初二数学动点问题练习(1)

动点问题练习题

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形

MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

C Q P B

A M N

2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．动点

M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． A D N

B C

M

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，

点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．

y (1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ B C (2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式， 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？ N 若有最小值，最小值是多少？

A (3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？ O M 若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

x

2、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？

（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

A 3、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、

P OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC

平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。

D (1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值； y C Q (2)求直线BC的解析式；

B (3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。

①当0＜t≤45时，试求出m的取值范围； P ②当t＞45时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

4、在ABC中，

O C A B x CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分

别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y(cm)，求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当x为何值时，EDQ为直角三角形。

A2EPBQDC

5

43)，点B在x正半轴上，且6、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，∠ABO30．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动

时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

y y

A P A

C E

O M O N B x D B x

（图1） （图2）

等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； 因为△PMN为等边三角形，所以：∠MPN=∠PNM=60° 而，∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30° 所以，∠NPB=30° 所以，∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90° 即，MP⊥AB 亦即，△MPB为直角三角形 又，PM=MN=PN=BN 所以，N为Rt△MPB中点 所以，PM=MN=PN=BM/2 当AP=√3t时，PB=8√3-√3t=√3*(8-t) 那么，在Rt△MPB中，MBP=30° 所以，BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t) 所以，PM=NM=PN=BM/2=(8-t) 当M与O重合时，Rt△PMB即为Rt△PBO 此时，PM=PO=BO/2=6 所以：8-t=6 t=2 （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。 如图，设PM交CE于F，交AO于H；PN交CE于G 由（2）知，当t=2时，M与O重合 而，当t=1时，PM经过点E 所以，当0≤t≤1时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE 而，当1≤t≤2时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分 过点P作AO的垂线，垂足为Q；作CE的垂线，垂足为S 因为D是BO中点，所以：C、E分别为AB、AO中点 所以，点C(6,2√3) 因为PQ//CE//BO 所以：AP/AC=PQ/CE 即：(√3t)/(4√3)=PQ/6 所以，PQ=3t/2 所以，由勾股定理有：AQ=√3t/2 所以，QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2) 因为CE//BO，所以：△PFG∽△PMN 即，△PFG也为等边三角形 而，PS⊥FG 所以，S为FG中点 且∠GPC=∠GCP=30° 所以，PG=GC 那么，FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t 而，CE=OD=6 所以，EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6 所以：EF=2t-2 所以，EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2 而，在Rt△EFH中，∠EHF=30° 所以，EH=(√3)EF 所以，Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t-1)^2 由（1）知，BN=PN=8-t 所以，ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t 所以，直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2 =[(t+2+4+t)*2√3]/2 =2√3(t+3) 所以，阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2] =(2√3)[(t+3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2+3t+2) 因为1≤t≤2，所以，

二次函数-t^2+3t+2有最大值 则，当t=-b/2a=3/2时： Smax=17/4

7、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF

在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y． （1）如图2，求当x=

1时，y的值是多少？ 2（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值； （3）求y与x之间的函数关系式；

8、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A,D1,D2,B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.

（1）当AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；

（2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原ABC面积的

1？若不存在，请说明理由. 4 A

CC1C2C1PFED1C2DBAD1D2BA图1

D2B图2 图3

1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：

（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？ （3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？

PAD（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

BQC2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点

P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C 开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时 出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

3. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，ADBC5cm,AB=12 cm,CD=6cm , 点P从

A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm

的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。 （1）求证：当t=

3时，四边形APQD是平行四边形； 2Q （2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；

（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，

D C B

P

A 过O作直线MN//BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于F。 （1）求让：EOFO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

AE6

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且=，求B的大小。

BC2 A

M O F N

E

B C D

5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠

部分⊿AFC的面积. D' AB F

CD

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、

A F D BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。

（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。

P （2）PE是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，

E 其面积最小，最大？各是多少？

B Q C

7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G. ⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；

⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

AD

O

F

G

C BE 图10如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知

AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，

O 是△EFG斜边上的中点．

如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC ?

（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456

或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）

A

P10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

QBC2

（2）设四边形APQC的面积为y（cm），求y与t的 关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；