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高中数学教学设计获奖作品《等差数列》

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高中数学教学设计获奖作品

《等差数列》

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教学的学生是我校高二(2)班的学生,经过一年的学习,大部分学生知识经验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想

1.教法

⑴诱导思维法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性。

⑵分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性。

⑶讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 2.学法

引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时,留出“空白”,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念,能用定义判断一个数列是否为等差数列,引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,会求等差数列的公差及通项公式,能在解题中灵活应用,初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力,在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;使学生认识事物的变化形态,养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点

重点:

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点:

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键:

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程 教学环节 情境设计和学习任务 学生活动 设计意图 课堂引入 上节课我们学习了数列。在日常生活倾听 中,人口增长、教育贷款、存款利息创设等等这些大家以后会接触得比较多的情景 实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 由学生观察分析并得出答案: 观察分析,发表各自的意见 在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,___,___,___,___,… 2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位探索为18cm,自然放水每天水位降低研究 2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是: 引向课题 观察分析并得出答案: 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 发现 对于数列③,从第2项起,规律 每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 学生认真阅读课本相关概念,对于以上几组数列我们称它们为等差找出关键字。 数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列总结从第2项起,每一项与它的前一项的提高 差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。 年初本年末本利和金(元) (元) 第1年 10 000 10 072 第2年 10 000 10 144 第3年 10 000 10 216 第4年 10 000 10 288 第5年 10 000 10 360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列: 0,5,10,15,20,…… ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢? 时间 通过分析,激发学生学习的探究知识的兴趣,引导揭示数列的共性特点。 通过学生自己阅读课本,找出关键字,提高学生的阅读水平和思维概括能力,学会抓重点。 提问:如果在a与b中间插入一个数由学生回答:因为a,A,b让学生参与A,使a,A,b成等差数列数列,那么组成了一个等差数列,那么由到知识的形A应满足什么条件? 定义可以知道:A-a=b-A 成过程中,获ab得数学学习所以就有 A 的成就感。 2由三个数a,A,b组成的等差数列可深入探究,得到更一般化的引领学习更以看成最简单的等差数列,这时,A结论 深入的探究,叫做a与b的等差中项。 提高学生的不难发现,在一个等差数列中,从学习水平。 第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。 看来, a2a4a1a5,a4a6a3a7 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则 amanapaq 由学生经过分析写出通项公学会发现规式: 律,并加以总①这个数列的第一项是5,第2结。 项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20项与序号n之间的关系去写出数列的(=5+5+5+5),……由此可以通项公式的。下面由同学们根据通项猜想得到这个数列的通项公式公式的定义,写出这四组等差数列的是an5n 通项公式。 ② 这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是总结58(=48+5×2),第4项是63提高 (=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an485(n1) ③ 这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式[等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列{an}的第n是an182.5(n1) ④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是an1007272(n1) ⑵、那么,如果任意给了一个等差数 引导学生根据等差数列的定列的首项a1和公差d,它的通项公式义进行归纳: 是什么呢? a2a1d,aad,  (n1)个等式32 a4a3d,L所以 a2a1d, a3a2d, a4a3d, 引导学生进行理性分析与推导,从而得出公式。 …… 思考:那么通项公式到底如何表达a2a1d, 进一步的分呢? a3a2d(a1d)da2d,析。 a4a3d(a12d)da3d, …… 得出通项公式:由此我们可以猜想得思考,并发表各自的意见。 总结出:以a为首项,d为公差的等差数1提高 列{an}的通项公式为 ana1(n1)d 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d,那么这个等差数列的通项an就可以表示出来了。 例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 应用分析: 巩固 ⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差; ⑵这个问题可以看成是上面那个问题让学生有自主思考的时空。 让两个学生分别对这两小题加让学生参与以分析。 课堂。 解:⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20, 得a208(211)(3)49 ⑵由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1,由的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。 例题评述:从该例题中可以看出,等聆听教师点评 通过教师点差数列的通项公式其实就是一个关于评,提高学生an、a1、d、n(的量有3个)的对关键问题的认知水平。 方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。 随堂练习:课本45页“练习”第1题; 完成练习 讲练结合,有利提高学生的知识应用水平 例2.某市出租车的计价标准为1.2元解:根据题意,当该市出学以致用,将/km,起步价为10元,即最初的4km租车的行程大于或等于4km所学知识应(不含4千米)计费10元。如果某人时,每增加1km,乘客需要支用到具体生乘坐该市的出租车去往14km处的目付1.2元.所以,我们可以建立活中去,加深的地,且一路畅通,等候时间为0,需一个等差数列{an}来计算车费. 对概念的理要支付多少车费? 令a1=11.2,表示4km处解。 的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费 a1111.2(111)1.223.2(元) 答:需要支付车费23.2元。 聆听教师点评 通过教师点评,提高学生对关键问题的认知水平。 完成练习 讲练结合,有利提高学生的知识应用水平 分析思考,然后分组讨论,让培养学生分两组学生代表发表自己的见析问题的能解。 力,在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 随堂练习:课本45页“练习”第2题; 例3 已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗? 分析:判定{an}是不是等差数列,可员想法的能力。 解:取数列{an}中的任意 以利用等差数列的定义,也就是看相邻两项an与an1(n>1), anan1(n>1)是不是一个与n无关求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]的常数。 pnq(pnpq]p 它是一个与n无关的数. 所以{an}是等差数列。 课本左边“旁注”:这个等差数列这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我的首项与公差分别是多少? 们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q. 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 引导学生动手画图研究完成以下探学生动手画图,并进行学习小究: 组讨论,发表见解。 ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。 探索分析:⑴n为正整数,当n取1,2,研究 3,……时,对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对所得结论进行更深入一步的探究,激发学生的学习兴趣。 通过学生动手作图,并加以对比,让学生体会数列与函数的内在关系。 对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。 本节主要内容为: ①等差数列定义:即anan1d(n≥课堂2) 小结 ②等差数列通项公式:ana1(n1)d(n≥1) 推导出公式:anam(nm)d 1、已知{an}是等差数列. ⑴ 2a5a3a7是否成立? 2a5a1a9呢?为什么? ()⑵ 2anan1an是否成立?据1n1此你能得出什么结论? ) 2anankan(是否成立?据kn1以学习小组为单位,在学习小组中,各自归纳自己对这堂课的收获,后由小组代表总结归纳。 学生自己小结,使学生对自己所学知识有更深刻的认识。 作业是课堂的延续,除了检验学生对本节课知识的理解程度,还在于引导学生对本课知识的进一步探究,让学生在更大的深度与广度之间进行思考。 评价设计 此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列{an}的公差为d.求aan证:md mn 七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察,从而得出等差数列的概念,并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式,培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程,使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程,也使本节课的三维目标真正落到实处。

点评:

本设计从生活中的数列模型,如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入,进而提出有待探索的问题,这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中,学生通过分析、观察,逐步抽象概括得出等差数列定义,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程。

本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出,引导分析细致、到位、适度。如:判断某数列是否成等差数列,这是促进概念理解的好素材;又如:把通项公式与一次函数发生联系,利用函数这一“上位”概念,来“同化”等差数列的概念,体现函数思想;还有让

学生经历列表、画图象的过程,从“形”的角度,感受函数与数列的联系;此外,用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中,加深了对概念的理解和巩固。

本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变,以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以相互补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效,体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动,勇于探索的学习方式”。

值得商讨的问题,在等差数列中,对于任意正整数m,n,p,q,若

mnpq则amanapaq这一性质的在第一课时提出是否不合时

宜,并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。

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