， 故答案为：m＞1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
15．将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+1）2﹣3 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移1个单位，得y=2（x+1）2﹣3；
故所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3． 故答案为：y=2（x+1）2﹣3．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 （5，2） ，半径是 2
．
第14页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．
【分析】利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解决． 【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等， 又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，
∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等， ∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心． 利用勾股定理可得半径为：2故答案为：（5，2），2
．
．
【点评】此题主要考查了三角形的外心相关知识，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目比较典型．
三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）
17．计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣
）0．
【考点】特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=+
•
﹣1
=+﹣1 =0．
故答案为：0．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，零指数幂等考点的运算．
18．已知，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．
第15页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【分析】将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
【解答】解： •（a﹣2b）
=•（a﹣2b）
=∵
，
=≠0，∴a=b，
∴原式====．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
19．求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点坐标以及对称轴，再求出图象与坐标轴交点，进而得出答案．
【解答】解：y=x2﹣4x+3 =（x﹣2）2﹣1，
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
则抛物线的顶点坐标为：（2，﹣1），对称轴为直线：x=2， 当y=0，则0=（x﹣2）2﹣1， 解得：x1=1，x2=3， 故抛物线与x轴交点为：（1，0），（3，0）． 如图所示：
【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数图象画法，正确得出抛物线顶点坐标是解题关键．
20．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B． （1）求k和b的值； （2）求△OAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得解得k=10，b=3；
第17页（共27页）
，
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
（2）作AC⊥x轴于点C，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3， ∴点B的坐标为（﹣3，0）， ∴OB=3，
∵点A的坐标是（2，5）， ∴AC=5， ∴
=
5=
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．
21．李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【专题】应用题．
【分析】（1）有题目分析可知，矩形的另一边长应为=40﹣x，由矩形的面积公式可
以得出S与x之间的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质，以及x的取值范围，求出二次函数的最大值． 【解答】解：（1）有分析可得：
S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，且有0＜x＜40，
所以S与x之间的函数关系式为：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，并写出自变量x的取值范围为：0＜x＜40；
（2）求S=﹣x2+40x的最大值， S=﹣x2+40x=﹣（x﹣20）2+400，
所以当x=20时，有S的最大值S=400，
答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及二次函数的最值求法，只要灵活掌握这些内容便能熟练解决此类问题．
22．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦（1）求OD的长； （2）求劣弧AC的长．
第18页（共27页）
，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【考点】圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据AB为直径，证明∠C=90°，由垂径定理求AD，解Rt△ADO可求OD； （2）连接OC，由（1）可知∠AOC=120°，利用弧长公式求解． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90°， 又∵OD⊥AC， ∴AD=CD=∵∠B=60°
∴∠A=30°，
在Rt△AOD中，OA=2，OD=1；
（2）连接OC，则∠AOC=120°， ∴
的长l=
=
=
．
，∠ADO=90°，
【点评】本题考查了本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长公式的运用．关键是根据垂径定理，把条件集中到Rt△AOD中求解．
23．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质． 【分析】如图，连接BD，构建等边△ABD、直角△CDB．利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度．
【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．
第19页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°． 又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．
设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6 所以BC=10，CD=6．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知△CDB是解题关键．
24．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】应用题． 【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=的方程，解方程即可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D， 由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°， 设CD=BD=x米，
则AD=AB+BD=（40+x）米， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=
，
，由此可以列出关于x
则， 解得x=60（米），
经检验得：x=60是原方程的根， ∴这条河的宽度为60米．
第20页（共27页）
知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列出方程解决问题．
25．已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．
【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】计算题．
【分析】令y=0，求关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0的解，即为点A、B的横坐标，再根据AB=2求得m的值即可．
【解答】解：设一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0的两根为α、β，
∴α+β=﹣∴|α﹣β|=
，αβ=﹣，
=2，
∴（α+β）2﹣4αβ=4，
即（﹣
）2+
=4，
解得m=2或m=．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，是个基础性的题目，比较简单．
26．在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．
【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】动点型．
【分析】由当动点D、E同时运动时间为t时，可得AD=t，CE=2t，AE=12﹣2t．然后分别从当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC与当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB去分析求解即可求得答案．
【解答】解：当动点D、E同时运动时间为t时，
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
则有AD=t，CE=2t，AE=12﹣2t． ∵∠A是公共角，
∴（1）当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，
有，即，
∴t=3；
（2）当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，
有，即
解得t=4.8．
综上可得：当点D、E同时运动3s和4.8s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，属于动点类题目，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F． （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB=6，AD=5，求AF的长．
【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则
=
，依据垂径定理可
以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案． 【解答】解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下： 连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D， ∴
=
，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
即BC⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O的位置关系是相切；
（2）连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， 在直角△ABD中，BD=∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°， 又∵∠AFC=∠BFD， ∴∠FBD=∠CAD=∠BAD ∴△FBD∽△BAD， ∴
=
=
．
=
=
，
∴FD=
∴AF=AD﹣FD=5﹣
【点评】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求AF的长的问题转化成求相似三角形的问题是关键．
28．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6
，AF=4
，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 【专题】压轴题．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
=
=6．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．
29．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标． 【解答】解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1， 故点C的坐标为（﹣1，0）； 令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3 故点A的坐标为（0，3）； ∵△OAB是等腰直角三角形． ∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，
解得：
∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3 ∵线CD∥AB
∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b ∵经过点C（﹣1，0）， ∴﹣（﹣1）+b=0 解得：b=﹣1，
∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1， 令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3， 解得：x=﹣1，或x=4，
将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5， ∴点D的坐标为：（4，﹣5）；
（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x． S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB =（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3
=（x+y）﹣，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得： S△PAB=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△PAB取得最大值． 当x=时，y=﹣x2+2x+3=
，
，
∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大； P点的坐标为（，
），最大值为：
．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大．注意第（3）问中图形面积的表示方法﹣并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来﹣这是压轴题中常见的技巧，需要认真掌握．
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知识是成功的阶梯，知识是阶梯上的基石。
2016年3月6日
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