高考不等式经典例题

高考不等式经典例题

【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.

【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)， 当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q； 当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q； 综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q. 【变式训练1】已知m＝a＋

A.m＜n

11－

(a＞2)，n＝x2(x≥)，则m，n之间的大小关系为( )

2a－2

B.m＞n

C.m≥n

D.m≤n

【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m＝a＋

111－－

＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x2≤()2＝4.

2a－2a－2

【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5. 令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，

5,49,3所以 18358

故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].

33题型三 开放性问题

cd

【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组

ab成多少个正确命题？

cdbc－ad

【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.

ababbc－ad

(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；

ab(2)由ab＞0，

bc－ad

＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③； ab

bc－ad

＞0⇒ab＞0，即②③⇒①. ab

(3)由bc－ad＞0，

故可组成3个正确命题.

【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R). 【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1； 当m≠0时，可分为两种情况：

2

(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.

m2

所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；

m

(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，

1

高考不等式专题精练

m＋222

其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.

mmm

2

①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1， 不等式的解集为{x|－1＜x＜}；

m②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅； 2

③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|＜x＜－1}.

m【变式训练2】解关于x的不等式

ax－1

＞0. x＋1

【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.

1

当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；

a1

当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；

a1

当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.

a

【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 1

【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0， 解得x＜或x＞1.

3

2y＋1

(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的取值范围.

x＋1【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9). (1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大. 所以x＝7，y＝9时，z取最大值21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方， 过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上， |0－5＋2|29

故z的最小值是()＝.

22

1

y－(－)

21

(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.

2x－(－1)

7337

因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].

4842【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则( )

A .x＋y≥2(2＋1) B .x＋y≤2(2＋1) C. x＋y≤2(2＋1)2 D. x＋y≥(2＋1)2 a＋b

(2)已知a，b∈R＋，则ab，，

2

a2＋b22ab

，的大小顺序是 . 2a＋b

x＋y2x＋y2

【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()，所以()≥1＋(x＋y).

22解得x＋y≥2(2＋1)或x＋y≤2(1－2). 因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(2＋1). (2)由

a＋b2ab2ab

≥ab有a＋b≥2ab，即a＋b≥，所以ab≥. 2a＋bab

2

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a＋b

＝2

a2＋2ab＋b2

≤4

2(a2＋b2)

，所以4

a2＋b2a＋b

≥， 所以22

a2＋b2a＋b2ab

≥≥ab≥. 22a＋b

又

11λ

【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是 .

a－bb－ca－c【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.

而(a－c)(

1111＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4. a－bb－ca－bb－c

51

【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为 ；

44x－5

511

【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0. 所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.

44x－55－4x1

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 所以x＝1时，ymax＝1.

5－4x

(a＋b)2

【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.

cd【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，

(a＋b)2(x＋y)2(a＋b)2(a＋b)2xyyy

cd＝xy，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，

cdxyyxxcdxcd故

(a＋b)2

的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞). cd

例 已知x,y,0,281，求xy的最小值。 xy2284y64x4y64x2 解：xyxy1xy3223264。

xyxyxy当且仅当

281时，即x4.y16，上式取“=”，故xy64。

minxy2例 已知0x1，求函数y41的最小值。 x1x解：因为0x1，所以1x0。

所以y41x411x4x1x59。 x1xx1xx1x41xx2当且仅当时，即x，上式取“=”，故ymin9。 x1x3例 已知x,y,zR，且xyz1，求

149xyz的最小值。

解：设0，故有xyz10。

3

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914914914xyz1xyz xyzxyzxyz24612。当且仅当

149x,y,z同时成立时上xyzxyz1，解得36，此时

述不等式取“=”，即

x1,y2,z3，代入

1491236，故xyz例 若正实数x，y 满足xy______） 答案：18

解：因为x>0，y>0 ，所以xy的最小值为36。

2xy6 ，则

xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为

2xy622xy6，

xy22xy60，解得xy32或xy（舍）2等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。 变式答案：12

解：因为x>0，y>0 ，所以xy12xy22xy6()

22整理得(2x y)28(2xy)480，解得2xy12或2xy4(舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。 例 若对任意x答案：a0，

xa恒成立，则a的取值范围是 。 2x3x11 5解：因为x1，所以有 2（当且仅当x=1时取等号）

xx111x112，即的最大值为，故。 a1x3x1x323525x3x15x0，所以x

4