第二节 换元积分法

第二节 换元积分法

教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。

教学重点：不定积分的第一类换元法。

教学难点：不定积分的第二类换元法。

教学内容：

一、 第一类换元积分法

设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 如果 u(x)，且(x)可微，则

f(u)duF(u)C

dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x)dx

即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或

f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]

1

u(x)[f(u)du]u(x)

经济数学---微积分教案

因此有

定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

f[(x)](x)dx[f(u)du] (2-1)

u(x)

公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

例1：求

2cos2xdx

解：

2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd2xsin2xC

1dx例2：求 32x

解：

111111dx(32x)dxd(32x)ln|32x|C32x232x232x2

例3：求

2

经济数学---微积分教案

(2xe解：原式

x2x1x2tanx)dx

2xedxx1x2dxx2sinxdxcosx

11122edx(1x)d(1x2)dcosx2cosx

x22

3122e(1x)ln|cosx|C3 x21dx22例4：求 ax，

解：

11dxa2x2a2111x1xdxd()arctanCx2x2aaaa1()1()aa

1dx22xa例5：求

解：

1111dx()dxx2a22axaxa

3

经济数学---微积分教案

111[d(xa)d(xa)]2axaxa 1[ln|xa|ln|xa|]C2a

1xaln||C2axa

例6：求

113xe]dxx(12lnx)x

[解：

[

113x113xe]dxdxedxx(12lnx)x(12lnx)xx

1123xd(12lnx)ed3x212lnx3

12ln|12lnx|e323xC

cos例7：求 2xdx

解：

4

经济数学---微积分教案

2cosxdx1cos2x1dx[dxcos2xdx]22

x1x1cos2xd2xsin2xC2424

例8：求

secxdx

1dxcosx

解：

secxdx

1d(x)ln|cos(x)cot(x)|C222sin(x)2

 ln|secxtanx|C 例9：求

25sinxcosxdx

sin2xcos4xdsinxsin2x(1sin2x)2dsinx解：原式

(sin2x2sin4xsin6x)dsinx

1sin3x2sin5x1sin7xC357

二、 第二类换元积分法

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经济数学---微积分教案

定理2 设x(t)是单调的可导函数，且在区间内部有(t)0，又设 f[(t)](t) 具有原函数，则

f(x)dxf[(t)](t)dt (2-2) 其中t(x)为x(t)的反函数。

t(x)

公式(2-2)称为第二类换元积分公式。

例10：求 a2x2dx， (a0)

2，则

解：令 xasint，2t a2x2acost，dxacostdt，因此有

a2x2dxacostacostdta2cos2tdta21cos2tdt 2

a2a2a2a2a2xa2xa2x2tsin2tCtsintcostCarcsinC24222a2aa

a2x1arcsinxa2x2C2a2

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经济数学---微积分教案

例11：求

dxa2x2 ，(a0)

解：令 xatant，2t2，则

a2x2asect，dxasec2tdt，因此有

dxa2x21asec2tdtsectdtln|secttant|C asect

a2x2xln||Cln|xx2a2|C1aa

其中C1Clna。用类似方法可得

dxx2a2dx2例12：求 x2x3

ln|xx2a2|C

解：

dx11dxx22x3x22x12(x1)2(2)2d(x1)

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经济数学---微积分教案

1x1arctanC22

补充公式

(14)tanxdxln|cosx|C

cotxdxln|sinx|C (16)

secxdxln|secxtanx|C

 (17)

cscxdxln|cscxcotx|C

 (18)

a2x2dxaarctanaC11x (19)

x2a2dx2aln|xa|C11xa

(20)

1dxarcsinxCaa2x2 (21)

dxln(xx2a2)Cx2a2

 (22)

dxln|xx2a2|Cx2a2



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