2015-2016学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高三（上）第二次月
考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩∁RB=( ) A．（1，2] B．[2，4） C．（2，4） D．（1，4）
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y=x+1
B．y=﹣x
2
C．y= D．y=x|x|
3．如图，阴影部分的面积是( )
A．2
4．函数y=
的值域是( )
B．﹣2
C．
D．
A．[0，+∞） B．[0，5] C．[0，5） D．（0，5）
5．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f（x）=x和g（x）=
B．f（x）=|x|和g（x）=
C．f（x）=x|x|和g（x）=
6．不等式
D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）
成立的一个充分不必要条件是( )
A．﹣1＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1
7．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4+x）+f（﹣x）=0，且f（1）=9则f+f+f的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．0
8．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是( ) A．
B．[1，2]
C．[0，） D．（
）
9．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是
( )
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 10．函数
C．a≤﹣2 D．a＜0
的图象大致是( )
A．
11．函数f（x）=
B． C． D．
的零点个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③
＞0；
④＜．
当f（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=
的定义域为__________．
14．对任意两个实数x1，x2，定义
若f（x）=x﹣2，g（x）
2
=﹣x，则max（f（x），g（x））的最小值为__________．
15．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2）成立，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）﹣1．若关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）在区间，（0，6]内恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是__________．
16．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17．已知函数f（x）=lg（1）求a的值； （2）若g（x）=f（x）+
18．已知集合x＜2m﹣3}．
（Ⅰ）设全集U=R，求（∁UA）∩B；
（Ⅱ）若C∩（∁RA）=∅，求实数m的取值范围．
19．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有
＞0．
，集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x）}，集合C={x|m+2＜
2
x
（a≠1）是奇函数，
，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
2
（2）若f（x）≤t﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已
2
知函数f（x）=ax+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）当a=1，b=﹣2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．
（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
21．已知函数f（x）=aln x﹣ax﹣1（a∈R）． （1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间； （2）若x1，x2∈[1，+∞），比较ln（x1x2）与x1+x2﹣2的大小．
22．设函数f（x）=lnx+，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数； （Ⅲ）若对任意b＞a＞0，
＜1恒成立，求m的取值范围．
2015-2016学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高三（上）
第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩∁RB=( ) A．（1，2] B．[2，4） C．（2，4） D．（1，4） 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：集合A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴∁RB=（2，+∞）， 则A∩∁RB=（2，4）． 故选C
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y=x+1 B．y=﹣x
2
C．y= D．y=x|x|
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．
2
B．y=﹣x是偶函数，不满足条件．
C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．
D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，
2
当x＞0时，y=x|x|=x，此时为增函数，
2
当x≤0时，y=x|x|=﹣x，此时为增函数，综上在R上函数为增函数． 故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．
3．如图，阴影部分的面积是( )
A．2
B．﹣2
C．
D．
【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】导数的综合应用．
【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算． 【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是
）|
=
；
=（3x﹣
故选C．
【点评】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．
4．函数y=
的值域是( )
A．[0，+∞） B．[0，5] C．[0，5） D．（0，5） 【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数
的解析式得0＜5≤25，所以﹣25≤﹣5＜0，
，这样便求出了函数y的值域：[0，5）．
xx
【解答】解：解25﹣5≥0得：x≤2；
x2
∴0＜5≤5=25，
xx
∴﹣25≤﹣5＜0，0≤25﹣5＜25；
；
∴函数y的值域是[0，5）． 故选C．
【点评】考查函数值域的概念，指数函数的值域，被开方数满足大于等于0．
5．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f（x）=x和g（x）=
B．f（x）=|x|和g（x）=
x
C．f（x）=x|x|和g（x）= D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）
【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】计算题．
【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．
【解答】解；对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．
对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；
对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数 对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）=
=x+1
∴是同一函数 故选D．
【点评】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．
6．不等式
成立的一个充分不必要条件是( )
D．x＞1
A．﹣1＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x＞﹣1 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由选项D：x＞1 能推出 x﹣＞0，但由x﹣＞0不能推出x＞1，从而得出结论． 【解答】解：由 x＞1 能推出 x﹣＞0； 但由x﹣＞0不能推出x＞1（如x=﹣时）， 故不等式
成立的一个充分不必要条件是 x＞1，
故选D．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题． 7．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4+x）+f（﹣x）=0，且f（1）=9则f+f+f的值为( ) A．6 B．7 C．8 D．0
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），得函数的周期，然后利用周期性分别进行求解即可．
【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），即函数的周期是4．
所以f=f（503×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），f=f（503×4）=f（0），f=f（503×4+1）=f（1）， 所以f+f+f=﹣f（1）+f（0）+f（1）=f（0）， 因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0， 所以f+f+f=f（0）=0．
故选D．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，利用条件求出函数的周期是解决本题的关键．
8．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是( ) A．
B．[1，2]
C．[0，） D．（
）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；综合题．
【分析】由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]是增函数，由此可以得出函数在[﹣2，2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此
抽象不等式f（1﹣m）＜f（m）可以转化为，解此不等式组即为所求．
【解答】解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，
∴其在（﹣2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大
∴不等式f（1﹣m）＜f（m）可以变为
解得m∈[﹣1，）
故选A．
【点评】本题考查偶函数与单调性，二者结合研究出函图象的变化趋势，用此结论转化不等式，这是解本题的最合适的办法，中档题．
9．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是
( )
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0 【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质． 【专题】计算题．
【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求
2
【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
2
2
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2 故选B
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用 中，不要漏掉g（1）≤h（1） 10．函数
的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【考点】指数函数的图像变换． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．
x
【解答】解：要使函数有意义，则3﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A． 当x＜0时，y＞0，排除B． 当x→+∞时，y→0，排除D． 故选C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，注意函数的值域，函数的图形的变换趋势，考查分析问题解决问题的能力．
11．函数f（x）=
的零点个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图． 【解答】解：①x≤0时，
22
f（x）=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4=0， 解得，x=﹣1或x=3（舍去）． ②x＞0时，
2
由y=lnx与y=x﹣2x的图象可知， 其有（0，+∞）上有两个交点， 故有两个解； 则函数f（x）=故选C．
的零点个数为3．
【点评】本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．
12．对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③
＞0；
④＜．
当f（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的判断；对数的运算性质． 【专题】计算题．
【分析】根据对数的运算性质，可以判断①②的真假；根据常用对数函数的单调性，可以判断③的真假；根据常用对数函数图象的形状为凹增的，可以判断④的真假，进而得到答案． 【解答】解：①f（x1+x2）=lg（x1+x2）≠f（x1）f（x2）=lgx1•lgx2，①错误， ②f（x1•x2）=lgx11x2=lgx1+lgx2=f（x1）+f（x2），②正确
③f（x）=lgx在（0，+∞）单调递增，则对任意的0＜x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）
即＞0成立；③正确；
④=lg，=，
分析易得＞，必有lg＞lg=，
即＞，④错误；
即②③正确， 故选C
【点评】本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调 性的应用，对数函数图象的形状，熟练掌握对数的图象及性质是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=
的定义域为（﹣3，0]．
【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题．
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解． 【解答】解：由解得：﹣3＜x≤0． ∴函数f（x）=
的定义域为：（﹣3，0]． ，得
，
故答案为：（﹣3，0]．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．
14．对任意两个实数x1，x2，定义
若f（x）=x﹣2，g（x）
2
=﹣x，则max（f（x），g（x））的最小值为﹣1． 【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】新定义．
2
【分析】通过求解不等式x﹣2≥﹣x，得出f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x）的x的取值范围，结合新定义得到分段函数 max（f（x），g（x））的解析式，在平面直角坐标系中作出分段函数的图象，则分段函数的最小值可求．
【解答】解：因为对任意两个实数x1，x2，定义
又f（x）=x﹣2，g（x）=﹣x，
22
由x﹣2≥﹣x，得x≤﹣2或x≥1，则当x﹣2＜﹣x时，得﹣2＜x＜1．
2
，
所以y=max（f（x），g（x））其图象如图，
，
由图象可知函数max（f（x），g（x））的最小值为﹣1． 故答案为﹣1．
【点评】本题考查了新定义，考查了函数的图象与图象的变化，考查了分段函数图象的画法，分段函数的值域要分段求，最后取并集，是基础题．
15．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2）成立，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）﹣1．若关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）在区间，（0，6]内恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是
x
．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[﹣
x+2
2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）﹣loga=0恰有2个不同的实数解，转
x+2
化为函数f（x）的与函数y=loga的图象恰有2个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2）， ∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称
又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数， 若在区间（0，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有2个不同的实数解， 则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（0，6]上有2个不同的交点，如下图所示：
x
又f（﹣2）=f（2）=3，则有 loga（2+2）＜3，且loga（6+2）＞3， 解得：
＜a＜2，
故答案为 （，2）．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性
质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．
16．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（﹣1，0）．
【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的综合应用．
【分析】讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求． 【解答】解：（1）当a＞0时，
当﹣1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0， 则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意； （3）当﹣1＜a＜0时，
当﹣1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0， 则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；
（4）当a=﹣1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意； （5）当a＜﹣1时，
当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0， 则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意； 综上所述﹣1＜a＜0， 故答案为 （﹣1，0）．
【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17．已知函数f（x）=lg（1）求a的值； （2）若g（x）=f（x）+
（a≠1）是奇函数，
，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值． 【解答】解：（1）因为函数f（x）=lg
是奇函数；
所以：f（﹣x）+f（x）=0⇒lg∴a=±1，又a≠1， ∴a=﹣1．
+lg=0⇒lg=0⇒=1．
（2）∵g（x）=f（x）+，且f（x）为奇函数，
+
∴g（）+g（﹣）=f（）+f（﹣）+
=2（﹣1）+
=2．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
18．已知集合
，集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x）}，集合C={x|m+2＜
2
x＜2m﹣3}．
（Ⅰ）设全集U=R，求（∁UA）∩B；
（Ⅱ）若C∩（∁RA）=∅，求实数m的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．
【分析】（I）求出函数和y=ln（4﹣3x﹣x）的定义域A，B，集合交集，
2
并集，补集的定义，可得答案．
（Ⅱ）若C∩（∁RA）=∅，则C=∅或C与∁RA没有公共元素，即C⊆A，进而可得实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵集合
集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x）}=（﹣4，1）， ∴∁UA=（﹣2，9），
∴（∁UA）∩B=（﹣2，1）． （Ⅱ）∵C∩（∁RA）=∅， ∴C⊆A，
当C=∅时，m+2≥2m﹣3，解得m≤5， 当C≠∅时，则
或
，解得：m≥7，
2
=（﹣∞，﹣2]∪[9，+∞），
综上：实数m的取值范围是m≤5或m≥7．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．
19．已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有
＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
2
（2）若f（x）≤t﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用已知与增函数的定义即可得出；
（2）由于f（x）为增函数，可得f（x）的最大值为f（1）=1．f（x）≤t﹣2at+1对a∈[﹣1，
22
1]，x∈[﹣1，1]恒成立⇔t﹣2at+1≥1对任意a∈[﹣1， 1]恒成立⇔t﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立．看作a的一次函数，即可得出． 【解答】解：（1）任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x2＞x1，则 f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=
•（x2﹣x1）＞0，
2
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）是增函数．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
22
∴f（x）≤t﹣2at+1对a∈[﹣1，1]、x∈[﹣1，1]恒成立⇔t﹣2at+1≥1对任意a∈[﹣1，1]恒成立2
⇔t﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立．
2
把y=t﹣2at看作a的函数，
由a∈[﹣1，1]知其图象是一条线段， 2
∴t﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立 ⇔
，解得
解得：t≤﹣2，或t=0，或t≥2．
【点评】本题考查了抽象函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已
2
知函数f（x）=ax+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）当a=1，b=﹣2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．
（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）首先利用信息要求解出结果． （2）二次函数的轴固定区间不固定的讨论． （3）恒成立问题的应用．
2
【解答】解：（1）由题意得：f（x）=x﹣x﹣3 由于x0是不动点
因此得：即：
解得：x0=﹣1或3
即3和﹣1是f（x）的不动点． （2）①当t≤
时，g（t）=t+t﹣3
2
②当﹣＜t＜时，g（t）=﹣
③当t≥时，g（t）=t﹣t﹣3
（3）因为f（x）恒有两个不动点
2
f（x）=ax+（b+1）x+b﹣1=x
2
即：ax+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根
2
即对于任意的实数都有△=b﹣4a（b﹣1）＞0恒成立
2
进一步得：对任意的实数b，b﹣4ab+4a＞0恒成立．
得到：a﹣a＜0 0＜a＜1 故答案为：（1）3和﹣1是f（x）的不动点 （2））①当t≤
时，g（t）=t+t﹣3
2
2
2
②当﹣＜t＜时，g（t）=﹣③当t≥时，g（t）=t﹣t﹣3
2
（3）0＜a＜1
【点评】本题考查的知识点：信息抽象函数的应用，二次函数的轴固定区间不固定的讨论，恒成立问题的应用及一元二次不等式和一元二次方程的解法．
21．已知函数f（x）=aln x﹣ax﹣1（a∈R）． （1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x1，x2∈[1，+∞），比较ln（x1x2）与x1+x2﹣2的大小． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）把a=﹣1代入函数解析式，求导后分别由导函数大于0和小于0求得函数的单调期间；
（2）由（1）中求得的函数的单调性，可知当a=﹣1，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即﹣ln
x+x﹣1≥0，得到0≤ln x1≤x1﹣1，0≤ln x2≤x2﹣1，作和后可得
0≤ln（x1x2）≤x1+x2﹣2，由此可得ln（x1x2）与x1+x2﹣2的大小． 【解答】解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=
（x＞0），
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1， ∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）； （2）由（1）可知，当a=﹣1，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即﹣ln x+x﹣1≥0， ∴0≤ln x≤x﹣1对一切x∈[1，+∞）恒成立． 若x1，x2∈[1，+∞），则0≤ln x1≤x1﹣1，0≤ln x2≤x2﹣1， ∴0≤ln x1+ln x2≤x1+x2﹣2，即0≤ln（x1x2）≤x1+x2﹣2． 故当x1=x2=1时，ln（x1x2）=x1+x2﹣2； 当x1，x2∈[1，+∞），且x1，x2不全为1时，ln（x1x2）＜x1+x2﹣2．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，该类问题中函数不等式的证明，往往要用到前一问中的结论，属中档题．
22．设函数f（x）=lnx+，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数； （Ⅲ）若对任意b＞a＞0，
＜1恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点． 【专题】压轴题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；
（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况； （Ⅲ）由b＞a＞0，
＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即
h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，
∴f′（x）=；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数； 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数； ∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣令g（x）=0，得m=﹣x+x（x＞0）； 设φ（x）=﹣x+x（x＞0），
∴φ′（x）=﹣x+1=﹣（x﹣1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数， 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数； ∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点， ∴x=1是φ（x）的最大值点， ∴φ（x）的最大值为φ（1）=；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
23
3
﹣（x＞0），
可知：①当m＞时，函数g（x）无零点； ②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点； ④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 综上，当m＞时，函数g（x）无零点；
当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点； （Ⅲ）对任意b＞a＞0，
等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立； 设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0）， 则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减； ∵h′（x）=﹣∴m≥﹣x+x=﹣∴m≥；
对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立； ∴m的取值范围是[，+∞）．
2
＜1恒成立，
﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
+（x＞0），
【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．
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