汕头市2015届普通高考第二次模拟考试(文数)

数 学（文 科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答

题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：

1.柱体体积公式为VSh，其中S为柱体的底面积、h为柱体的高. 2.锥体体积公式为V

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合U1,2,3,4，1,2，2,4，则BCuA（ ）

A．2 B．4 C．1,2,4 D．1,4 2、已知i是虚数单位，若

1Sh，其中S为锥体的底面积、h为锥体的高. 33i1i，则复数z的共轭复数是（ ） zA．12i B．24i C．222i D．12i 3、若a，b是两个非零的平面向量，则“ab”是“abab0”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、为了得到函数ysin2xA．向左平移

的图象，只需把函数ysin2x的图象（ ） 3个单位长度 B．向右平移个单位长度 33C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

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5、设an是首项为1，公差为d（d0）的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等2111 C． D． 282比数列，则d（ ） A．1 B．6、已知直线l1:m1xy20，l2:8xm1ym10，且l1//l2，则m（ ） A．

7 B．3 C．3 D．3 9x2y207、设不等式组x4表示的平面区域为D．在区域D内随机取一

y2个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是（ ） A．

45 B． C． D． 131325258、程序框图如图1所示，若其输出结果是30，则判断框中填写的是（ ） A．i7? B．i5? C．i7? D．i5?

x2y2231的渐近线方程为y9、已知双曲线x，则此双曲线的离a43心率是（ ） A．571321 B． C． D．

3233 图1

10、设集合x,yFx,y0为平面直角坐标系xy内的点集，若对于任意x,y，

11存在x2,y2，使得x1x2y1y20，则称点集满足性质．给出下列四个点集： ①R②S③x,ysinxy10

x,ylnxy0

x,yx2y210

④Wx,yxy10

其中所有满足性质的点集的序号是（ ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

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二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题） 11、函数fxlog21x1x的定义域是 ．

12、图2是甲、乙两名篮球运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 ．

图2

13、若某几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积是 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题全答的，只计算前一题的得分。） 14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xy中，圆C的参数方程为图3

x12cos（为参数）．以为极点，x轴的非负半轴为极轴建

y2sin立极坐标系，则圆C的极坐标方程是 ．

15、（几何证明选讲选做题）如图4，已知是⊙O的弦，是

上一点，62，42，3，则⊙O的半径

R ． 图4

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）

已知函数fx3sinxacosx（xR）的图象经过点2,1． 31求函数fx的解析式；

2设，0,

2，f65，f65610，求cos的值． 1317、（本小题满分12分）我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，

600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了72名居民，按缴费在

100~500元，600~1000元，以及年龄在20~39岁，40~59岁之间进行了统计，相关数据如下：

3

则年龄在20~39岁之间应抽取1用分层抽样的方法在缴费100~500元之间的居民中随机抽取6人，几人？

2在缴费100~500元之间抽取的6人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40~59

岁之间的概率．

18、（本小题满分14分）如图5，在多面体CDF中，四边形CD是菱形，C、D相交于点，F//，2F，平面CF平面CD，FCF，点G为C的中点．

1证明：直线G//平面FCD； 2求证：直线C平面D．

19、（本小题满分14分）

图5

已知数列an满足a111，an1． 441an1设bn22an1an1a2a33求证：． n2a1a2an4，求证：数列bn为等差数列；

20、（本小题满分14分）

如图6，在平面直角坐标系xy中，椭圆

x2y22C:221（ab0）的离心率为，

ab2左顶点与上顶点的距离为6． 1求椭圆C的标准方程；

2过原点的动直线（与坐标轴不重合）与

椭圆C交于、Q两点，直线、Q分别与 y轴交于、两点，问以为直径的圆是

否经过定点？请证明你的结论．

图6

21、（本小题满分14分）

3a12x3ax1，aR． 已知函数fxx21若函数fx在点2,f2处的切线与直线x9y0垂直，求实数a的值；

32若函数fx在x0,4内存在最小值1，求实数a的值．

4

数学（文科）参

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

2 3 4 5 6 题号 1

A C D A C 答案 B

二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分） 11. 1,1 12. 13. 20 14.

三、解答题：本大题共6题，满分80分. 16．（本小题满分12分） 解：（1）由函数f(x)的图象经过点(则3sin7 D 8 B 9 D 10 B 22cos3 15. 5

,1)， 3acos1.解得a1 33因此f(x)3sinxcosx. （2）f(x)3sinxcosx

2(31sinxcosx) 222sin(x)

636. f()2sin()2sinsin56665

5510f()2sin()2sin2sin66613 5sin.

13又,[0,2

124cos1sin.

135，

]cos1sin2coscoscossinsin

17．（本小题满分12分）

解： （1）设年龄在20~39岁之间应抽取x人

则

63 656x 解得x2 3612所以年龄在20~39岁之间应抽取2人

（2）记在缴费100~500元之间抽取的6人中，年龄在20~39岁的2人为a1,a2；年龄在40~59岁

5

的4人为b1,b2,b3,b4.

所以随机抽取2人的所有结果有：a1,a2，a1,b1，a1,b2，a1,b3，a1,b4，a2,b1，a2,b2，

a2,b3，a2,b4，b1,b2，b1,b3，b1,b4，b2,b3，b2,b4，b3,b4；共15种.

设这2人的年龄都在40~59岁之间的事件为A,则事件为A包含的基本事件有：

b1,b2，b1,b3，b1,b4，b2,b3，b2,b4，b3,b4 ；共6种.

所以PA62 1552 5答：这2人的年龄都在40~59岁之间的概率为 18．（本小题满分14分） 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∴点O是BD的中点； ∵点G为BC的中点，

BDO，

∴OG//CD，又∵OG平面EFCD，

CD平面EFCD，

∴直线OG//平面EFCD．

（2）∵BFCF，点G为BC的中点，∴FGBC； ∵平面BCF平面ABCD，平面BCF∴FG平面ABCD；

∵AC平面ABCD，∴FGAC； ∵OG//AB, OG11AB，EF//AB, EFAB，∴OG//EF, OGEF； 22平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC，

∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG//EO； ∵FGAC，FG//EO，∴ACEO； ∵四边形ABCD是菱形，∴ACDO； ∵ACEO，ACDO，

EODOO，EO、DO在平面ODE内，

∴AC平面ODE．

19．（本小题满分14分） 解：（1） an11

41an2222bn2 bn122an112a1n141an bn1bn2

6

又a112，b14 42a11数列bn为等差数列，且首项为4，公差为2

（2）由（1）知bn4n122n2

2n2 2an111n an 22n22n1即

2ak1k12k1k1111112 由于 ak2k2kkk2kk2kk22aa2a31111n1n1a1a2an232411113 n1 n22n1n24 

20．（本小题满分14分） c2a22解：（1）由题意得 ab26

222abc11 nn2 解得a2, b2

x2y2∴椭圆C的标准方程为：1．

42（2）以MN为直径的圆过定点F(2, 0)．

22x0y0222y04， 设P(x0, y0)，则Q(x0, y0)，且1，即x042y2y0)； ∵A(2, 0)，∴直线PA方程为：y0(x2)，∴M(0, x02x02∴直线QA方程为：yy02y0(x2)，∴N(0, )； x02x022y02y0)(y)0， x02x02以MN为直径的圆为：(x0)(x0)(y4x0y04y02y20， 即xy2x04x04222242y0∵x0，∴x2y22x0y20， y0令y0，得x220，解得：x2， ∴以MN为直径的圆过定点：F(2, 0)．

7

21. （本小题满分14分）

解：解：（1）f'(x)3x23(a1)x3a，

因为函数f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线y9x2平行，

所以f'(2)9，

3223(a1)23a9，a1，a的值为1．

（2）f'(x)3x23(a1)x3a，令f'(x)0得x1,xa

①当a0时，f(x)在(0,1)单调递减，在(1,4)单调递增， 所以当x1时，f(1)是f(x)在x0,4内的最小值，

131a=1 解得a 不符合题意舍去

322②当0a1时，f(x)在(0,a)和(1,4)单调递增，在(a,1)单调递减，

3(a1)3a11f(1)f(0)11即，解得0a 230a10a11当0a时，使f(1)是f(x)在x0,4内的最小值；

3131则f(1)a=1 解得a 符合题意

3222③当a1时，f'(x)3(x1)0，f(x)在(0,4)单调递增，

则f(1)则函数f(x)在x0,4内不存在最小值；

④当1a4时，f(x)在(0,1)和(a,4)单调递增，在(1,a)单调递减，

3(a1)2a3a211f(a)f(0)a3即 21a41a4a3解得 所以3a4

1a4所以当xa时，函数f(x)在x0,4内存在最小值 则fa1，解得a3

⑤当a4时，f(x)在(0,1)单调递增，在(1,4)单调递减，

则函数f(x)在x0,4内不存在最小值 综上得，a

1或a3 38