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概率论数理统计复习测验题

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模拟试卷一

一、单项选择题:(每题2分,共14分)

1.同时掷两颗骰子,出现的点数之和为10的概率为( B ) A.

1157 B. C. D. 41212122.设A,B为相互的随机事件,则下列正确的是( D ) A. P(B|A)P(A|B) B.P(B|A)P(A) C. P(A|B)P(B) D. P(AB)P(A)P(B)

3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不可能服从( A ) A.二项分布 B.泊松分布 C.指数分布 D.正态分布

4. 设X服从正态分布N(2,4),Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y相互,则

D(2XY) C . A.14 B.16 C.18 D.20

5.设X与Y是任意两个连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),则 D B .

A.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B.

1(f1(x)f2(x))必为某一随机变量的概率密度 2 C. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 D. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 6. 设X1,X2,,Xn是总体X的简单随机样本,D(X)2,记

1n1n2XXi,S(XiX)2,则下列正确的是C ni1n1i1A.S是的无偏估计量 C.S2是2的无偏估计量

B.S是的极大似然估计量

D.S与X

7. 假设检验时,当样本容量一定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯第二类错误的概率( B ).

A.变小 B.变大 C.不变 D.不确定

二、填空题:(每题2分,共16分)

1.已知P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.6,则P(AB) 0.3 2.在三次试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于

19,则27事件A在一次试验中出现的概率为 三分之一

3. 若X~N(1,4),Y~N(1,3)且X与Y,则XY~ (1,7)

4. 设X和Y是两个相互且服从同一分布的连续型随机变量,则P{XY} 0.5 .

5. 设随机变量X的分布未知,E(X),D(X)2,则利用切比雪夫不等式可估计

P(|X|2)

6. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~b(m,p)的样本,p为未知参数,则参数p的矩估计量是 X1+X2+„„Xn/nm

7. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本,,2为未知参数,则检验假设

H0:0的检验统计量是 8. 设随机变量X和Y都服从正态分布N(0,32),X1,,X9和Y1,,Y9分别是来自于总体

X和总体Y的样本,且两样本相互.则统计量UX1X9YY2129服从 t 分布,

参数为 2

三、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取出一箱,而顾客开箱随意查看其中的4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。设Ai{箱中恰好有i只残次品},i0,1,2,B{顾客买下该箱玻璃杯}。试求 (1)P(B|Ai),i0,1,2;

(2)顾客买下该箱的概率P(B);

(3)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率。(12分)

四、设连续型随机变量X的分布函数为

x2 F(x)abe,x0

0,x02(1)求常数a和b;

(2)求随机变量X的概率密度函数.(6分)

五、设相互的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为

X 0 0.5 1 0.5 Pk 试分别求随机变量Z1max{X,Y}和Z2min{X,Y}的分布律. (6分)

六、设随机变量(X,Y)的概率密度为

4xy,0x1,0y1 f(x,y)

其它0,试求E(X),D(X)X与Y的协方差cov(X,Y)和相关系数XY。(10分)

七、某单位自学考试有2100人报名,该单位所有考场中仅有1512个座位,据以往经验报名的每个人参加考试的概率为0.7,且个人是否参加考试彼此。(1)求参加考试人数X的的概率分布;(2)用中心极限定理求考试时会有考生没有座位的概率。((2)0.97725)(8分)

八、设X1,,Xn是来自总体X的一个样本,X的概率密度为

x1f(x,)0,,0x1,, 其中0为未知参数;

其他试求的矩估计量和极大似然估计量。(10分)

九、某种零件的椭圆度服从正态分布,改变工艺前抽取16件,测得数据并算得x0.081,

(1)sx0.025;改变工艺后抽取20件,测得数据并计算得y0.07,sy0.02,问:改变工艺前后,方差有无明显差异;(2)改变工艺前后,均值又无明显差异?(取为

0.05)

(F/2(15,19)2.6171,F/2(19,15)2.7559,t/2(34)2.0322)(14分)

十、证明题(4分)

利用概率论的想法证明:当a0时

12aaex22dx1ea

2模拟试卷一答案

一、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 二、1. 0.3 2. 1/3 3.N(1,7) 4.0.5 5. 31X 6.X 7. t 8. t , 2

m4/n三、解 设Ai表示箱中含有i只残次品,i0,1,2,B表示顾客买下察看的一箱,则由已知

P(A0)0.8,P(A1)P(A2)0.1,

则有(1)P(B|A0)1,P(B|A1)(2)由全概率公式

4C194C204C18412,P(B|A2)

4519C20412P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.810.10.10.943

519i0(3)由贝叶斯公式

3P(A0|B)P(B|A0)P(A0)0.810.85

P(B)0.943四、解 (1)因为连续性随机变量的分布函数是连续函数,故

0F(0)ab,又1F()a,所以a1,b1

xx[1e2]xe2(2)f(x)F(x)022x0

x0五、解 Z1max{X,Y}的可能取值为0,1,且

P{Z10}P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}0.25 P{Z11}1P{Z10}0.75 Z2min{X,Y}的可能取值为0,1,且

P{Z21}P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}0.25 P{Z20}1P{Z21}0.75

六、解 E(X)1122 xf(x,y)dxdy4xydxdy3001122 D(X)E(X)[E(X)] 21811E(X)4x3ydxdy002由对称性 E(Y)2, 311E(XY)22xyf(x,y)dxdy4xydxdy004 9所以cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0,从而XY0

,p0.7二项分布b(2100,0.7),且 七、解 (1)显然X服从参数为n2100E(X)np1470,D(X)np(1p)441

(2)由中心极限定理,所求的概率为

X147015121470P{X1512}1P{X1512}1P1(2)

212110.977250.02275

1八、解 E(X)xf(x)dxxdx01

XˆX,解得的矩估计量为1X1 2设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本,则似然函数为

nL()i1n2f(xi,)(x1x2xn)0,1,0xi1,i1,2,,n

其它当0xi1,i1,2,,n时,L()0,并且

nn lnLln(1)lnxi

2i1nlnxidlnLn令 i10

d22解得的极大似然估计值为

ˆ n2lnxii1n2lnXii1n2n2

的极大似然估计量为

ˆ 

九、解. 设改变工艺前后的椭圆度分别为x,y,由题意可设x~N(1,1), y~N(2,2). (1)先在显著性水平下0.05检验: H0:12222 H1:122222sx检验统计量为F2,拒绝域为

sy(n1,n1)或FF(n1,n1) 1212122已知n116,n220,F/2(15,19)2.6171,

CFF2sx11F1/2(15,19)0.3629,计算得F21.5625,故F的观察值不在拒

F/2(19,15)2.7559sy绝域中,从而接受原假设,即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异。

(2)在显著性水平0.05下检验假设: H0:120H1:120

由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为

txysw11n1n2

其中 s2w22(n11)sx(n21)syn1n22

拒绝域为C|t|t(n1n22).

2已知t(n1n22)t/2(34)2.0322,计算得|t|0.882.0322,所以接受原假设,即可

2以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异。 十、证明 设X,Y相互且均服从N(0,1),则

P{aXa,aYa}P{X2Y22a2}

11(x2y2)/2而P{aXa,aYa}edxdy22aaaaaae/2x22dx 221P{XY2a}2222x2y22ae2(x2y2)/21dxdy222arre0d02dr1ea

故有

12aaex22dx1ea

模拟试卷二

一、单项选择题:(每题2分,共12分) 1、当A与B互不相容时, P(AB)( )

A、1-P(A) B、1-P(A)-P(B) C、0 D、P(A) P (B) 2、A,B为两事件,则A-B不等于( )

A、AB B、AB C、AAB D、(AB)B

1)1(x23、设随机变量X的概率密度为f(x),则( ) e22A、X服从指数分布 B、EX1 C、DX1 D、P(X0)0.5

4、在相同条件下,相互地进行5次射击,每次射击时命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X的概率分布为( )

A、二项分布b(5,0.6) B、参数为5的泊松分布 C、均匀分布U[0.6, 5] D、正态分布N(3,52)

5、设X服从N0,2,则服从自由度为n1的t分布的随机变量是( ) A、

nXnXnX B、 C、2 SSS D、nX S26、设总体X~N,2,其中已知,2未知,X1,X2,X3取自总体X的一个样本,则下列选项中不是统计量的是( )

112X32) A、(X1X2X3) B、2(X12X23C、X12 D、max{X1,X2,X3} 二、填空题:(每题3分,共18分)

1、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”,可以表示为 。 2、随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率。

3、某校一次英语测验,及格率80%,则一个班(50人)中,不及格的人数

X服从 分布,EX= DX= 。

4、设样本X1,X2,,Xn来自N,2且2已知, 则对检验H0:35,采用的统计量是 _________。

1n5、设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本,若XXi且EX,DX2,则EX

ni1__________,DX __________。

6、设随机变量X的数学期望为EXu,方差DX2,则由切比雪夫不等式有

PXu2__________。

三、已知P(A)a,P(B)b,P(AB)0.7a,其中ab0且b0.3a,求: P(AB)和(5分) P(AB)。

四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材,数量(株)之比为7:3:5,甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%,24%,18%,若从该公司收购的药材中任取一株,如果取到的药材是优等品,求它恰好是从乙地收购来的概率是多少?(7分)

a(1x2),1x1五、设连续型随机变量X的概率密度函数f(x),求:⑴ 常数;

0,其它⑵ P(X); ⑶ X的分布函数F(x); ⑷ 期望EX,方差DX。(12分) 六、设二维随机变量X,Y的联合概率密度为

3x4y,Aepx,y0,12x0,y0其它

(1)确定A的值;(2)求P0X1,0Y2(8分)

七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4,标准差是1.5,求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.((1.33)0.9082) (8分)

八、设X1,X2,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本,总体X的概率密度函数为

x1e,x0,0p(x,)0, 其他

试用极大似然法估计总体的未知参数.(10分)

902,某商场欲购进一批该产品,九、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布N,生产厂家提供的资料称,平均寿命为5000小时,现从成品中随机抽取5台测试,得数据

5120 5030 4940 5000 5010

(1)若方差没有变化,问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗?(其中0.05,(1.96)0.975,(1.)0.95).

2(2)根据抽测的数据, 判断方差是否有改变?(其中0.05,0.025(4)11.143

20.975(4)0.484) (14分)

ˆ1X1十、证明题:(6分) 设X1,X2,X3是来自总体X的样本, ˆ2X1X213342511X2X3,1021ˆ1,ˆ2都是总X数学期望的无偏估计量;ˆ1比ˆ2(1)(2)X3证明:

12更有效。

模拟试卷二答案

一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B

二、1.ABBCAC 2. {Xx} 3.B(50,0.2),10,8 4.UX35

n125., 6.

4n三、 P(AB)P(B)P(AB)b0.7a,

)P(AA)B(P)A P(ABP(AB)0.3a,

(P,A B

P(AB)P(AB)1P(AB)1 0.3a四、设A1,A2,A3分别表示甲,乙,丙地药材,B表示优等品,则根据贝叶斯公式有

30.24P(A2)P(B|A2)15P(A2|B)30.233

7350.210.240.18P(Ai)P(B|Ai)151515i1五、(1)1113

f(x)dx(1x2)dx(xx3)1,

1134

1315(2)P(X)1(1x2)dx

423220311(3)F(x)(xx3)3241(4)EXx11x1 x13x(1x2)dx0(奇函数且积分区间对称)

14131EX2x2f(x)dxx2(1x2)dx

1451DXEX2(EX)2

5xf(x)dx1六、(1)由概率密度的性质有

px,ydxdyA00e3x4y

edxdyedyA3x0dx4y011A()e3xd(3x)()e4yd(4y)3040 A121可得 A12

(2)设Dx,y0x1,0y2,则

P0X1,0Y2PX,YD

px,ydxdy

D3e3xdx4e4ydy00012e13xd3xe024y

d4y1e31e8七、设 Xi表示第i次炮击命中目标的炮弹数,

由题设,有 EXi4,DXi1.5则100次炮击命中目标的炮弹数 X100

i1,2,,100

Xi1100i,EXEXi1100i400

DXDXi1001.52

i1因 X1,X2,,X100相互,同分布,则由中心极限定理知

XXi近似服从正态分布N400,1001.52

i1100于是 P380X420420400380400

15152021

1521.331

0.81

八、∵ 似然估计函数为L()ei1n1x11nnei1xi

取对数lnL()nln1x

ii1ndlnL()ni1i20 似然方程为

dxn1xx 极大似然估计为ini1902 九、设微波炉的使用寿命为X,则X服从N,(1) H0:5000,H1:5000

在方差不变时,选择U检验法 当H0成立时,有

nUX5000服从N0.1

/n又由0.05,得

0.0251.96

而x151205030494050005010 55020

050205000 90/50.49691.96

故 接受H0,拒绝H1

即 认为厂家提供的使用寿命可靠 (2)H0:2902,H1:90

由于期望未知,选择x的检验法

222当H0成立时,有

x2n1s22服从x2n1

又由0.05,n5 得

22x0.025411.143 x0.97540.484

由(1)知x5020

n1s2xix

i15n2xix

i12512050205030502050105020 17000

则x0222217000 9022.099

22由于x0.975 0.4842.099x0.02511.143

故 接受H0,拒绝H1 即:认为方差没有改变。

十、证明:(1)

211211211ˆ1E(X1X2X3)EX1EX2EX3()E510251025102

131131131ˆ2E(X1X2X3)EX1EX2EX3() E341234123412ˆ2都是的无偏估计 ˆ1,(2)

21141121ˆ1D(X1X2X3)DDX1DX2DX3DX

51022510045013119149ˆ2D(X1X2X3)DX1DX2DDX3DX

341291614472ˆ2Dˆ1 Dˆ2更有效 ˆ1比

模拟试卷三

一、填空题(每小题2分,共14分)

1.设A,B为两个相互的事件,P(A)0.3,P(B)0.4,则P(AB) 12.设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AB),则P(AB) 23.若随机变量Y在1,6上服从均匀分布,则方程x2Yx10有实根的概率是 4.设随机变量X服从参数为的泊松分布,则E[(X1)2] 5.设随机变量X与Y相互,X在[0,2]上服从均匀分布,Y服从指数分布,其概率

3e3x,x0密度函数为f(x),记ZX2Y,则DZ

x00,6.随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别1和4,相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{XY6} 7.随机变量X的分布函数为F(x)abarctanx,xR,则a= ,b= 二、单项选择题(每小题2分,共16分)

1.是两个互不相容的事件,P(A)0,P(B)0,则( )一定成立.

A.P(A)1P(B) B.P(AB)0 C.P(AB)1 D.P(AB)0 2. X~N(0,1),Y2X2,则Y~( )

A.N(0,1) B.N(-1,4) C.N(-2,4) D.N(-2,1)

3.连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为(x),F(x),则下列选项中正确的是( )

A.0(x)1 B. P(Xx)F(x) C.P(Xx)F(x) D.P(Xx)(x)

4.(X1,X2,X3)是总体X的样本,则下列E(X)的无偏估计中( )最有效

111122A.X1X2X3 B. X1X2X3

236555111111C.X1X2X3 D.X1X2X3

3334425.检验中,显著性水平表示( )

A.H0为假,但接受H0的假设的概率; B.H0为真,但拒绝H0的假设的概率; C.H0为假,且拒绝H0的假设的概率;

D.可信度

6.X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,X是样本均值,记

1n1n22S(XiX),S2(XiX)2n1i1ni12111222(X),S(X)ii4n1i1ni1,均未知,若提出检验假设H0:0,则选用统计量( )

S32nn

A.TX0X0 B.T S1S2n1n1X0X0C.T D.T

S3S4nn7.X1,X2,,Xn随机变量X与Y满足D(XY)D(XY),则下面叙述正确的是( )

A.X与Y相互 B.X与Y不相关 C.D(Y)0 D.D(X)D(Y)0

8.X1,X2,,Xn是相互的随机变量,且Xi~B(1,p)(i1,2,,n),则下列( )不正确.

n1nA.EXip B.Xi~B(n,p)

i1ni1C.P{aXib}(b)(a)

nnpqnpq三、一批产品分别由甲、乙、丙三个车床加工。其中甲车床加工的占产品总数的25%,乙车床占35%,其余的是丙车床加工的。又甲、乙、丙三个车床在加工时出现次品的概率分别为0.05,0.04,0.02。今从中任取一件,求: (1) 任取一件是次品的概率; (2) 若已知任取的一件是次品,则该次品分别由甲、乙或丙车床加工的概率。(12分)

i1D.P{aXib}(i1nbnp)(anp)

四、设连续型随机变量X的概率密度为

x,0x1,f(x)2x,1x2,

0,其他1求(1)常数 ;(2)X的分布函数F(x);(3)P(1X) (12分)

2

五、设相互的随机变量X,Y的联合分布列为

Y X 1 2 0 1/6  1 1/9 2/9  2 1/18 求:(1)和的值;(2)X、Y的边际分布;(3)X2时Y的条件分布; (4)随机变量Z2XY的分布。(12分)

六、设(X,Y)的概率密度为

24(1x)y,0x1,0yx,求E(X),D(X)。(6分) f(x,y)0,其它七、总体X的分布律为

P{Xx}p(1p)x1 x0,1,2, 其中p是未知参数,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本,求参数p的矩估计量和最大似然估计量。(10分) 八、为研究矽肺患者肺功能的变化情况,某医院对、Ⅱ期矽肺患者各33名测其肺活量,得到期患者的平均数为2710mm,标准差为147mm,Ⅱ期患者的平均数为2830mm,

2标准差为118mm,假定第、Ⅱ期患者的肺活量服从正态分布N(1,12),N(2,2),

2(1)试问在显著性水平0.05下,12与2无显著性差异?(2)问在显著性水平0.05下,1与2有无显著性差异?(12分)

九、某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%.今随意抽查100个索赔户,利用中心极限定理,求其被被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率.(6分)

二、填空题(每小题2分,共14分)

11; 3.0.8; 4.21; 12111; 7.,

2121.0.58; 2.

5.1/3,7/9; 6.

二、单项选择题(每小题2分,共16分) 1.B

2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C

三、解 设Ai={任取的一件是第i台车床加工的},i1(甲车床),i2(乙车床),i3(丙车床);B={任取的一件是次品}。 于是,由题设可知:

P(A1)0.25,P(A2)0.35,P(A3)0.4;

P(B|A1)0.05,P(B|A2)0.04,P(B|A3)0.02

(1)P(B)P(Ai)P(B|Ai)=0.050.250.350.040.40.020.0345

i13„„„„„„„„„„„„(6′)

(2)P(A1|B)P(A1)P(B|A1)0.250.050.3623

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(8′)

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.350.050.4058

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(10′)

P(A3|B)P(A3)P(B|A3)0.400.020.2319

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(12′)

121四、解: (1)1f(x)dxxdx(2x)dx=x201210(2x122x)11 2„„„„„„„„„„„„(3′)

(2)F(x)P(Xx)f(t)dt „„„„„„„„„„„„(4′)

x由f(x)定义中的分段点x0,x1,x2把(,)分为四个区间:

(,0),[0,1),[1,2),[2,)

因此 当x0时,F(x)f(t)dt0, „„„„„„„„„„„„(5′)

x当0x1时,

F(x)xf(t)dt0f(t)dtf(t)dt0tdt00xx12x 2„„„„„„„„„„„„(6′)

x当1x2时,F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt

011x10tdt(2t)dtx22x1012x01

„„„„„„„„„„„„(7′) 当x2时,

F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt1

012x012x „„„„„„„„„„„„(8′)

即X的的分布函数为

0,x012x,0x12F(x)1x22x1,1x221,x2 „„„„„„„„„„„„(9′)

11(3)P(1X)F()F(1)P(X1)2f(x)dxP(X1)

1221

f(x)dx0f(x)dxf(x)dx01121012011 88 „„„„„„„„„„„„(12′)

11214 五、解:(1)1

6991111P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)()

63611, „„„„„„„„„„„„ (2′)

39X 1 p 2 2/3

Y p 0 1/2 1 1/3 2 1/6 1/3 „„„„„„„„„„„„ (6′)

(3)P(Y0X2)P(X2,Y0)131

P(X2)232P(Y1X2)(4)

Z 0 p 1/18 291191;P(Y2X2) „„„„„„„(9′) 2332361 1/9 2 5/18 3 2/9 4 1/3 3 5„„„„„„„„„„„„ (12′)

六、解:EXxf(x,y)dxdydx24(1x)xydy12(1x)x3dx0001x1„„„„„„„„„„„„ (3′)

EX2x2f(x,y)dxdydx24(1x)x2ydy12(1x)x4dx0001x12 5DXEX2(EX)22321() „„„„„„„„„„„„ (6′) 5525七、设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本,则似然函数为

L(p)p(1p)xi1pn(1p)i1i1nxinn

lnLnlnp(xin)ln(1p)

i1nnxidlnLni1令 0

dpp1pn解得p的极大似然估计值为

ˆp1 x从而的极大似然估计量为

ˆp1 X八、解:因为方差未知,且不知两方差是否相等,所以在0.05下,先检验假设

H0:1222

已知:x12710,S1147

x22830,S2118,n1n233

S1221609Fn(n11,n21)F0.025(32,32)2.04,而21.5522.04

S2139242故接受H0,认为1222。 „„„„„„„„„„„„ (6′) 再检验假设H0:12 由于Sw2(n11)S12(n21)S232216093213924133.29

n1n22t(n1n22)Sw211112t0.025()133.291.96133.29.31 n1n2333333x1x2120.31

故拒绝H0,认为第,期矽肺患者的肺活量有显著差异。 (12′)

九、

解:X~B(100,0.2),EXnp1000.220;DXnp(1p)1000.20.816 (3′)

1420X203020p(14X30)p()„„„„„(6′) 4416(2.5)(1.5)(2.5)(1.5)10.9940.99310.927

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