第２９卷第６期 ２ ００ ９年１ ２月 成宁学院学报 Ｖ０１．２９．Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００９ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉａｎｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉ 文章编号：１００６—５３４２（２００９）０６—０１４７—０２ 圆锥曲线中一类最值问题的解法 宋贵聪 （赤壁一中，湖北 赤壁通过教学实践，总结出圆锥曲线中一类最值的求解方 ４３７３００） 当ＩＰＱＩ＋ｌＰＭＩ的值最小时，Ｍ，Ｐ，Ｑ三点共线，此直线 法：回归定义．结合问题自身所具有的几何意义，采用化曲 （折）线段为直线段的方法，利用两点之间线段最短、对称、 垂线段、三角形中两边之和大于第三（两边之差小于第三 边）等简单得到解决． １ 利用两点之间线段最短。通过点关于直线对称或垂线段 求最小值 ’ 例１：（１）已知直线ｚ： ＋Ｙ＝８，点 （一４，０），Ｆ２（４， ０），在直线ｚ上取一点 ，过』ｊＩ，作以 ， 为焦点的椭圆， 求长轴最短时该椭圆的方程； （２）已知平面上的点Ｐ（一２，一２），Ｑ（０，一１），求一点 Ｒ（２，ｍ）使Ｉ ＰＲ｝＋Ｊ Ｊ最小，则ｍ＝——，ｆ ＰＲ Ｉ＋ Ｉ ＱＲｌ的最小值是——一 【解析】（１）先求 关于直线ｚ： ＋Ｙ＝８的对称点 ：， 则 的长即是所求最短长轴，不难得到所求椭圆的方 ２ ２ 程为 ＋ ｌ・ 本题还可以利用直线 与椭圆的相切求解． （２）是平面中到两个点之间的距离之和最小的问题， 即在直线 ＝２上求一点Ｒ使ＩＰＲＩ＋ｌ ＱＲｌ最小．利用对称 性，求点Ｑ关于直线 ＝２的对称点Ｑ，再求 ’的长． 答案：一÷ ０ 例２：求函数ｙ： 一 ＋１＋ ＝ 的 最小值及对应的 值． 【解析】观察函数 Ｙ＝ 一 ＋１＋、， ２＿（ ＋３） ＋２（ｘ 一５） ， 可以化简为 Ｙ＝ （ ＋、 研， 口 ／ ／ ’ ／ 图１ 它的几何意义如图１所示，设Ｐ（ｘ， ）是抛物线Ｙ－－－－Ｘ 上的 动点，它到直线ｙ：ｘ一１的距离为Ｉ ＰＱ｝：旦 ： √２ ￡ ，ＰＮＭ（一３，５）的距离 ！三 （ ±三）：±（ ：＝５） ・收稿日期：２００９－０９．１７ 是过Ｍ点且垂直于直线Ｙ＝２～ ，ＩＰＱｌ＋ＩＰＭＩ的最小值就 一 是点Ｍ到直线Ｙ＝ 一１的距离９－４：－ｚ， 显然， ＝ 一 ＋１ ｖ／ （ ＋３） ＋２（ 一５） ＝ ＩＰＱｌ＋｝ＰＭＩ≥９，此时直线Ｙ＝２一 抛物线Ｙ＝ 的交 点是Ｐ，（一２，４）， （１，１），即当 ＝一２或 ＝１时有最小 值，最小值是９． ２利用圆锥曲线的定义与平面几何知识求最值 观察题目的结构，联系有关曲线的定义（包括第一、第 二定义）和几何意义，利用三角形中两边之和大于第三边 （两边之差小于第三边）可以简单地解决最值问题． ２ ２ ．例３：已知椭圆 ｉＤ ｉ，＋ ＝１内的点Ｍ（２，１）， 、’ 一 分别是椭圆的左、右焦点，设Ａ是椭圆上的动点，求ＩＡＭｌ＋ ｆＡ ｌ的最大（小）值． 一 图２ 【解析】如图２，连结 ，由椭圆的定义可得ＩＭＡＩ＋ Ｉ ｆ＿ＩＡＭＩ＋２ｄ—ＩＡＦ。Ｉ，利用三角形中两边之差小于第 三边有一ＩＭＦｌ Ｉ≤ＩＡＭＩ—ＩＡＦｌ Ｊ≤ＩＭＦｌ ｌ，当点Ａ，Ｆ。，肘共 线，且点Ａ位于Ａ２时．（ＩＡＭＩ—ＩＡＦ １）一＝ｌ Ｆ ＭＩ＝ 则（ＩＡＭＩ＋ＩＡＦ２ Ｉ）～＝８＋ ６；当点Ａ位于以Ｉ时，（ＩＭＡｌ —ＩＡＦｌ Ｉ）一＝一Ｉ ＭＩ＝一／２６有（ＩＡＭＩ＋Ｉ １）～＝２ａ —ＪＦ ＭＩ；对于点 在椭圆上、椭圆之外，类似的结论也成 立，如果圆锥曲线是双曲线、抛物线，也有类似结论． Ｊ 。， Ｉ ／ ． 尸 ／０ 图３ 例４： 求函数ｆ（ ）＝、 ＝ 了一 ＿二＿而的最大值． １４８ 【解析】原函数化为 成宁学院学报 第２９卷 ，（ ）＝￣／ 一３ 一６ ＋１３一 ＝一 。＋１，其几何意义 （２）定点Ａ（３，２），，是双曲线 ＝１的右焦点，Ｐ为 —一 如图３所示，抛物线ｙ： 上的点为Ｐ＝（ｘ， ）分别到点Ａ （３，２），Ｂ（Ｏ，１）的距离之差，因为点Ａ（３，２），Ｂ（０，１）分别 ｒｖ— ２ 双曲线上的动点，则ＩＰＡＩ＋Ｉ尸 Ｉ的最小值是—在抛物线开口外部和内部，所以直线ＡＢ和抛物线相交，交 （３）已知尸为椭圆 ＋ ＝１上的动点，Ｆ（４，０）为右 点由方程组｛ ： ，可以求出，该方程有负根，根据三角 焦点，点Ａ（２，２）为椭圆内部的点，则ＩＰＡｌ＋÷Ｉ Ｉ最小值 Ｌ ：ａｙ—ｊ 形三边之间的关系可得，当点Ｐ位于方程的负根所对应的 是一 交点Ｃ时，函数，（ ）＝￣／（ 一３） ＋（ ：一２） 一 ～／ ＋（ｘ２—１） 有最大值 【解析】利用圆锥曲线的第二定义，注意到ＩＰＦＩ的系数 ｌ，丁１，例５：（１）抛物线ｙ２＝４ｘ上一个动点Ｐ，Ｆ（１，０）为抛 物线的焦点，定点Ａ（３，１），则Ｉ ＡＰ Ｉ＋Ｉ ＰＦ Ｉ的最小值是 Ｊ， ÷分别是抛物线、双曲线、椭圆的离心率ｅ的倒数， 根据各自的几何意义（参考下面图４、图５、图６）． Ｔ ｄ ｐ／ ／＼～ 图４ 图５ 图６ ÷ＩＰＦＩ就是点Ｐ到相应准线的距离ｄ，显然ｄ＋ＩＡＰＩ≥ 时Ｐ的坐标是‘２＇２ ，分别将所求Ｉ Ａ尸Ｉ＋Ｉ ＰＦＩ，Ｉ Ｉ＋÷Ｉ ＰＦＩ，Ｉ Ｉ＋ ÷ＩＰＦｌ的最小值转化为定点Ａ到相应准线的距离Ａ 答案：（１）４ （２）了５ （３） ０ 注：本例中定点Ａ在圆锥曲线的内部（或开口的内 部），若定点在曲线外部，也有类似结论． 类比练习： 图７ （１）椭圆ｃ： ＋告＝１ Ｉ￣－Ｙｇ，４Ｍ，Ｆ。，Ｆ２为左右焦 点，在ｃ上求点Ｐ，使１ＰＦ。ｌ＋ＩＰＭｌ取得最值． （２）过焦点Ｆ作ｚ的垂线，垂足为ＪＩ，（孚， ）在ｃ开口 的外部（非常关键）（如图８），ｄ。一Ｉ ｌ，则ｄ。＋ｄ２＝ＩＰＦＩ 【解析】由例３，最值为２ａ—ｌ Ｍｌ，２口＋Ｉ ＾ｆＩ，点Ｐ 分别在 ｊｌｆ与椭圆的交点上． ＋ＩＰＭｌ≥ＩＦＭＩ＝学，此时Ｐ的坐标是（学，ｌ ． Ｊ （２）（１）定点Ｐ（一２， ），Ｆ是椭圆ｃ： ＋告＝１的 左焦点，点肘在ｃ上，若ＩＰＭＩ＋÷ｌＰＦＩ取最小值，则最小 ｆ）ｌ 值为一 幽 答案：（１）（一 ， ） （２）÷（由例５） 例６：（１）已知Ｍ（３， ），抛物线ｃ： ：２ｘ上的动点 Ｐ，若Ｐ到 的距离ｄ。，Ｐ到抛物线准线Ｚ的距离为 ，求 类比练习：已知点Ｐ是抛物线 ＝２ｘ上的动点，点Ｐ在ｙ轴 上的射影是肘，点Ａ（寺’４），则Ｉ ｌ＋Ｉ朋ｌ的最，Ｊ、值是（ ） ｄ。＋ 的最小值及此时Ｐ的坐标； （２）Ｐ是抛物线ｃ： ＝４ｘ上的动点，Ｐ到抛物线准线 （Ａ’ ７ （ ４（ｃ）号－ （Ｄ）５ 【解析】选ｃ，设 ＝２ｘ的焦点为Ｆ，点Ａ（寺，４）在抛 物线“夕 便４”，贝４ Ｉ ＰＡ ｌ＋Ｉ ＰＭＩ：Ｉ ＰＡ Ｉ＋Ｉ ＰＦＩ一＿：１ 因此 ，的距离为ｄ。，Ｐ到直线２： ＋２ｙ一１２＝０的距离为 ，求ｄ。 ＋ 的最小值及此时Ｐ的坐标． 【解析】（１）注意到Ｍ在ｃ开口的外部，如图７．且 ＝ ＰＭＩ ＋Ｉ＋ ≥ Ｉ ＰＦＩ≥ＩＩＦＭＩ ：孕（＝等（当Ｆ，，Ｐ 共线时最小值），Ｍ共线时最小值），Ｍ 此 Ｉ此 ＩＰＡＩ ＋Ｉ＋ ＰＦＩ一上一 ９．＝ －－ＩＡＦＩ 一÷：导．一÷＝÷．
