大学线性代数练习试题及答案

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式A. m+n C. n-m

a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12a13等于（ ）

a22a23 B. -(m+n) D. m-n

100-1

2.设矩阵A=020，则A等于（ ）

00313A. 00012000 1

1B. 0012D. 00012000 131003C. 010 1002

0010 301312* *

3.设矩阵A=101，A是A的伴随矩阵，则A中位于（1，2）的元素是（ ）

214A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C

T

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λs

αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解

B.

11η1+η2是Ax=b的一个解 22η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3

的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）

2

A.|A|必为1 B.|A|必为1 T

=A 的行（列）向量组是正交单位向量组

T

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CAC.则（ ） 与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.23 34 B.34 26100C.023 035

111D.120 102第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每

小题的空格内。错填或不填均无分。

11516 .

111123，B=.则A+2B= .

11112415.39253616.设A=17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

222

(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=. 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=. 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

0106223.设矩阵A=133，已知α=1是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

2108224.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

120231T

25.设A=340，B=（2）|4A|. .求（1）AB；

24012131105131324. 1326.试计算行列式

52142327.设矩阵A=110，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

1232130130，α2=，α3=，α4=1. 28.给定向量组α1=02243419试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266. 23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

022-1

30.设矩阵A=234的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使TAT=D.

24331.试用配方法化下列二次型为标准形

222x2f(x1,x2,x3)=x123x34x1x24x1x34x2x3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

3-12

32.设方阵A满足A=0，试证明E-A可逆，且（E-A）=E+A+A.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337

13717. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222z224. z12z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022T25.解（1）AB=34034

1211086=1810. 310（2）|4A|=4|A|=|A|，而

3

120402.

|A|=3121所以|4A|=·（-2）=-128 3110551313115121251105131311 0026.解

52141110311 005=1155=655062301040.

5527.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

223-1（A-2E）=110121-1

1143153. 1143423所以B=(A-2E)A=153110

1123386=296. 21292130053213011301 28.解一0224011234190131121000100005111200088014140002101,

0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

2x1x23x30x3x12即1

2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1），组合系数为（2，1，1）.

29.解对矩阵A施行初等行变换

121000A032096262 82320T

212101210328303200000062000217000283=B. 31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B

的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

TT

ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.

25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15.

05/3λ=-8的一个特征向量为

11/3ξ3=2，经单位化得η3=2/3.

2/3225/5215/151/3所求正交矩阵为T=5/5/152/3.

05/32/3100对角矩阵D=010.

00825/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）

5/545/152/331.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）-2x2+4x2x3-7x3

222

=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.

222

y1x12x22x3x1y12y2x2x3，即x2设y2， y2y3xy33yx33120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。

001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

222

y1-2y2-5y3.

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

23

32.证由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，

所以E-A可逆，且

-12

（E-A）= E+A+A.

33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。