概率论数理统计复习测验题

一、单项选择题：（每题2分，共14分）

1．同时掷两颗骰子,出现的点数之和为10的概率为( B ) A.

1157 B. C. D. 41212122.设A,B为相互的随机事件,则下列正确的是( D ) A. P(B|A)P(A|B) B.P(B|A)P(A) C. P(A|B)P(B) D. P(AB)P(A)P(B)

3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不可能服从( A ) A.二项分布 B.泊松分布 C.指数分布 D.正态分布

4. 设X服从正态分布N(2,4),Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y相互,则

D(2XY) C . A.14 B.16 C.18 D.20

5．设X与Y是任意两个连续型随机变量,它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),则 D B .

A.f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B.

1(f1(x)f2(x))必为某一随机变量的概率密度 2 C. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 D. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 6. 设X1,X2,,Xn是总体X的简单随机样本,D(X)2,记

1n1n2XXi,S(XiX)2,则下列正确的是C ni1n1i1A.S是的无偏估计量 C.S2是2的无偏估计量

B.S是的极大似然估计量

D.S与X

7. 假设检验时,当样本容量一定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯第二类错误的概率( B ).

A.变小 B.变大 C.不变 D.不确定

二、填空题：（每题2分，共16分）

1.已知P(A)0.4，P(B)0.3，P(AB)0.6，则P(AB) 0.3 2.在三次试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于

19,则27事件A在一次试验中出现的概率为 三分之一

3. 若X~N(1,4)，Y~N(1,3)且X与Y，则XY~ (1,7)

4. 设X和Y是两个相互且服从同一分布的连续型随机变量,则P{XY} 0.5 .

5. 设随机变量X的分布未知，E(X)，D(X)2，则利用切比雪夫不等式可估计

P(|X|2)

6. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~b(m,p)的样本，p为未知参数，则参数p的矩估计量是 X1+X2+„„Xn/nm

7. 设X1,X2,,Xn是来自总体X~N(,2)的样本，,2为未知参数，则检验假设

H0:0的检验统计量是 8. 设随机变量X和Y都服从正态分布N(0,32),X1,,X9和Y1,,Y9分别是来自于总体

X和总体Y的样本,且两样本相互.则统计量UX1X9YY2129服从 t 分布,

参数为 2

三、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾客开箱随意查看其中的4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。设Ai{箱中恰好有i只残次品}，i0,1,2，B{顾客买下该箱玻璃杯}。试求 （1）P(B|Ai)，i0,1,2；

（2）顾客买下该箱的概率P(B)；

（3）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。（12分）

四、设连续型随机变量X的分布函数为

x2 F(x)abe,x0

0,x02(1)求常数a和b;

(2)求随机变量X的概率密度函数.(6分)

五、设相互的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为

X 0 0.5 1 0.5 Pk 试分别求随机变量Z1max{X,Y}和Z2min{X,Y}的分布律. （6分）

六、设随机变量(X,Y)的概率密度为

4xy,0x1,0y1 f(x,y)

其它0,试求E(X),D(X)X与Y的协方差cov(X,Y)和相关系数XY。（10分）

七、某单位自学考试有2100人报名，该单位所有考场中仅有1512个座位，据以往经验报名的每个人参加考试的概率为0.7，且个人是否参加考试彼此。（1）求参加考试人数X的的概率分布；（2）用中心极限定理求考试时会有考生没有座位的概率。（(2)0.97725）（8分）

八、设X1,,Xn是来自总体X的一个样本，X的概率密度为

x1f(x,)0,,0x1,, 其中0为未知参数;

其他试求的矩估计量和极大似然估计量。（10分）

九、某种零件的椭圆度服从正态分布，改变工艺前抽取16件，测得数据并算得x0.081，

（1）sx0.025；改变工艺后抽取20件，测得数据并计算得y0.07，sy0.02，问：改变工艺前后，方差有无明显差异；（2）改变工艺前后，均值又无明显差异？（取为

0.05）

（F/2(15,19)2.6171，F/2(19,15)2.7559，t/2(34)2.0322）（14分）

十、证明题（4分）

利用概率论的想法证明:当a0时

12aaex22dx1ea

2模拟试卷一答案

一、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 二、1. 0.3 2. 1/3 3.N(1,7) 4.0.5 5. 31X 6.X 7. t 8. t , 2

m4/n三、解 设Ai表示箱中含有i只残次品，i0,1,2，B表示顾客买下察看的一箱，则由已知

P(A0)0.8,P(A1)P(A2)0.1，

则有（1）P(B|A0)1,P(B|A1)（2）由全概率公式

4C194C204C18412,P(B|A2)

4519C20412P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.810.10.10.943

519i0（3）由贝叶斯公式

3P(A0|B)P(B|A0)P(A0)0.810.85

P(B)0.943四、解 （1）因为连续性随机变量的分布函数是连续函数，故

0F(0)ab，又1F()a，所以a1,b1

xx[1e2]xe2（2）f(x)F(x)022x0

x0五、解 Z1max{X,Y}的可能取值为0，1，且

P{Z10}P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}0.25 P{Z11}1P{Z10}0.75 Z2min{X,Y}的可能取值为0，1，且

P{Z21}P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}0.25 P{Z20}1P{Z21}0.75

六、解 E(X)1122 xf(x,y)dxdy4xydxdy3001122 D(X)E(X)[E(X)] 21811E(X)4x3ydxdy002由对称性 E(Y)2， 311E(XY)22xyf(x,y)dxdy4xydxdy004 9所以cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0，从而XY0

,p0.7二项分布b(2100,0.7)，且 七、解 （1）显然X服从参数为n2100E(X)np1470，D(X)np(1p)441

（2）由中心极限定理，所求的概率为

X147015121470P{X1512}1P{X1512}1P1(2)

212110.977250.02275

1八、解 E(X)xf(x)dxxdx01

令

XˆX，解得的矩估计量为1X1 2设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本，则似然函数为

nL()i1n2f(xi,)(x1x2xn)0,1,0xi1,i1,2,,n

其它当0xi1,i1,2,,n时,L()0,并且

nn lnLln(1)lnxi

2i1nlnxidlnLn令 i10

d22解得的极大似然估计值为

ˆ n2lnxii1n2lnXii1n2n2

的极大似然估计量为

ˆ 

九、解. 设改变工艺前后的椭圆度分别为x,y,由题意可设x~N(1,1), y~N(2,2). (1)先在显著性水平下0.05检验: H0:12222 H1:122222sx检验统计量为F2,拒绝域为

sy(n1,n1)或FF(n1,n1) 1212122已知n116，n220，F/2(15,19)2.6171，

CFF2sx11F1/2(15,19)0.3629，计算得F21.5625，故F的观察值不在拒

F/2(19,15)2.7559sy绝域中，从而接受原假设，即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异。

（2）在显著性水平0.05下检验假设: H0:120H1:120

由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为

txysw11n1n2

其中 s2w22(n11)sx(n21)syn1n22

拒绝域为C|t|t(n1n22).

2已知t(n1n22)t/2(34)2.0322，计算得|t|0.882.0322，所以接受原假设，即可

2以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异。 十、证明 设X,Y相互且均服从N(0,1)，则

P{aXa,aYa}P{X2Y22a2}

11(x2y2)/2而P{aXa,aYa}edxdy22aaaaaae/2x22dx 221P{XY2a}2222x2y22ae2(x2y2)/21dxdy222arre0d02dr1ea

故有

12aaex22dx1ea

模拟试卷二

一、单项选择题：（每题2分，共12分） 1、当A与B互不相容时， P(AB)（ ）

A、1－P(A) B、1－P(A)－P(B) C、0 D、P(A) P (B) 2、A，B为两事件，则A－B不等于（ ）

A、AB B、AB C、AAB D、(AB)B

1)1(x23、设随机变量X的概率密度为f(x)，则（ ） e22A、X服从指数分布 B、EX1 C、DX1 D、P(X0)0.5

4、在相同条件下，相互地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为0.6，则击中目标的次数X的概率分布为（ ）

A、二项分布b（5,0.6） B、参数为5的泊松分布 C、均匀分布U[0.6, 5] D、正态分布N（3,52）

5、设X服从N0，2，则服从自由度为n1的t分布的随机变量是（ ） A、

nXnXnX B、 C、2 SSS D、nX S26、设总体X~N,2，其中已知，2未知，X1,X2,X3取自总体X的一个样本，则下列选项中不是统计量的是（ ）

112X32) A、（X1X2X3） B、2(X12X23C、X12 D、max{X1,X2,X3} 二、填空题：（每题3分，共18分）

1、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”，可以表示为 。 2、随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率。

3、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数

X服从 分布，EX= DX= 。

4、设样本X1，X2，，Xn来自N，2且2已知， 则对检验H0:35，采用的统计量是 _________。

1n5、设X1，X2，，Xn为总体X的一个样本，若XXi且EX，DX2，则EX

ni1__________，DX __________。

6、设随机变量X的数学期望为EXu,方差DX2，则由切比雪夫不等式有

PXu2__________。

三、已知P(A)a,P(B)b，P(AB)0.7a，其中ab0且b0.3a，求： P(AB)和（5分） P(AB)。

四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为7:3:5，甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？（7分）

a(1x2),1x1五、设连续型随机变量X的概率密度函数f(x)，求：⑴ 常数；

0,其它⑵ P(X)； ⑶ X的分布函数F(x)； ⑷ 期望EX，方差DX。（12分） 六、设二维随机变量X，Y的联合概率密度为

3x4y，Aepx，y0，12x0，y0其它

（1）确定A的值；（2）求P0X1，0Y2（8分）

七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5，求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.（(1.33)0.9082） （8分）

八、设X1,X2,Xn是从总体X中抽得的一个简单随机样本，总体X的概率密度函数为

x1e,x0,0p(x,)0, 其他

试用极大似然法估计总体的未知参数.（10分）

902，某商场欲购进一批该产品，九、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布N，生产厂家提供的资料称，平均寿命为5000小时，现从成品中随机抽取5台测试，得数据

5120 5030 4940 5000 5010

（1）若方差没有变化，问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗?(其中0.05，(1.96)0.975,(1.)0.95).

2（2）根据抽测的数据, 判断方差是否有改变？(其中0.05，0.025(4)11.143

20.975(4)0.484) (14分)

ˆ1X1十、证明题：（6分） 设X1,X2,X3是来自总体X的样本， ˆ2X1X213342511X2X3，1021ˆ1，ˆ2都是总X数学期望的无偏估计量；ˆ1比ˆ2（1）（2）X3证明：

12更有效。

模拟试卷二答案

一、1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B

二、1．ABBCAC 2． {Xx} 3．B(50,0.2)，10，8 4．UX35

n125．， 6．

4n三、 P(AB)P(B)P(AB)b0.7a，

)P(AA)B(P)A P(ABP(AB)0.3a，

(P，A B

P(AB)P(AB)1P(AB)1 0.3a四、设A1,A2,A3分别表示甲，乙，丙地药材，B表示优等品，则根据贝叶斯公式有

30.24P(A2)P(B|A2)15P(A2|B)30.233

7350.210.240.18P(Ai)P(B|Ai)151515i1五、（1）1113

f(x)dx(1x2)dx(xx3)1，

1134

1315（2）P(X)1(1x2)dx

423220311（3）F(x)(xx3)3241（4）EXx11x1 x13x(1x2)dx0（奇函数且积分区间对称）

14131EX2x2f(x)dxx2(1x2)dx

1451DXEX2(EX)2

5xf(x)dx1六、（1）由概率密度的性质有

px，ydxdyA00e3x4y

edxdyedyA3x0dx4y011A()e3xd(3x)()e4yd(4y)3040 A121可得 A12

（2）设Dx，y0x1，0y2，则

P0X1，0Y2PX，YD

px，ydxdy

D3e3xdx4e4ydy00012e13xd3xe024y

d4y1e31e8七、设 Xi表示第i次炮击命中目标的炮弹数，

由题设，有 EXi4，DXi1.5则100次炮击命中目标的炮弹数 X100

i1，2，，100

Xi1100i，EXEXi1100i400

DXDXi1001.52

i1因 X1，X2，，X100相互，同分布，则由中心极限定理知

XXi近似服从正态分布N400，1001.52

i1100于是 P380X420420400380400

15152021

1521.331

0.81

八、∵ 似然估计函数为L()ei1n1x11nnei1xi

取对数lnL()nln1x

ii1ndlnL()ni1i20 似然方程为

dxn1xx 极大似然估计为ini1902 九、设微波炉的使用寿命为X，则X服从N，（1） H0：5000，H1：5000

在方差不变时，选择U检验法 当H0成立时，有

nUX5000服从N0.1

/n又由0.05，得

0.0251.96

而x151205030494050005010 55020

则

050205000 90/50.49691.96

故 接受H0，拒绝H1

即 认为厂家提供的使用寿命可靠 （2）H0：2902，H1：90

由于期望未知，选择x的检验法

222当H0成立时，有

x2n1s22服从x2n1

又由0.05，n5 得

22x0.025411.143 x0.97540.484

由（1）知x5020

n1s2xix

i15n2xix

i12512050205030502050105020 17000

则x0222217000 9022.099

22由于x0.975 0.4842.099x0.02511.143

故 接受H0，拒绝H1 即：认为方差没有改变。

十、证明：（1）

211211211ˆ1E(X1X2X3)EX1EX2EX3()E510251025102

131131131ˆ2E(X1X2X3)EX1EX2EX3() E341234123412ˆ2都是的无偏估计 ˆ1，（2）

21141121ˆ1D(X1X2X3)DDX1DX2DX3DX

51022510045013119149ˆ2D(X1X2X3)DX1DX2DDX3DX

341291614472ˆ2Dˆ1 Dˆ2更有效 ˆ1比

模拟试卷三

一、填空题（每小题2分，共14分）

1．设A,B为两个相互的事件，P(A)0.3，P(B)0.4，则P(AB) 12．设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AB),则P(AB) 23．若随机变量Y在1,6上服从均匀分布,则方程x2Yx10有实根的概率是 4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则E[(X1)2] 5．设随机变量X与Y相互，X在[0,2]上服从均匀分布，Y服从指数分布，其概率

3e3x,x0密度函数为f(x)，记ZX2Y，则DZ

x00,6．随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2，方差分别1和4，相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有P{XY6} 7．随机变量X的分布函数为F(x)abarctanx,xR,则a= ，b= 二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1．是两个互不相容的事件,P(A)0,P(B)0,则( )一定成立.

A．P(A)1P(B) B．P(AB)0 C．P(AB)1 D．P(AB)0 2． X~N(0,1),Y2X2，则Y~( )

A．N(0,1) B．N(-1,4) C．N(-2,4) D．N(-2,1)

3．连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为(x),F(x),则下列选项中正确的是( )

A．0(x)1 B． P(Xx)F(x) C．P(Xx)F(x) D．P(Xx)(x)

4．(X1,X2,X3)是总体X的样本,则下列E(X)的无偏估计中( )最有效

111122A．X1X2X3 B． X1X2X3

236555111111C．X1X2X3 D．X1X2X3

3334425．检验中,显著性水平表示( )

A．H0为假，但接受H0的假设的概率； B．H0为真，但拒绝H0的假设的概率； C．H0为假，且拒绝H0的假设的概率；

D．可信度

6．X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n22S(XiX),S2(XiX)2n1i1ni12111222(X),S(X)ii4n1i1ni1,均未知，若提出检验假设H0:0，则选用统计量( )

S32nn

A．TX0X0 B．T S1S2n1n1X0X0C．T D．T

S3S4nn7．X1,X2,,Xn随机变量X与Y满足D(XY)D(XY)，则下面叙述正确的是( )

A．X与Y相互 B．X与Y不相关 C．D(Y)0 D．D(X)D(Y)0

8．X1,X2,,Xn是相互的随机变量,且Xi~B(1,p)(i1,2,,n)，则下列( )不正确.

n1nA．EXip B．Xi~B(n,p)

i1ni1C．P{aXib}(b)(a)

nnpqnpq三、一批产品分别由甲、乙、丙三个车床加工。其中甲车床加工的占产品总数的25%，乙车床占35%，其余的是丙车床加工的。又甲、乙、丙三个车床在加工时出现次品的概率分别为0.05，0.04，0.02。今从中任取一件，求： （1） 任取一件是次品的概率； （2） 若已知任取的一件是次品，则该次品分别由甲、乙或丙车床加工的概率。(12分)

i1D．P{aXib}(i1nbnp)(anp)

四、设连续型随机变量X的概率密度为

x,0x1,f(x)2x,1x2,

0,其他1求（1）常数 ；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(1X) （12分）

2

五、设相互的随机变量X,Y的联合分布列为

Y X 1 2 0 1/6  1 1/9 2/9  2 1/18 求：（1）和的值；（2）X、Y的边际分布；（3）X2时Y的条件分布； （4）随机变量Z2XY的分布。（12分）

六、设(X,Y)的概率密度为

24(1x)y,0x1,0yx，求E(X)，D(X)。（6分） f(x,y)0,其它七、总体X的分布律为

P{Xx}p(1p)x1 x0,1,2, 其中p是未知参数，X1，X2，，Xn是来自总体X的一个样本，求参数p的矩估计量和最大似然估计量。(10分) 八、为研究矽肺患者肺功能的变化情况，某医院对、Ⅱ期矽肺患者各33名测其肺活量，得到期患者的平均数为2710mm，标准差为147mm，Ⅱ期患者的平均数为2830mm，

2标准差为118mm，假定第、Ⅱ期患者的肺活量服从正态分布N(1,12)，N(2,2)，

2（1）试问在显著性水平0.05下，12与2无显著性差异？（2）问在显著性水平0.05下，1与2有无显著性差异？（12分）

九、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%．今随意抽查100个索赔户，利用中心极限定理，求其被被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率．（6分）

二、填空题（每小题2分，共14分）

11； 3．0.8； 4．21； 12111； 7．，

2121．0.58； 2．

5．1/3，7/9； 6．

二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．B

2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C

三、解 设Ai={任取的一件是第i台车床加工的}，i1（甲车床），i2（乙车床），i3（丙车床）；B={任取的一件是次品}。 于是，由题设可知：

P(A1)0.25，P(A2)0.35，P(A3)0.4；

P(B|A1)0.05，P(B|A2)0.04，P(B|A3)0.02

（1）P(B)P(Ai)P(B|Ai)=0.050.250.350.040.40.020.0345

i13„„„„„„„„„„„„(6′)

(2)P(A1|B)P(A1)P(B|A1)0.250.050.3623

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(8′)

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.350.050.4058

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(10′)

P(A3|B)P(A3)P(B|A3)0.400.020.2319

P(B)0.0345„„„„„„„„„„„„(12′)

121四、解: (1)1f(x)dxxdx(2x)dx=x201210(2x122x)11 2„„„„„„„„„„„„(3′)

(2)F(x)P(Xx)f(t)dt „„„„„„„„„„„„(4′)

x由f(x)定义中的分段点x0,x1,x2把(,)分为四个区间：

(,0),[0,1),[1,2),[2,)

因此 当x0时，F(x)f(t)dt0， „„„„„„„„„„„„(5′)

x当0x1时，

F(x)xf(t)dt0f(t)dtf(t)dt0tdt00xx12x 2„„„„„„„„„„„„(6′)

x当1x2时，F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt

011x10tdt(2t)dtx22x1012x01

„„„„„„„„„„„„(7′) 当x2时，

F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt1

012x012x „„„„„„„„„„„„(8′)

即X的的分布函数为

0,x012x,0x12F(x)1x22x1,1x221,x2 „„„„„„„„„„„„(9′)

11（3）P(1X)F()F(1)P(X1)2f(x)dxP(X1)

1221

f(x)dx0f(x)dxf(x)dx01121012011 88 „„„„„„„„„„„„(12′)

11214 五、解：（1）1

6991111P(X1,Y0)P(X1)P(Y0)()

63611, „„„„„„„„„„„„ (2′)

39X 1 p 2 2/3

Y p 0 1/2 1 1/3 2 1/6 1/3 „„„„„„„„„„„„ (6′)

（3）P(Y0X2)P(X2,Y0)131

P(X2)232P(Y1X2)（4）

Z 0 p 1/18 291191；P(Y2X2) „„„„„„„（9′） 2332361 1/9 2 5/18 3 2/9 4 1/3 3 5„„„„„„„„„„„„ (12′)

六、解：EXxf(x,y)dxdydx24(1x)xydy12(1x)x3dx0001x1„„„„„„„„„„„„ (3′)

EX2x2f(x,y)dxdydx24(1x)x2ydy12(1x)x4dx0001x12 5DXEX2(EX)22321() „„„„„„„„„„„„ (6′) 5525七、设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本，则似然函数为

L(p)p(1p)xi1pn(1p)i1i1nxinn

lnLnlnp(xin)ln(1p)

i1nnxidlnLni1令 0

dpp1pn解得p的极大似然估计值为

ˆp1 x从而的极大似然估计量为

ˆp1 X八、解：因为方差未知，且不知两方差是否相等，所以在0.05下，先检验假设

H0:1222

已知：x12710，S1147

x22830，S2118，n1n233

S1221609Fn(n11,n21)F0.025(32,32)2.04，而21.5522.04

S2139242故接受H0，认为1222。 „„„„„„„„„„„„ (6′) 再检验假设H0:12 由于Sw2(n11)S12(n21)S232216093213924133.29

n1n22t(n1n22)Sw211112t0.025()133.291.96133.29.31 n1n2333333x1x2120.31

故拒绝H0,认为第,期矽肺患者的肺活量有显著差异。 (12′)

九、

解：X~B(100,0.2),EXnp1000.220;DXnp(1p)1000.20.816 (3′)

1420X203020p(14X30)p()„„„„„(6′) 4416(2.5)(1.5)(2.5)(1.5)10.9940.99310.927