一、单项选择题:(每题2分,共14分)
1.同时掷两颗骰子,出现的点数之和为10的概率为( B ) A.
1157 B. C. D. 41212122.设A,B为相互的随机事件,则下列正确的是( D ) A. P(B|A)P(A|B) B.P(B|A)P(A) C. P(A|B)P(B) D. P(AB)P(A)P(B)
3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不可能服从( A ) A.二项分布 B.泊松分布 C.指数分布 D.正态分布
4. 设X服从正态分布N(2,4),Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y相互,则
D(2XY) C . A.14 B.16 C.18 D.20
5.设X与Y是任意两个连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),则 D B .
A.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B.
1(f1(x)f2(x))必为某一随机变量的概率密度 2 C. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 D. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 6. 设X1,X2,,Xn是总体X的简单随机样本,D(X)2,记
1n1n2XXi,S(XiX)2,则下列正确的是C ni1n1i1A.S是的无偏估计量 C.S2是2的无偏估计量
B.S是的极大似然估计量
D.S与X
7. 假设检验时,当样本容量一定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯第二类错误的概率( B ).
A.变小 B.变大 C.不变 D.不确定
二、填空题:(每题2分,共16分)
1.已知P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.6,则P(AB) 0.3 2.在三次试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于
19,则27事件A在一次试验中出现的概率为 三分之一
3. 若X~N(1,4),Y~N(1,3)且X与Y,则XY~ (1,7)
4. 设X和Y是两个相互且服从同一分布的连续型随机变量,则P{XY} 0.5 .
5. 设随机变量X的分布未知,E(X),D(X)2,则利用切比雪夫不等式可估计
P(|X|2)
6. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~b(m,p)的样本,p为未知参数,则参数p的矩估计量是 X1+X2+„„Xn/nm
7. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本,,2为未知参数,则检验假设
H0:0的检验统计量是 8. 设随机变量X和Y都服从正态分布N(0,32),X1,,X9和Y1,,Y9分别是来自于总体
X和总体Y的样本,且两样本相互.则统计量UX1X9YY2129服从 t 分布,
参数为 2
三、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取出一箱,而顾客开箱随意查看其中的4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。设Ai{箱中恰好有i只残次品},i0,1,2,B{顾客买下该箱玻璃杯}。试求 (1)P(B|Ai),i0,1,2;
(2)顾客买下该箱的概率P(B);
(3)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率。(12分)
四、设连续型随机变量X的分布函数为
x2 F(x)abe,x0
0,x02(1)求常数a和b;
(2)求随机变量X的概率密度函数.(6分)
五、设相互的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为
X 0 0.5 1 0.5 Pk 试分别求随机变量Z1max{X,Y}和Z2min{X,Y}的分布律. (6分)
六、设随机变量(X,Y)的概率密度为
4xy,0x1,0y1 f(x,y)
其它0,试求E(X),D(X)X与Y的协方差cov(X,Y)和相关系数XY。(10分)
七、某单位自学考试有2100人报名,该单位所有考场中仅有1512个座位,据以往经验报名的每个人参加考试的概率为0.7,且个人是否参加考试彼此。(1)求参加考试人数X的的概率分布;(2)用中心极限定理求考试时会有考生没有座位的概率。((2)0.97725)(8分)
八、设X1,,Xn是来自总体X的一个样本,X的概率密度为
x1f(x,)0,,0x1,, 其中0为未知参数;
其他试求的矩估计量和极大似然估计量。(10分)
九、某种零件的椭圆度服从正态分布,改变工艺前抽取16件,测得数据并算得x0.081,
(1)sx0.025;改变工艺后抽取20件,测得数据并计算得y0.07,sy0.02,问:改变工艺前后,方差有无明显差异;(2)改变工艺前后,均值又无明显差异?(取为
0.05)
(F/2(15,19)2.6171,F/2(19,15)2.7559,t/2(34)2.0322)(14分)
十、证明题(4分)
利用概率论的想法证明:当a0时
12aaex22dx1ea
2模拟试卷一答案
一、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 二、1. 0.3 2. 1/3 3.N(1,7) 4.0.5 5. 31X 6.X 7. t 8. t , 2
m4/n三、解 设Ai表示箱中含有i只残次品,i0,1,2,B表示顾客买下察看的一箱,则由已知
P(A0)0.8,P(A1)P(A2)0.1,
则有(1)P(B|A0)1,P(B|A1)(2)由全概率公式
4C194C204C18412,P(B|A2)
4519C20412P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.810.10.10.943
519i0(3)由贝叶斯公式
3P(A0|B)P(B|A0)P(A0)0.810.85
P(B)0.943四、解 (1)因为连续性随机变量的分布函数是连续函数,故
0F(0)ab,又1F()a,所以a1,b1
xx[1e2]xe2(2)f(x)F(x)022x0
x0五、解 Z1max{X,Y}的可能取值为0,1,且
P{Z10}P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}0.25 P{Z11}1P{Z10}0.75 Z2min{X,Y}的可能取值为0,1,且
P{Z21}P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}0.25 P{Z20}1P{Z21}0.75
六、解 E(X)1122 xf(x,y)dxdy4xydxdy3001122 D(X)E(X)[E(X)] 21811E(X)4x3ydxdy002由对称性 E(Y)2, 311E(XY)22xyf(x,y)dxdy4xydxdy004 9所以cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0,从而XY0
,p0.7二项分布b(2100,0.7),且 七、解 (1)显然X服从参数为n2100E(X)np1470,D(X)np(1p)441
(2)由中心极限定理,所求的概率为
X147015121470P{X1512}1P{X1512}1P1(2)
212110.977250.02275
1八、解 E(X)xf(x)dxxdx01
令
XˆX,解得的矩估计量为1X1 2设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本,则似然函数为
nL()i1n2f(xi,)(x1x2xn)0,1,0xi1,i1,2,,n
其它当0xi1,i1,2,,n时,L()0,并且
nn lnLln(1)lnxi
2i1nlnxidlnLn令 i10
d22解得的极大似然估计值为
ˆ n2lnxii1n2lnXii1n2n2
的极大似然估计量为
ˆ
九、解. 设改变工艺前后的椭圆度分别为x,y,由题意可设x~N(1,1), y~N(2,2). (1)先在显著性水平下0.05检验: H0:12222 H1:122222sx检验统计量为F2,拒绝域为
sy(n1,n1)或FF(n1,n1) 1212122已知n116,n220,F/2(15,19)2.6171,
CFF2sx11F1/2(15,19)0.3629,计算得F21.5625,故F的观察值不在拒
F/2(19,15)2.7559sy绝域中,从而接受原假设,即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异。
(2)在显著性水平0.05下检验假设: H0:120H1:120
由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为
txysw11n1n2
其中 s2w22(n11)sx(n21)syn1n22
拒绝域为C|t|t(n1n22).
2已知t(n1n22)t/2(34)2.0322,计算得|t|0.882.0322,所以接受原假设,即可
2以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异。 十、证明 设X,Y相互且均服从N(0,1),则
P{aXa,aYa}P{X2Y22a2}
11(x2y2)/2而P{aXa,aYa}edxdy22aaaaaae/2x22dx 221P{XY2a}2222x2y22ae2(x2y2)/21dxdy222arre0d02dr1ea
故有
12aaex22dx1ea
模拟试卷二
一、单项选择题:(每题2分,共12分) 1、当A与B互不相容时, P(AB)( )
A、1-P(A) B、1-P(A)-P(B) C、0 D、P(A) P (B) 2、A,B为两事件,则A-B不等于( )
A、AB B、AB C、AAB D、(AB)B
1)1(x23、设随机变量X的概率密度为f(x),则( ) e22A、X服从指数分布 B、EX1 C、DX1 D、P(X0)0.5
4、在相同条件下,相互地进行5次射击,每次射击时命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X的概率分布为( )
A、二项分布b(5,0.6) B、参数为5的泊松分布 C、均匀分布U[0.6, 5] D、正态分布N(3,52)
5、设X服从N0,2,则服从自由度为n1的t分布的随机变量是( ) A、
nXnXnX B、 C、2 SSS D、nX S26、设总体X~N,2,其中已知,2未知,X1,X2,X3取自总体X的一个样本,则下列选项中不是统计量的是( )
112X32) A、(X1X2X3) B、2(X12X23C、X12 D、max{X1,X2,X3} 二、填空题:(每题3分,共18分)
1、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”,可以表示为 。 2、随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率。
3、某校一次英语测验,及格率80%,则一个班(50人)中,不及格的人数
X服从 分布,EX= DX= 。
4、设样本X1,X2,,Xn来自N,2且2已知, 则对检验H0:35,采用的统计量是 _________。
1n5、设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本,若XXi且EX,DX2,则EX
ni1__________,DX __________。
6、设随机变量X的数学期望为EXu,方差DX2,则由切比雪夫不等式有
PXu2__________。
三、已知P(A)a,P(B)b,P(AB)0.7a,其中ab0且b0.3a,求: P(AB)和(5分) P(AB)。
四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材,数量(株)之比为7:3:5,甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%,24%,18%,若从该公司收购的药材中任取一株,如果取到的药材是优等品,求它恰好是从乙地收购来的概率是多少?(7分)
a(1x2),1x1五、设连续型随机变量X的概率密度函数f(x),求:⑴ 常数;
0,其它⑵ P(X); ⑶ X的分布函数F(x); ⑷ 期望EX,方差DX。(12分) 六、设二维随机变量X,Y的联合概率密度为
3x4y,Aepx,y0,12x0,y0其它
(1)确定A的值;(2)求P0X1,0Y2(8分)
七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5,求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.((1.33)0.9082) (8分)
八、设X1,X2,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本,总体X的概率密度函数为
x1e,x0,0p(x,)0, 其他
试用极大似然法估计总体的未知参数.(10分)
902,某商场欲购进一批该产品,九、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布N,生产厂家提供的资料称,平均寿命为5000小时,现从成品中随机抽取5台测试,得数据
5120 5030 4940 5000 5010
(1)若方差没有变化,问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗?(其中0.05,(1.96)0.975,(1.)0.95).
2(2)根据抽测的数据, 判断方差是否有改变?(其中0.05,0.025(4)11.143
20.975(4)0.484) (14分)
ˆ1X1十、证明题:(6分) 设X1,X2,X3是来自总体X的样本, ˆ2X1X213342511X2X3,1021ˆ1,ˆ2都是总X数学期望的无偏估计量;ˆ1比ˆ2(1)(2)X3证明:
12更有效。
模拟试卷二答案
一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B
二、1.ABBCAC 2. {Xx} 3.B(50,0.2),10,8 4.UX35
n125., 6.
4n三、 P(AB)P(B)P(AB)b0.7a,
)P(AA)B(P)A P(ABP(AB)0.3a,
(P,A B
P(AB)P(AB)1P(AB)1 0.3a四、设A1,A2,A3分别表示甲,乙,丙地药材,B表示优等品,则根据贝叶斯公式有
30.24P(A2)P(B|A2)15P(A2|B)30.233
7350.210.240.18P(Ai)P(B|Ai)151515i1五、(1)1113
f(x)dx(1x2)dx(xx3)1,
1134
1315(2)P(X)1(1x2)dx
423220311(3)F(x)(xx3)3241(4)EXx11x1 x13x(1x2)dx0(奇函数且积分区间对称)
14131EX2x2f(x)dxx2(1x2)dx
1451DXEX2(EX)2
5xf(x)dx1六、(1)由概率密度的性质有
px,ydxdyA00e3x4y
edxdyedyA3x0dx4y011A()e3xd(3x)()e4yd(4y)3040 A121可得 A12
(2)设Dx,y0x1,0y2,则
P0X1,0Y2PX,YD
px,ydxdy
D3e3xdx4e4ydy00012e13xd3xe024y
d4y1e31e8七、设 Xi表示第i次炮击命中目标的炮弹数,
由题设,有 EXi4,DXi1.5则100次炮击命中目标的炮弹数 X100
i1,2,,100
Xi1100i,EXEXi1100i400
DXDXi1001.52
i1因 X1,X2,,X100相互,同分布,则由中心极限定理知
XXi近似服从正态分布N400,1001.52
i1100于是 P380X420420400380400
15152021
1521.331
0.81
八、∵ 似然估计函数为L()ei1n1x11nnei1xi
取对数lnL()nln1x
ii1ndlnL()ni1i20 似然方程为
dxn1xx 极大似然估计为ini1902 九、设微波炉的使用寿命为X,则X服从N,(1) H0:5000,H1:5000
在方差不变时,选择U检验法 当H0成立时,有
nUX5000服从N0.1
/n又由0.05,得
0.0251.96
而x151205030494050005010 55020
则
050205000 90/50.49691.96
故 接受H0,拒绝H1
即 认为厂家提供的使用寿命可靠 (2)H0:2902,H1:90
由于期望未知,选择x的检验法
222当H0成立时,有
x2n1s22服从x2n1
又由0.05,n5 得
22x0.025411.143 x0.97540.484
由(1)知x5020
n1s2xix
i15n2xix
i12512050205030502050105020 17000
则x0222217000 9022.099
22由于x0.975 0.4842.099x0.02511.143
故 接受H0,拒绝H1 即:认为方差没有改变。
十、证明:(1)
211211211ˆ1E(X1X2X3)EX1EX2EX3()E510251025102
131131131ˆ2E(X1X2X3)EX1EX2EX3() E341234123412ˆ2都是的无偏估计 ˆ1,(2)
21141121ˆ1D(X1X2X3)DDX1DX2DX3DX
51022510045013119149ˆ2D(X1X2X3)DX1DX2DDX3DX
341291614472ˆ2Dˆ1 Dˆ2更有效 ˆ1比
模拟试卷三
一、填空题(每小题2分,共14分)
1.设A,B为两个相互的事件,P(A)0.3,P(B)0.4,则P(AB) 12.设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AB),则P(AB) 23.若随机变量Y在1,6上服从均匀分布,则方程x2Yx10有实根的概率是 4.设随机变量X服从参数为的泊松分布,则E[(X1)2] 5.设随机变量X与Y相互,X在[0,2]上服从均匀分布,Y服从指数分布,其概率
3e3x,x0密度函数为f(x),记ZX2Y,则DZ
x00,6.随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别1和4,相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{XY6} 7.随机变量X的分布函数为F(x)abarctanx,xR,则a= ,b= 二、单项选择题(每小题2分,共16分)
1.是两个互不相容的事件,P(A)0,P(B)0,则( )一定成立.
A.P(A)1P(B) B.P(AB)0 C.P(AB)1 D.P(AB)0 2. X~N(0,1),Y2X2,则Y~( )
A.N(0,1) B.N(-1,4) C.N(-2,4) D.N(-2,1)
3.连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为(x),F(x),则下列选项中正确的是( )
A.0(x)1 B. P(Xx)F(x) C.P(Xx)F(x) D.P(Xx)(x)
4.(X1,X2,X3)是总体X的样本,则下列E(X)的无偏估计中( )最有效
111122A.X1X2X3 B. X1X2X3
236555111111C.X1X2X3 D.X1X2X3
3334425.检验中,显著性水平表示( )
A.H0为假,但接受H0的假设的概率; B.H0为真,但拒绝H0的假设的概率; C.H0为假,且拒绝H0的假设的概率;
D.可信度
6.X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,X是样本均值,记
1n1n22S(XiX),S2(XiX)2n1i1ni12111222(X),S(X)ii4n1i1ni1,均未知,若提出检验假设H0:0,则选用统计量( )
S32nn
A.TX0X0 B.T S1S2n1n1X0X0C.T D.T
S3S4nn7.X1,X2,,Xn随机变量X与Y满足D(XY)D(XY),则下面叙述正确的是( )
A.X与Y相互 B.X与Y不相关 C.D(Y)0 D.D(X)D(Y)0
8.X1,X2,,Xn是相互的随机变量,且Xi~B(1,p)(i1,2,,n),则下列( )不正确.
n1nA.EXip B.Xi~B(n,p)
i1ni1C.P{aXib}(b)(a)
nnpqnpq三、一批产品分别由甲、乙、丙三个车床加工。其中甲车床加工的占产品总数的25%,乙车床占35%,其余的是丙车床加工的。又甲、乙、丙三个车床在加工时出现次品的概率分别为0.05,0.04,0.02。今从中任取一件,求: (1) 任取一件是次品的概率; (2) 若已知任取的一件是次品,则该次品分别由甲、乙或丙车床加工的概率。(12分)
i1D.P{aXib}(i1nbnp)(anp)
四、设连续型随机变量X的概率密度为
x,0x1,f(x)2x,1x2,
0,其他1求(1)常数 ;(2)X的分布函数F(x);(3)P(1X) (12分)
2
五、设相互的随机变量X,Y的联合分布列为
Y X 1 2 0 1/6 1 1/9 2/9 2 1/18 求:(1)和的值;(2)X、Y的边际分布;(3)X2时Y的条件分布; (4)随机变量Z2XY的分布。(12分)
六、设(X,Y)的概率密度为
24(1x)y,0x1,0yx,求E(X),D(X)。(6分) f(x,y)0,其它七、总体X的分布律为
P{Xx}p(1p)x1 x0,1,2, 其中p是未知参数,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本,求参数p的矩估计量和最大似然估计量。(10分) 八、为研究矽肺患者肺功能的变化情况,某医院对、Ⅱ期矽肺患者各33名测其肺活量,得到期患者的平均数为2710mm,标准差为147mm,Ⅱ期患者的平均数为2830mm,
2标准差为118mm,假定第、Ⅱ期患者的肺活量服从正态分布N(1,12),N(2,2),
2(1)试问在显著性水平0.05下,12与2无显著性差异?(2)问在显著性水平0.05下,1与2有无显著性差异?(12分)
九、某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%.今随意抽查100个索赔户,利用中心极限定理,求其被被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率.(6分)
二、填空题(每小题2分,共14分)
11; 3.0.8; 4.21; 12111; 7.,
2121.0.58; 2.
5.1/3,7/9; 6.
二、单项选择题(每小题2分,共16分) 1.B
2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C
三、解 设Ai={任取的一件是第i台车床加工的},i1(甲车床),i2(乙车床),i3(丙车床);B={任取的一件是次品}。 于是,由题设可知:
P(A1)0.25,P(A2)0.35,P(A3)0.4;
P(B|A1)0.05,P(B|A2)0.04,P(B|A3)0.02
(1)P(B)P(Ai)P(B|Ai)=0.050.250.350.040.40.020.0345
i13„„„„„„„„„„„„(6′)
(2)P(A1|B)P(A1)P(B|A1)0.250.050.3623
P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(8′)
P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.350.050.4058
P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(10′)
P(A3|B)P(A3)P(B|A3)0.400.020.2319
P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(12′)
121四、解: (1)1f(x)dxxdx(2x)dx=x201210(2x122x)11 2„„„„„„„„„„„„(3′)
(2)F(x)P(Xx)f(t)dt „„„„„„„„„„„„(4′)
x由f(x)定义中的分段点x0,x1,x2把(,)分为四个区间:
(,0),[0,1),[1,2),[2,)
因此 当x0时,F(x)f(t)dt0, „„„„„„„„„„„„(5′)
x当0x1时,
F(x)xf(t)dt0f(t)dtf(t)dt0tdt00xx12x 2„„„„„„„„„„„„(6′)
x当1x2时,F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt
011x10tdt(2t)dtx22x1012x01
„„„„„„„„„„„„(7′) 当x2时,
F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt1
012x012x „„„„„„„„„„„„(8′)
即X的的分布函数为
0,x012x,0x12F(x)1x22x1,1x221,x2 „„„„„„„„„„„„(9′)
11(3)P(1X)F()F(1)P(X1)2f(x)dxP(X1)
1221
f(x)dx0f(x)dxf(x)dx01121012011 88 „„„„„„„„„„„„(12′)
11214 五、解:(1)1
6991111P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)()
63611, „„„„„„„„„„„„ (2′)
39X 1 p 2 2/3
Y p 0 1/2 1 1/3 2 1/6 1/3 „„„„„„„„„„„„ (6′)
(3)P(Y0X2)P(X2,Y0)131
P(X2)232P(Y1X2)(4)
Z 0 p 1/18 291191;P(Y2X2) „„„„„„„(9′) 2332361 1/9 2 5/18 3 2/9 4 1/3 3 5„„„„„„„„„„„„ (12′)
六、解:EXxf(x,y)dxdydx24(1x)xydy12(1x)x3dx0001x1„„„„„„„„„„„„ (3′)
EX2x2f(x,y)dxdydx24(1x)x2ydy12(1x)x4dx0001x12 5DXEX2(EX)22321() „„„„„„„„„„„„ (6′) 5525七、设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本,则似然函数为
L(p)p(1p)xi1pn(1p)i1i1nxinn
lnLnlnp(xin)ln(1p)
i1nnxidlnLni1令 0
dpp1pn解得p的极大似然估计值为
ˆp1 x从而的极大似然估计量为
ˆp1 X八、解:因为方差未知,且不知两方差是否相等,所以在0.05下,先检验假设
H0:1222
已知:x12710,S1147
x22830,S2118,n1n233
S1221609Fn(n11,n21)F0.025(32,32)2.04,而21.5522.04
S2139242故接受H0,认为1222。 „„„„„„„„„„„„ (6′) 再检验假设H0:12 由于Sw2(n11)S12(n21)S232216093213924133.29
n1n22t(n1n22)Sw211112t0.025()133.291.96133.29.31 n1n2333333x1x2120.31
故拒绝H0,认为第,期矽肺患者的肺活量有显著差异。 (12′)
九、
解:X~B(100,0.2),EXnp1000.220;DXnp(1p)1000.20.816 (3′)
1420X203020p(14X30)p()„„„„„(6′) 4416(2.5)(1.5)(2.5)(1.5)10.9940.99310.927
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