专题05 一元函数的导数及其应用(知识梳理)(教师版)

专题05 一元函数的导数及其应用（知识梳理）

一、基本概念

1、导数定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率limff(x0x)f(x0)，我们称它为函数yf(x)limx0xx0xf(x0x)f(x0)f. limx0xx0x在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)lim附注：①导数即为函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f(x)lim f(x)limyf(x0)f(x0x)； limx0xx0xf(x0x)f(x0)yf(x)f(x0)；f(x)lim； limx0xxx0x0xx0xxx0xxx0，当x0时，xx0，∴f(x)limf(x)f(x0).

xx0③求函数yf(x)在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”. 2、基本初等函数的八个必记导数公式

原函数 f(x)C(C为常数) 导函数 f(x)0 原函数 导函数 f(x)sinx f(x)ax(a0且a1) f(x)ex 3、导数四则运算法则 (1)[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

f(x)cosx f(x)axlna f(x)ex f(x)xn(nR) f(x)cosx f(x)nxn1 f(x)sinx f(x)logax(a0且a1) f(x)f(x)lnx 1logae x1f(x) x(2)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0). ]2g(x)g(x)特别提示：[Cf(x)]Cf(x)，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.

4、复合函数的导数

(1)复合函数定义：一般地对于两个函数yf(x)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，就称这个函数为yf(x)和ug(x)的复合函数，记作yf[g(x)].

u(2)复合函数求导法则：复合函数yf[g(x)]的导数和函数yf(x)、ug(x)的导数的关系为yxyux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

例1-1．求函数y3x2在x1处的导数.

分析：先求fyf(1x)f(1)6x(x)2，再求

ff6x，再求lim6.

x0xx3x23123(x212)【解析】y|x1limlimlim3(x1)6.

x1x1x1x1x11

例1-2．求导：①f(x)c；②f(x)x；③f(x)x2；④f(x)【解析】①

②

1；⑤f(x)x. xyf(xx)f(x)ccy0，f(x)limlim00；

x0xx0xxxyxxxy1，f(x)limlim11；

x0xx0xxy(xx)2x2y2xx，f(x)lim③lim(2xx)2x；

x0xx0xx11yxxx1y112④，f(x)limlim(2)2；

x0xx0xxxxxxxxx⑤

yxxxxx1y11，f(x)lim. limx0x0xxxxxxx2x变式1-1．若物体的运动方程是s(t)tsint，则物体在t2时的瞬时速度为( ).

A、cos22sin2 B、2sin2cos2 C、sin22cos2 D、2cossin2 【答案】C

【解析】∵s(t)tsintt(sint)sinttcost，∴s(2)sin22cos，故选C. 变式1-2．如果函数f(x)x2A、0 B、1 C、5 D、不存在 【答案】B

【解析】f(x)2x例1-3．函数y【答案】

15，则f(1)( ). x1，f(1)1，故选B. 2xcosx的导数是 . xxsinxcosx 2xcosx(cosx)xcosxxxsinxcosx. )xx2x2【解析】y(变式1-3．函数f(x)1的导数是 .

x32x13x22【答案】3

(x2x1)22

(x32x1)3x223【解析】f(x)3.

(x2x1)2(x2x1)21x2变式1-4．设f(x)，则f(x)( ).

sinx2xsinx(1x2)cosxA、 2sinx2xsinx(1x2)cosxB、

sin2x2xsinx(1x2)C、

sinx2xsinx(1x2)D、

sinx【答案】A

(1x2)sinx(1x2)(sinx)2xsinx(1x2)cosx【解析】f(x)，故选A. sin2xsin2x变式1-5．函数f(x)(2x1)ex的导函数为f(x)，则f(0)( ).

A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】D

【解析】f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，则得f(0)3，故选D. 例1-4．函数y(xa)(xb)在xa处的导数为 .

【答案】ab

【解析】∵yx2(ab)xab；∴y2x(ab)，y|xa2aabab. 变式1-6．曲线yx(1ax)2(a0)，且y|x25，则实数a的值为( ).

A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B

【解析】y(1ax)2x[(1ax)2](1ax)2x(12axa2x2)(1ax)2x(2a2a2x)，

y|x25，即3a22a10，∵a0，∴a1，故选B.

变式1-7．求导：(1)ytanx； (2)y(x1)(x2)(x3).

sinx(sinx)cosxsinx(cosx)cos2xsin2x1【解析】(1)y(tanx)(； )cosxcos2xcos2xcos2x3

(2)∵y(x1)(x2)(x3)x36x211x6，∴y3x212x11.

12(x1)(x1)2能力提升：已知函数f(x)，判断f(x)在x1处是否可导？

1(x1)(x1)2分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.

1111[(1x)1](121)(1x1)(121)yy122lim21，limlim2， 【解析】limx0xx0x0xx0xx2∴f(x)在x1处不可导.

注意：x0，指x逐渐减小趋近于0；x0，指x逐渐增大趋近于0. 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即limx0f(x0x)f(x0)，x0，包括x0与x0，因

x此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.

讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：例如f(x)x，则f(x)意义，在导函数无意义.

导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与x轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的. 例1-5．函数f(x)(2x3)2的导数为 .

【答案】f(x)6x512x2

【解析】f(x)x64x34，则f(x)6x512x2. 变式1-8．已知y(1cos2x)2，则y .

【答案】4sin2x(1cos2x) 【解析】设yu2，u1cos2x，

12x，x0在函数有

u则yyxyux2u(1cos2x)2u(sin2x)(2x)2u(sin2x)24sin2x(1cos2x).

能力提升：求导：(1)y1x ；(2)y(axbsin2x)3；(3)yf(x21). 2(1x)cosx(1x)(1x2)cosx(1x)[(1x2)cosx]【解析】(1)y

(1x2)2cos2x(1x2)cosx(1x)[(1x2)cosx(1x2)(cosx)] (1x2)2cos2x(1x2)cosx(1x)[2xcosx(1x2)sinx] (1x2)2cos2x(x22x1)cosx(1x)(1x2)sinx； (1x2)2cos2x(2)yu3，uaxbsin2x，msinx，nx，

4

y(u3)3u2u，u(axbsin2x)a(bsin2x)a(bm2)a2bmm，

m(sinn)ncosncosx，ua2bsinxcosxabsin2x， y(u3)3(axbsin2x)2(absin2x)；

(3)解法一：设yf()，v，x21，则：

12y2x xyxf()211f(x21)2x2x212221xx21f(x21)；

11解法二：y[f(x1)]f(x1)(x1)f(x1)(x21)2(x21)

221 f(x21)(x21)22x21xx21f(x21).

二、导数的几何意义

1、切线的斜率：函数f(x)在x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 例2-1．曲线y2x21在点(0，1)的切线斜率是( ).

A、4 B、0 C、2 D、不存在 【答案】B

【解析】点在曲线上kf(0)4x|x00，故选B. 变式2-1．曲线yA、B、0 C、D、

121x在点(1，)处切线的倾斜角为( ).

22 4 45 4【答案】C

【解析】点在曲线上kf(1)x|x11，故选C.

例2-2．曲线yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为 .

【答案】4xy30

【解析】y3lnx4，故y|x14，又点(1，1)在曲线y上，

∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y14(x1)，化为一般式方程为4xy30.

5

总结：求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点坐标适合曲线方程；P点坐标适合切线方程；P点处切线斜率为kf(x0).

变式2-2．已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是 .

【答案】2xy0

【解析】当x0时，x0，则f(x)ex1exx，又f(x)为偶函数，∴f(x)f(x)x，

e∴当x0时，f(x)ex11，又点(1，2)在曲线y上， 则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2∴切线方程为y22(x1)，即2xy0.

例2-3．已知点P(1，1)，点Q(2，4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程.

【答案】4x4y10

【解析】y2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，

∵PQ的斜率k，

411，又切线平行于PQ， 21∴k2x01，即x0111，切点M(，)，所求直线方程为4x4y10. 224变式2-3．由曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为 .

【答案】

8 3【解析】∵y|x13x2|x13，∴切线为y3x2，如图，

21284)，∴S(2)4. A(，0)，B(2，2333例2-4．函数f(x)x3x2x1的图像上有两点A(0，1)和B(1，0)，在区间(0，1)内求实数a，使得函数f(x)的图像在xa处的切线平行于直线AB.

【解析】f(x)3x22x1，kABf(a)3a22a11(0a1)，解得a2. 31变式2-4．已知直线yx1是函数f(x)ex图像的切线，则实数a .

a1【解析】设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex01，∴ex0a，

a又1x0ex01，∴x02，∴ae2. a变式2-5．若曲线yx2axb在点(1，b)处的切线方程是xy10，则( ).

A、a1，b2 B、a1，b2

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C、a1，b2 D、a1，b2 【答案】B

【解析】∵y2xa，∴曲线在点(1，b)处的切线斜率k2a，∴2a1，∴a1，

∴曲线yx2xb，∴1b10，∴b2，故选B.

三、导数与函数的联系

1、函数的单调性：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增.

在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.

2、函数的极值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值f(x0).极大值与极小值统称为极值.

3、函数的最值：将函数yf(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

注意：(1)判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立.

(2)混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标.

(3)关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域. 例3-1．若函数f(x)x2axA、[1，0] B、[1，) C、[0，3] D、[3，) 【答案】D

11在(，)上是增函数，则a的取值范围是( ). x21111【解析】f(x)0在(，)上恒成立，即2xa20，即a22x在(，)上恒成立，

22xx∵y11在2x(，)上为减函数，∴ymax3，a3，故选D.

2x2变式3-1．若函数f(x)x2axA、(，3) B、[1，0] C、[0，3] D、[3，) 【答案】A

11在(，)上存在减区间，求实数a的取值范围是( ). x27

【解析】f(x)2xa11，∵函数在(，)上存在减区间， 22x111∴f(x)0在(，)上有解，即a22x在(，)上有解，

22x设g(x)122，，令2xg(x)2g(x)20，得x1，

x2x3x311当x(，)时，g(x)0，又g()413，∴a3，故选A.

22总结：利用导数研究函数单调性的三个应用

(1)利用导数判断函数图像：通过求导找出增减区间，结合排除法和特殊值法解题.

(2)利用导数解不等式：这类题目很多时候要构造特殊函数，通过观察式子的特点，构造特殊函数，然后求导找其增减区间，进而对不等式求解.

(3)求参数的取值范围：已知函数yf(x)在(a，b)的单调性，求参数的范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.②转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”.

a1例3-2．函数f(x)a(x)2lnx(aR)，g(x)，若至少存在一个x0[1，e]，使得f(x0)g(x0)成立，

xx则实数a的范围为( ).

A、[0，) B、(0，) C、[1，) D、(1，) 【答案】B

【解析】由题意知ax2lnx0在[1，e]上有解，满足a(设h(x)2lnx)min即可， x(2lnx)x2lnx(x)2(1lnx)2lnx，h(x)，∵x[1，e]，∴h(x)0， 22(x)xx∴h(x)在[1，e]上恒为增函数，∴h(x)h(1)0，∴a0，故选B.

变式3-2．设函数f(x)x312，2]都有f(x)m成立，求实数m的取值范围. x2x5，若对于任意x[12【解析】f(x)3x2x2，令f(x)0，得x∵当x2或x1， 2分 322或x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0， 4分 332323∴yf(x)在(，，)上为增函数，在(，1)上为减函数， 6分 )和(1∴f(x)在x2222处有极大值，在x1处有极小值，极大值为f()5， 8分

3273而f(2)7， ∴f(x)在[1，2]上的最大值为7，

8

对于任意x[1，2]都有f(x)m成立，得m的范围m7. 10分

例3-3．若对x、y[0，)，不等式4axexy2exy22恒成立，则实数a的最大值是( ).

A、B、

1 41 2C、1 D、2 【答案】B

【解析】∵exy2exy22ex2(eyey)22(ex21)，即2(ex21)4ax，

1ex21ex2当x0时恒成立，当x0时，可得2a，令g(x)，

xxex2(x1)1则g(x)，可得g(2)0，且在(2，)上g(x)0，在[0，2)上g(x)0，

x2故g(x)的最小值为g(2)1，于是2a1，即a变式3-3．已知函数f(x)xlnx. (1)求f(x)的最小值；

(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数f(x)lnx1， 1分

令f(x)0，解得x1，故选B. 211，令f(x)0，解得0x， 3分 ee11从而f(x)在(0，)单调递减，在(，)单调递增， 5分

ee∴当x111时，f(x)取极小值也是最小值，则f(x)minf()； 6分

eee(2)依题意得f(x)ax1在[1，)上恒成立， 即不等式alnx令g(x)lnx1对于x[1，)恒成立， 7分 x111x1， 则g(x)22， 8分 xxxxx1，)上的增函数， 10分 0，故g(x)是[1x2当x1时，g(x)∴g(x)的最小值是g(1)1，∴a1从而a的取值范围是(，1]. 12分

总结：研究极值、最值问题应注意的三个关注点：

(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点.

(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (3)含参数时，要讨论参数的大小.

9

例3-4．设函数f(x)x36x5，xR. (1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围. (3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】(1)f(x)3(x22)=3(x22)，令f(x)0得x12，x22， 2分

∴当x2或x2时f(x)0，当2x2时f(x)0，

2)及(2，)，单调递减区间是(2，2)， 5分 ∴f(x)的单调递增区间是(，当x2，f(x)有极大值542，当x2，f(x)有极小值542； 6分 (2)由(1)的分析可知yf(x)图像的大致形状及走向，

∴当542a542时直线ya与yf(x)的图像有3个不同交点，

即方程f(x)a有三解； 8分 (3)f(x)k(x1)即(x1)(x2x5)k(x1)，

∵x1，∴kx2x5在(1，)上恒成立， 10分 令g(x)x2x5，由二次函数的性质，g(x)在(1，)上是增函数，

∴g(x)g(1)3，∴所求k的取值范围是k3. 12分

变式3-4．已知函数f(x)ax22ln(1x)(a为实数). (1)若f(x)在x1处有极值，求a的值； (2)若f(x)在[3，2]上是增函数，求a的取值范围.

【解析】(1)f(x)的定义域为(，1)，又f(x)2ax(2)f(x)0对x[3，2]恒成立， ∴2ax12，f(1)2a10，a； 3分 1x21122，a， 5分 0，2ax2111x1xxx(x)2241111∵x[3，2]，∴(x)2的最大值为(2)26， 7分

2424∴

1x2x的最小值为111，又因a时符合题意，∴a. 10分 666变式3-5．已知函数f(x)12xlnx. 2(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值、最小值；

(2)求证：在区间[1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)【解析】(1)由f(x)23x图像的下方. 3112，e]时，f(x)0，f(x)为增函数， 2分 xlnx有f(x)x，当x[12x10

∴fmax(x)f(e)121e1，fmax(x)f(1)； 4分

221(1x)(1x2x2)12232(2)设F(x)xlnxx，则F(x)x2x， 6分

xx23当x[1，)时，F(x)0，则F(x)单调递减，且F(1)故x[1，)时F(x)0，∴

10， 8分 6122xlnxx3，得证. 10分 2311