初中奥林匹克数学竞赛训练题(7套)

第 一 试

一. 选择题.(每小题7分,共42分)

a3b3c33abc3,则(ab)2(bc)2(ab)(bc)的值为: ( )1.已知

abc(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(a,b)Δ(c,d)(acbd,adbc).如果对

任意实数a,b都有(a,b)Δ(x,y)(a,b),则(x,y)为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0) (D)(0,1)

211,则∠A: abc(A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案

( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是

( )3.在ΔABC中,

5;②(a)2a;③若点P(a,b)在第三象限,则点P1(a,b1)在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

( )5.设P为等腰RtΔABC斜边AB上或其延长线上一点,SAP2BP2,那么:

(A)S2CP2 (B)S2CP2 (C)S2CP2 (D)不确定

( )6.满足方程x2y22(xy)xy的所有正整数解有:

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车. 2.若多项式

P2a28ab17b216a4b2070,那么P

的最

小值是 .

3.如图1, ∠AOB=30O, ∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若ΔPQR周长最小,则最小周长是 .

4.已知二次函数yax2(a1)的图象上两点A,B的横坐标分别为1,2,O是坐标

原点,如果ΔAOB是直角三角形,则ΔAOB的周长为 .

第 二 试

一.(20分)已知实数a,b,c满足不等式abc,bca,cab,求abc的值.

二.(25分)如图2,点D在ΔABC的边B小 C上,且与B,C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

2(1) 设ΔABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为S.求

5BD长. (2) 若AC2AB,且DF经过ΔABC的重心G,求E,F两点的距离.

三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数a,b,c满足关系式

2a5bc,则abc是整数n的倍数.”试问:上述定理中整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论。

数学奥林匹克初中训练题(2)

一、

第 一 试

选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.设a,b是实数,且

1111b,则等于: 1a1bba1a(A)15153535 (B) (C) (D) 2222( )2.适合于(y2)x2yx20的非负整数对

(x,y)的个数是:

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )3.如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是

矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是:

(A)3353 (B) (C)3 (D) 324( )4.若关于x的不等式xax3的解中包含了”xa”,

则实数a的取值范围是:(A)a3 (B)a1或a3 (C)a1或a3 (D)a2或a3

( )5.如图2,在ΔABC中,M是边AB的中点,N是边AC上的点,

且

AN2,CM与BN相交于点K.若ΔBCK的面积等于1,NC1013 (C)4 (D) 33则ΔABC的面积等于: (A)3 (B)

2( )6.设a,b,c为实数,且a0,抛物线yaxbxc

与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线y1上.若ΔABC是直角三角形,则RtΔABC面积的最大值是: (A)1 (B)3 (C)2 (D)3 二、填空题.(每小题7分,共28分)

1.设x是实数,则函数yx1x2x3的最小值是 . 2.方程xaxb0的两根为x1,x2,且x13x23x12x22x1x2,,则有序实数组(a,b)共有 个.

23.若

abac,则a:b:c . bccaab2cAEBG2,则 . EBBC4.如图3,正ΔEFG内接于正方形ABCD,其中E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若

第 二 试

一.(20分)如图4,在锐角ΔABC内有一点P,直线AP,BP,CP分别交对边于Q1,Q2,Q3,且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B.试问:点P是否必为ΔABC的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.

二.(25分)设p为素数,k是正整数.

求证:方程x2pxkp10至少有一个整数根

的充分必要条件是k1

三.(25分)是否存在这样的正整数n,使得3n7n1能整除nnn1?请说明理由

232

数学奥林匹克初中训练题

奥林匹克数学竞赛训练题（3）

1、 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，

求证：S△CDE=S△ADE+S△BCE.

解：过点E作EF∥AD，设梯形的高为h，∵点E 为AB的中点，

∴点F为CD的中点 ∴EF是梯形ABCD的中位线， 即EF= 1/2（AD+BC），

∵S△DEC=S△DEF+S△EFC= 1/2EF•h=S，∴S四边形ABCD═ 1/2（AD+BC）•h=EF•h=2S

2、 已知矩形ABCD，在CD的延长线上取一点E，在BC的延长

线上取一点F，使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G, 求证：S矩形ABCD=S△AEF.

H 证明：作GH垂直AB于H，则∠DAF=∠DAE=∠AGH， ∴△AED≌△AGD≌GAH，∴EG=2DG， SΔAEF=SΔAEG+SΔEGF=S矩形AHGD+SΔEGF， 易证△ADG∽△FCG ∴AD：CF=DG：CG，∴AD×CG=DG×CF， ∴SΔEGF=EG×CF/2=DG×CF=AD×CG， ∵S矩形HBCG=BC×CG=AD×CG=SΔEGF，∴SΔAEF=S矩形ABCD 3、 已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE

交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G， 求证：BG=AF+FG.

M

证明：过C作CH∥AB交AF的延长线于H。设GF交AC于M 则由AB=AC，∠BAC =∠ACH=90°，∠ABE= ∠CAH=90°-∠CAH 知△ABE≌△CAH。BE=AH，易证△AEB≌△ADC∴∠ABE=∠ACD∴∠EBC=∠DCB 又CF=CF,∠MCF =∠HCF=45°，∠MFC =∠HFC=90°-∠EBC， ∴△FMC≌△FPC。∴FM=FH

再由∠GME=∠CMF=∠CHF=∠AEB=∠MEG得GE=GM ∴BG=BE+EG=AH+EG=AF+FH+GM=AF+FM+GM=AF+FG

4、 已知正方形ABCD内有一点P，且PB：PC：PD=3：2：1，求证：

∠CPD=135°.

解：如图，过C作CM⊥CP，在CM上截取CE=CP，（或:将△CDP绕点C逆时针方向旋转至△CBE）连接BE、PE．

在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠1=∠2，

∵正方形ABCD中，BC=CD，∴△DCP≌△BCE（SAS），∴BE=DP， 设PB=t，∵PB：PC：PD=1：2：3， ∴PC=2t，PD=3t，∴BE=3t；

在Rt△PCE中，PC=CE=2t，∴PE=2√2t，∠CPE=45°， 在△BPE中，

PB2+PE2=t2+（2√2t）2=9t2， BE2=（3t）2=9t2， ∴PB2+PE2=BE2，

∴△BPE是直角三角形，∠BPE=90°， ∴∠BPC=∠BPE+∠CPE=135°．

数学奥林匹克初中训练题（4）

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

x2111.使代数式y=的值为整数的全体自然数x的和是( ).

x1(A)5 (B)6 (C)12 (D)22

43|x|2.方程|x|-=实数根的个数为( ).

xx(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.如图，∠XOY= 90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW.若OA+OB+OC=1，则OC=( ). (A)2-

2 (B) 2-1 (C) 6-2 (D)2 3 -3

34.对于每个x，函数y是y1=2x，y2=x+2，y3=-x+12这三个函数中的最小值.则

2函数y的最大值是( ). (A)4 (B)6 (C)8 (D)48/7

15.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y=x2+x+ 的函数值中整数

2的个数是( ).

(A)59 (B)120 (C)118 (D)60

6.如图，⊙O1、⊙O2交于点E、F，AB、CD是两条公切线，直线EF分别交AB、CD于点P、Q.则AB、PQ、EF的关系是( ).

(A)2AB=PQ+EF(B)AB2=PQ·EF

(C)AB2+EF2=PQ2(D)

111 EFPQAB二、填空题(每小题7分，共28分) 1.已知

yz-xzx-yxy-z= = =p.则p3+p2+p= . xyzyz-xzx-y2.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1<1那么，a的取值范围是 .

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 12.以BC为直径作⊙O，CE⊥AO，E在AB上.则S△BCE= . 4.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5.则BC∶CA∶AB= .

第二试

一、(20分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).

(1)直接写出y与x之间的函数关系式.

(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少? (3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?

二、(25分)如图4，△A′BC∽△AB′C∽△ABC′.求证:AA′、BB′、CC′三线共点.

三、(25分)半圆⊙O的直径AB是等腰Rt△ABC的斜边，点P在射线BA上、PQ切半圆⊙O于点Q，∠BPQ的平分线交AC、BC于点E、F.求证:AE2+BF2=EF2.

数学奥林匹克初中训练题（4）参

第一试

一、1.D. 由于y= =x-1+

1212，为使为整数，则自然数x可取0，1，2，3，5，11，其和为22. x1x12.A.

当x>0时，x-4/x=3，x2-3x-4=0，x1=4，x2=-1(舍); 当x<0时，-x-4/x=-3，x2-3x+4=0，Δ<0，无实根. 综上，原方程只有一个实数根x=4. 3.B.

延长CP交OY于点D，易知BD=PB=OA.则OA+OB=OB+BD=OD= 2OC. 故1=OA+OB+OC=(

1)OC，即OC=2 -1. 214.B.

分别联立y1、y2，y1、y3，y2、y3得交点A(2，4)，B(24/7，48/7)，C(4，6). 当x≤2时，min{y1，y2，y3}=y1=2x≤4，最大值为4;

当24时，min{y1，y2，y3}=y3=-综上，函数y的最大值为6. 5.B.

3x+12<6. 21111 =(x+ )2+，当x>- 时，y随x的增大而增大.

42221111由于59≤x≤60，则592+59+ ≤y≤602+60+ ，即 3 0 ≤y≤3 660 .

2222注意到y=x2+x+

此范围共含有整数3 660-3 1+1=120个.

6.C.

设PE=QF=a，EF=b.则PQ2=(2a+b)2=4a2+4ab+b2. 而AB2=4PA2=4PE·PF=4a(a+b)=4a2+4ab， 故 AB2+EF2=4a2+4ab+b2=PQ2. 二、1.1.

2.-2/11依题意，方程的两个不相等的实数根x1、x2满足x1<10， ①Δ=(a+2)2-4×a×9a>0， f(1)=a+a+2+9a<0. ②或(2)a<0，Δ=(a+2)2-4×a×9a>0， f(1)=a+a+2+9a>0.

解不等式组(1)知，式①、②中a的取值范围没有公共部分，因此，(1)没有解; 解不等式组(2)得a<0，-2/7-2/11. 因此，解集为-2/11如图，设⊙O交AB于点F，联结CF，交OA于点H，联结EH并延长交AC于点D.则H是△AEC的垂心.故ED⊥AC，ED∥BC.又AO、CF是△ABC的两条中线，则H是△ABC的重心，此时，AE/EB=AH/HO=2.于是，BE=故S△BCE=24. 4.2∶6 ∶(

11 AE= AB.

323 +1).见图.

第二试 一、(1)y=-

21x+28， 100≤x≤200; y=- x+32， 200222x+28代入式①得w=x(-x+28)-40(-x+28)-2 000.

2525252整理得w=- (x-195)2-78. 251当200102故w=- (x-195)2-78， 100≤x≤200; 251w=- (x-180)2-40， 20010将y=-若100≤x≤200，当x=195时，wmax=-78;

若2002x+28)(x-40)， 100≤x≤200; 251w= (-x+32)(x-40)， 20010w=(-当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-

2x+28)(x-40)-78=1 842， 25100≤x≤200

或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200故当190≤x≤200时，总利润不低于1 842万元. 由y=-

2x+28(100≤x≤200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大. 25二、如图，设AA′、BB′交于点O，联结OC、OC′.由△A′BC∽△AB′C

易推得△AA′C∽△B′BC.则∠AA′C=∠B′BC，即∠OA′C=∠OBC.

因此，O、B、A′、C四点共圆.此时，∠A′OB=∠A′CB=∠AC′B.

所以，O、A、C′、B也四点共圆.

故 ∠AOC′=∠ABC′ =∠A′BC=∠A′OC.

而C、C′两点位于AA′的异侧，可断C、O、C′三点共线. 从而，AA′、BB′、CC′三线共点.

三、如图，联结QA、QB交PF于点X、Y，联结QE、QF.易知 ∠PQA=∠PBQ， ∠XQY=∠AQB=90°. 因为∠QXY=

11 ∠BPQ+∠PQA，∠QYX= ∠BPQ+∠PBQ， 22所以，∠QXY=∠QYX=45°=∠CAB. 又∠QXY=

11∠BPQ+∠PQA， ∠CAB=∠BPQ+∠PEA， 22则 ∠PQA=∠PEA. 从而，P、Q、E、A四点共圆.

但PE平分∠APQ，因此，QE=AE.

注意到∠PFB=90°+∠CEF=90°+∠PEA=90°+∠PQA，

∠PQB=∠AQB+∠PQA=90°+∠PQA. 所以，∠PQB=∠PFB. 从而，P、Q、F、B四点共圆.但PF平分∠BPQ，因此，QF=BF. 又∠BQF=∠BPF=∠APE=∠AQE，则∠EQF=∠AQB=90°. 在Rt△QEF中，QE2+QF2=EF2，故AE2+BF2=EF2.

数学奥林匹克初中训练题(5)

第一试

一、选择

11.已知xy2008，其中x、y均为正整数.则xy的最大值与最小

x值的和为（ ） A．2010

B.2100

C.2008

D.2000

2.设x表示不超过实数x的最大整数，xxx.则

20098320108320092009401783（ 2009）.

D.251000

A.249075 B.250958 C.174696

3.在2×3的矩形方格纸上各个小正方形的顶点称为格点.则以格点为顶点的等腰直角三角形有（ ）个. A.24 B.38 C.46 D.50 4.如图1，在等边△ABC中，E为AB的中点，

AD1.则有（ D在AC上，使得

AC3AED）.

A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD BC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD

C5．已知直角坐标系中的四点A（-2，4）、B（-2，0）、C（2，-3）、D（2，0）.设P是x轴上的点，且联结ＰＡ、ＰＣ后它们与ＡＢ、ＣＤ及x轴所围成的两个三角形（即△PAB和△PCD）相似.则所有符合上述条件的点P的个数为（ ）. A.2 B.3 C.4 D.5

6.方程m44m22nm22n50的正整数解有（ ）组.

A.1 B.2 C.4 D.无穷 二填空 1．

如图2，四边形ABCD是矩形，且AB=2BC，

ABEM、N分别为边BC、CD的中点，AM与BN交于点E.若阴影部分的面积为a，那么，矩形ABCDDN的面积为____________. 2．

设a、b为整数，且方程ax2bx10的两个不同的正数根都小

于1.则a的最小值为____________. 3．

关于x的方程x2a|x|a230aR有唯一的实数解.则

a________.

4． 将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的

和等于N，而B组所有数的乘积也等于N.则N的所有可能取值是________. 第二试

一、 试求出所有的有序整数对（a，b），使得关于x的方程

x42ba2x22axb210的各个根均是整数.

二、 △ABC的外心关于三边的对称点分别为A'、B'、C'.求证： （1）AA'、BB'、CC'交于一点P；

（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心. 三、有2009名运动员，号码依次为1，2，…，2009.从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么，被选为仪仗队的运动员至少有多少人？给出你的选取方案，并简述理由.

MC

数学奥林匹克初中训练题（6）

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ). (A)35 (B)40 (C)81 (D)84 2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.

(A)50 (B)90 (C)99 (D)100

3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且

a3=8a-3.则a的值是( ). (1x1)(1x2)(1-6a-x1)(1-6a-x2)11 (D) 22(A)1 (B)2 (C)0或

4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ). (A)2≤x≤3 (B)25.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ). (A)

19333 (B) (C) (D)

232436.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.

(A)6 (B)8 (C)9 (D)10

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上

的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .

2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c) 恒成立.则a+b+c的值 为 .

3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .

4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出 个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.

第二试

一、(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.

二、(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:

(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

122220082],[],[]中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不三、(25分)在[20082008200于x的最大整数)?

数学奥林匹克初中训练题（6）参

第一试 一、1.D. 设BC=a，AC=b.则

a2+b2=352=1 225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB，则FE/CB=AF/AC，. 故12(a+b)=ab.

由式①、②得(a+b)2=1 225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以，周长为84. 2.C.

因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99个0)-1)=11…1(99个1)0-99=11…1(97个1)011， 所以，n的十进制表示中，数码1有97+2=99(个). 3.D.

由Δ=36a2+4a>0，得a>0或a<-1/9.由题意可设f(x)=x2+6ax-a=(x-x1)(x-x2). 则(1+x1)(1+x2)=f(-1)=1-7a， (1-6a-x1)(1-6a-x2)=f(1-6a)=1-7a. 所以，

a-3 =8a-3. 1-7a解得a=1/2或a=0(舍去). 4.B.

由题意知，不等式ax2+7x-1>2x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a的不等x2a+5x-6>0对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x2a+5x-6.则g(-1)=-x2+5x-6>0，g(1)=x2+5x-6>0.解得2如图，联结PQ.由题设得BC=1/2 ，AC=3 /2，∠QAT=90°， ∠QCP=150°，P、B、R三点共线. 因为S△AQT=

113 AT·AQ= AT·AC=AT， 224而S△ART/S△ARB=AT/AB，所以，S△ART=

3AT=S△AQT.从而，QT=RT. 4于是，S△PRT=6.B.

1193 S△PQR= (S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR)=. 2232如图5，将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.

二、1.15

2 /8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E三点共线时，PE+PA最小.

如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD:y=x， lAE:3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=15 2.20或28.

因x2-(8+a)x+8a+1=x2-(b+c)x+bc恒成立，所以，8+a=b+c，8a+1=bc. 消去a可得bc-8(b+c)=-63，即(b-8)(c-8)=1.

因为b、c都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1. 从而，a+b+c=20或28. 3.3

2 /8.

15/8.

设MA=x.

由MA·MB=MP·MQ，得x·2x=1×3.解得x=

3. 2联结CN.在Rt△MCN中，MC=3x=3

3，MN=4. 2所以，NC=

5315，S△MCN= .

42315. 8又S△MQB/S△MCN=1/2，则S△MQB=4.503.

从1，2，…，2 006中选出两个奇数，和为2 008的共有如下501组: 3+2 005，5+2 003，…，1 003+1 005.

由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2 008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2 008. 第二试

一、设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w). 因此，x+y+z+w≤25.

当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.

又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)， 则 x+y+z+w≥20.

当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20. 二、(1)如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.

又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC. 从而，PF/FD=PD/DC.①

由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE， 得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE. 于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF. 故由式①得EP/DE=PD/DC.

(2)因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.

n2三、设f(n)=.

2 008当n=2，3，…，1 004时，有f(n)-f(n-1)=而f(1)=0，f(1 004)=1 0042/2 008=502，

以，从0到502的整数都能取到.当n=1 005，1 006，…，2 008时，有f(n)-f(n-1)= 而f(1 005)=1 0052/2 008=(1 004+1)2/2 008=502+1+1/2 008>503，

2n-1 <1. 2 0082n-1>1. 2 008122220082122220082],[],[]是互不同的整数.从而，在[],[],[]中，共故[200820082008200820082008有503+1 004=1 507个不同的整数.

数学奥林匹克初中训练题（7）

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分) 1.某公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成.已知一汽车在各路段上行驶的平均速度分别为v1、v2、v3.则这部汽车在整段路面上的平均速度为( ).

111v1v2v3v1v2v313(A) (B) (C) (D)

11111133v1v2v3v1v2v32.已知小王、小李两家相距16 km，小王骑自行车从家出发以12 km/h作匀速直

线运动，小李骑助力车同时从家出发以24 km/h作匀速直线运动，20 min后，小王到达M地，小李到达N地.记M、N两地的距离为dkm.则d的取值为( ). (A)4 (B)20(C)4，12，20，28 (D)[4，28]

3.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号;若从右往左隔2人报数，小陈报6号.那么，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为( ). (A)11 (B)12 (C)13 (D)14

4.若M=(|a+b|-|a|+|b|)(|a+b|-|a|-|b|)，则M的取值范围为( ). (A)全体正数(B)全体非正数(C)全体负数(D)全体非负数

5.在凸四边形ABCD中，若AB大于其余三边，BC小于其余三边，则∠BAD、∠BCD的关系为( ).

(A)∠BAD<∠BCD(B)∠BAD=∠BCD(C)∠BAD>∠BCD(D)不能确定

6.已知△ABC的三边长为8、12、18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等.则这样的△A1B1C1个数为( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶 km.

2.联结矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，过E作AB的垂线交AB于F;联结DF交AC于E1，过E1作AB的垂线交AB于F1;联结DF1交AC于E2，过E2作AB的垂线交AB于F2，如此类推.则AF2 006/AB= . 1231003.4= . 24242322133110010014.如图，已知△ABC的两条中线AD、BE交于点G，可得到8个图形:△ABD、△ACD、△BAE、△BCE、△GAB、△GAE、△GBD，四边形CEGD.现从中任取两个图形，则这两个图形面积相等的概率为 .

第二试

一、(20分)已知抛物线y=x2与动直线y= (2t- 1)x-c有公共点(x1，y1)、(x2，y2)，且x21+x22=t2+2t-3. (1)求t的取值范围;

(2)求c的最小值，并求出c取最小值时t的取值.

二、(25分)在等边△ABC内部任取一点P，联结PA、PB、PC.求证:必存在PA、PB、PC中的两条线段，其长度m、n满足

51m≤1. 2n三、(25分)将编号为1，2，…，18的18名

乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛，规定每张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数.请问这一规定能否实现?若规定不能实现，请给出证明;若规定能够实现，请说明实现方案是否唯一.

数学奥林匹克初中训练题（7）参

第一试

一、1.D.

解法1:设整段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s.这部汽车在各路段上行驶时间分别为ti=s/vi(i=1，2，3)， 2.D.

运动20 min，小王走了4 km，小李走了8 km，M地在“以小王家为圆心、半径为4 km”的圆上，N地在“以小李家为圆心、半径为8 km”的圆上，如图2所示.两圆的最近距离为16-4-8=4 km，两圆的最远距离为16+4+8=28 km.一般情况下，d的取值为4≤d≤28. 3.A.

解法1:由题知，小李在这个队列中排在“从左往右”的第2×7+1=15位，小陈在这个队列中排在“从右往左”的第3×5+1=16位，即“从左往右”的第20-16+1=5位.如图.

所以，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为15-5+1=11. 解法2:由题知，小李在这个队列中排在图4“从左往右”的第2×8-1=15位，小陈在这个队列中排在“从右往左”的第3×6-2=16位.如图4.所以，从小陈开始向小李逐人报数，小李报的号数为(15+16)-20=11. 4.B. 解法1:

M=(|a+b|-|a|+|b|)·(|a+b|-|a|-|b|)=(|a+b|-|a|)2-|b|2

=(a+b)2-2|a(a+b)|+a2-b2=a2+2ab+b2-2|a(a+b)|+a2-b2=2a(a+b)-2|a(a+b)|≤0. 5.D.

如图，取一个 ABCD，使△CBD为等腰直角三角形，作△CBD的外接圆⊙O，以D为圆心、DC为半径画弧交AB延长线于E，联

结DE交⊙O于C1，交BC于C2.在线段C1E内取点C3，联结BC1、BC3.则在四边形ABCiD(i=1，2，3)中，AB大于其余三边，BCi小于其余三边，有∠BAD<∠BC2D，∠BAD=∠BC1D，∠BAD>∠BC3D. 6.C.

设AB=8，BC=12，AC=18.由两三角形相似而不全等可设AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=q≠1， 即 8/A1B1=12/B1C1=18/A1C1=q≠1.

由B1C1≠12知，只能A1B1= 12或A1C1=12.当A1B1=12时，q=2/3，得△A1B1C1三边长分别为12，18，27;当A1C1=12时，q=3/2，得△A1B1C1三边长分别为16/3，8，12 .此外，再没有第三种情况.所以，这样的△A1B1C1共有2个.说明:△ABC与△A1B1C1有两条边、三个角共五个元素相等，但不全等. 二、1.3 750.

设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有

kykxk50003000.两式相加得x+y=3 750 (km). kxkyk300050002.1/2 008.

如图.由中位线定理得AF=

11 AB，EF=AD. 2221AF1=2/3.故AF1=AF=

33AF1F1F 又由△AE1F1在△AEF，△AE1D∽△EE1F，有AF1/F1F=AE1/E1E=AD/EF=2，即

AB.如此类推，有AF=3.5 050/10 101. 注意到

1111 AB，AF1= AB，AF2=AB，……AF2 006=AB.

342 0082k111(). 4222kk12kk1kk1

4.2/7.

从8个图形中任取2个图形有8×7/2=28种取法，其中面积相等的有三种情况: (1)面积为

1 S△ABC的三角形有4个(△ABD、△ACD、△BAE、△BCE)，得面积相等的图2形4×3/2=6对;

1S△ABC的三角形有2个(△GAE、△GBD)，得面积相等的图形1对; 61(3)面积为 S△ABC的图形有2个(△GAB、四边形CEGD)，得面积相等的图形1对.共计面

3(2)面积为

积相等的图形有8对.从而，取到两个图形面积相等的概率为8/28=2/7. 第二试

一、联立y=x2与y=(2t-1)x-c，消去y得二次方程x2-(2t-1)x+c=0①

有实数根x1、x2.由韦达定理得x1+x2=2t-1，x1x2=c.

111 [(x1+x2)2-(x21+x22)]=[(2t-1)2-(t2+2t-3)]= (3t2-6t+4).② 2221把式②代入方程①得x2-(2t-1)x+ (3t2-6t+4)=0.③

2故c=x1x2=

(1)t的取值应满足t2+2t-3=x21+x22≥0，④ 且使方程③有实数根，即Δ= -2t2+8t-7≥0.⑤ 解方程④得t≤-3或t≥1.

解方程⑤得2-2 /2≤t≤2+2 /2.所以，t的取值范围为2-2 /2≤t≤2+2 /2.⑥ (2)由式②知c=

13(t-1)2+ .但由式⑥知t不能取到1.因而，比较自变量两端点的函数值，所22以，当t=2-2 /2时，cmin=

2262. 4二、如图，将△PAB绕点B顺时针旋转60°，得△P1CB∽△PAB.联结PP1.则P1C=PA，等腰△BP1P为等边三角形，有P1P=BP1=PB.故以PA、PB、PC为边可组成△P1PC. 记△P1PC的三边为a、b、c， 不妨设a≥b≥c.由 0>a-(b+c)=(

51515151)a-()b-c 2222=

515151(a-b)+ (b-c) 222可见，相加的两项当中，必有一项为负数. (1)若

515151(a-b)<0，则2225151b-c<0，则PC中的两条线段，其长度m、n满足

三、解法1:因为编号最大的两数之和为18+17=35<36，所以，同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数:25，16，9.现设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x个、y个、z个(x、y、z均为非负整数).依题意有 25x+16y+9z=1+2+…+18，x+y+z=9， x≥0，y≥0，z≥0，即

16x+7y+9(x+y+z)=171，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0， 得 16x+7y=90，x≥0，y≥0，z≥0.

又由0≤x≤90/16<6知，x只能取非负整数0，1，2，3，4，5.逐一代入检验，可得方程唯

一的非负整数解x=3，y=6，z=0.下面讨论9张球台上的选手对阵情况.(1)由x=3，知平方数为25只能有3个，而编号不小于16的3个选手18，17，16对应的平方数又只能为25，故“两选手编号和为25”的只能是:18与7对阵，17与8对阵，16与9对阵.(2)由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12个选手对应的平方数能且只能为16，有:1与15对阵，2与14对阵，3与13对阵，4与12对阵，5与11对阵，6与10对阵.故规定能够实现，且实现方案是唯一的.

9张球台上选手对阵情况为:(18，7)，(17，8)，(16，9)，(15，1)，(14，2)， (13，3)，(12，4)，(11，5)，(10，6).

解法2:因为编号最大的两数之和为18+17=35<36，所以，同一张球台上两选手编号之和只能取三个平方数:25，16，9.(1)编号不小于16的3个选手对应的平方数能且只能为25，有:18与7对阵，17与8对阵，16与9对阵.(2)去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12个选手中:因为1不能与8组成平方数9，所以，1只能与15对阵;因为2不能与7组成平方数9，所以，2只能与14对阵.

(3)再去掉15，14，2，1后剩下的8个选手中:因为10不能与15组成平方数25，所以，10只能与6对阵;因为11不能与14组成平方数25，所以，11只能与5对阵.

(4)最后的4个编号3，4，12，13中，两数和为平方数的只能13与3对阵，12与4对阵.故规定能够实现，且实现方案是唯一的.9张球台上选手对阵情况为:(18，7)，(17，8)，(16，9)，(15，1)，(14，2)，(13，3)，(12，4)，(11，5)，(10，6).