2022新教材高中数学课时检测40从频数到频率频率分布直方图含解析北师大版必修第一册

[A级 基础巩固]

1．将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示： 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9 则第3组的频率为( ) A．0.14 C．0.03

1B． 143D． 14

14

解析：选A 由题表可知，第3组的频率为＝0.14.

100

2．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是( )

A．130 C．133

B．140 D．137

解析：选C 由已知可以判断a∈(130，140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20，解得a≈133，故选C.

3．(多选)学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示．将阅读时间不低于30 min的学生称为阅读霸，则下列结论正确的是( )

A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸

1

B．抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸 C．抽取的100名学生中有45名学生为阅读霸 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 解析：选AB 根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间[0，10) 分组/min 抽样人数 10 18 22 25 20 5 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 抽取的100名学生中有50名为阅读霸，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸．故选A、B.

4．已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图①和图②所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A．200，20 C．200，10

B．100，20 D．100，10

解析：选A 由题图①知，总体个数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000， ∴样本量＝10 000×2%＝200.

1

∵分层随机抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40.

50∴抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.

5．某家庭2018年收入的各种用途占比统计如图①所示，2019年收入的各种用途占比统计如图②所示．已知2019年的“旅行”费用比2018年增加了3 500元，则该家庭2019年的“衣食住”费用比2018年增加了( )

2

A．2 000元 C．3 000元

B．2 500元 D．3 500元

解析：选B 设该家庭2018年的收入为x元，2019年的收入为y元．由题意得，35%y－35%x＝3 500，即y－x＝10 000，所以2019年的“衣食住”费用比2018年增加了25%y－25%x＝2 500(元)，故选B.

6．在某样本的频率分布直方图有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余1

(n－1)个小矩形面积之和的，且样本容量为3 200，则中间一组的频数为________．

7

1

解析：因为中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积之和的，所以中间一

711

个小矩形的面积为所有小矩形面积和的，因此中间一组的频数为3 200×＝400.

88

答案：400

7．一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)内的频率为0.6，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数之和是________．

解析：根据题意，设分布在[40，50)，[50，60)内的数据个数分别为x，y.∵样本中数4＋5＋x＋y据在[20，60)内的频率为0.6，样本容量为50，∴＝0.6，解得x＋y＝21.

50

即样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数之和为21. 答案：21

8．为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生人数为b，则a，b的值分别为________，________．

3

解析：由频率分布直方图知组距为0.1.由前4组的频数和为40，后6组的频数和为87，知第4组的频数为40＋87－100＝27，即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率a＝0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1－0.01－0.03＝0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生人数b＝0.96×100＝96.

答案：0.27 96

9．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出统计表和频率分布直方图如下：

次数分组 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30] 合计 频数 10 24 频率 0.25 n p 0.05 1 m 2 M

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校有高三学生240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．

解：(1)由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25， 10

知＝0.25，所以M＝40，

M所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，

4

m424

所以p＝＝＝0.10，a＝＝0.12.

M4040×5

(2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为0.25×240＝60. 10．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图①是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：

(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？

(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ (3)若该校九年级共有200名学生，图②是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？

解：(1)由题图①知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．即该校对50名学生进行了抽样调查． 18

(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.即最喜欢篮球活动的人数

50占被调查人数的36%.

8

(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×1 000＝160(人)．

50即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.

[B级 综合运用]

11．(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，

5

得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )

A．m＝0.031 B．n＝800

C．100分以下的人数为60

D．成绩在区间[120，140)内的人数占大半

解析：选AC 分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m110

＝0.031，故A说法正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，

0.11故B说法错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C说法正确；成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，人数占小半，故D说法错误．

12．从高一学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)： [40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.

(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；

(3)估计成绩在区间[60，90)上的学生比例； (4)估计成绩在85分以下的学生比例． 解：(1)频率分布表如下：

成绩分组 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) 频数 2 3 10 15 12 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 频率/组距 0.004 0.006 0.02 0.03 0.024 6

[90，100] 8 0.16 0.016 合计 50 1 0.1 (2)频率分布直方图如下图所示：

(3)估计成绩在区间[60，90)的学生比例为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%. (4)估计成绩在85分以上的学生比例为1－(0.12＋0.16)＝1－0.28＝0.72＝72%.

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