全等三角形综合练习

（补充资料一）

1． 已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC+CD。

2． 已知：AD平分BAC，ACABBD。求证：B2C。

3． 如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE。求证：BDCE。

B

A

1 2 D C

A B D

C

A D E

B

C

4． 如图，在△ABC中，C90，D，E分别为AC，AB上的点，且ADBD，

A

E D

AEBC，DEDC。求证：DEAB。

5． 如图1所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，

BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。

A

B

B

C

A

G E F D

图1

图2

E G F D

C

6． 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行

线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF。 （1）求证：BG＝CF。

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

E A

F

B

D

C

G

7． 已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上

滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D。PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论。

8． 如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

O

D A

M

C P

B

N 4 3 A

F E

1

M

2 B C

9． 在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中

点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图1、图2所示。 A A A D

P D P P C E 图1

B

C 图2

E B

C 图3

B

问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图1、图2不同的情形吗？若存在，请在图3中画出，并选择图2或图3为例加以证明，若不存在请选择图2加以证明。

10．在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH

的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如

图所示：

小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论。下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：①ME＝MA。②∠ MON保持45不变。

请你对这二个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）：说明理由。 ①（ ）；②（ ）

E

N D A M

O

F

B

G

11．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB

于E。

求证：AE=BE。

A

E B

C C

H

F D

12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D。•求证：

•BC=3AD。

B

A

D

C

13．如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D， F为垂足，

DE⊥AB于E，且AB>AC。求证：BE－AC=AE。

D A

B F C

14．如图，BD平分∠MBN，A、C分别为BM，BN上的点，且BC>BA，E为BD上的

一点，AE=CE，求证：∠BAE+∠BCE=180°。

M A E D B

C

N

15．如右图E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是

F、G． 求证：AE=FG．

A B

E F

D G

C

16．如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，

E•为斜边AC的中点，求∠BDE的大小．

17．四边形ABCD中，AD∥BC，E是线段DC的中点，AE是BAD的平分线。

18．如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B。求作：点P，使点P在MN上，且∠

APM＝∠BPN。

B N

A

B

C

求证：BE是ABC的平分线。

A 1 D

A E

B

C

D 2 E M

19．在ABC中，AB = AC， E是AB上任意一点， 延长AC到F，使BE = CF，连

接EF交BC于M。 求证：EM = FM。 A

E C B M

20．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺

砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数 3 4 5 6 „ n 正多边形每个内角的度数 „

（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

（3）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌，请全部写出这两种正多边形。并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由。

F

全等三角形综合练习（五）

（补充资料二）

AC平分BAD，CEAB于E，1． 已知：如图，四边形ABCD中，且BD180，

求证：AEADBE。

A

2 1

D

E B

C

2． 如图，已知AD是△ABC的中线，DEAB于E，DFC于F，且BECF。

求证：（1）AD是BAC的平分线；（2）ABAC。 A 1 2

E F

B D C

CEAD交ABCB90，AD为腰CB上的中线，3． 如图，等腰直角三角形ABC中，

于E。求证：CDAEDB。

4． 在Rt△ABC中，CE是角平分线，与高ADA90，

E G B F

C

C 2 D 1 A E

B

A

D

交于F，作FG∥BC交AB于G。求证：AEBG。

5． 如图，已知△ABC是等边三角形，BDC120，说明ADBDCD的理由。

如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于F，且AEEF，说明ACBF的理由。 6．

7． 如图，在△ABC中，ABC100，AMAN，CNCP，求MNP的度数。

A B D

C

A E F B

D C

8． 如图，在△ABC中，ABBC，M、N为BC边上的

AC的两点，并且BAMCAN，MNAN。求MN P

A M B

C

A

B M N

C

度数。

9． 如图，已知BAC90，ADBC，12，EFBC，FMAC，说明

FMFD的理由。

A E B 2 1 M

D F C

10．已知：BCDE，BE，CD，F是CD的中点，

求证：12。

B A 1 2 E

C F

D

11．已知：12，CDDE，EF∥AB，求证：EFAC。

B

A

1 2 F

C

D E

12．已知：AC平分BAD，CEAB，BD180。求证：AEADBE。

C

D A

E B

13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分BC、BCD，且点E在

AD上，求证：BCABDC。 E A

B

14．已知：AB∥ED，EABBDE，AFCD，EFBC，求证：FC。

D

C

E D

C

F

A

B

15．如图，已知AD∥BC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交

AP于D。求证：ADBCAB。

P C

E D A B

16．如图所示，已知AEAB，AFAC，AEAC。求证：（1）CEBF；（2）

ECBF。

F

E A

M

C B

17．在Rt△ABC中，CACB，BD为AC上的中线，作ADFCDB，如图，连

结CF交BD于E。求证：CFBD。（提示：作AB边的中线CO。）

A

F

D

E C

18．等腰三角形的周长为10，腰长为x，则x的取值范围是 。 19．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H． 证明：△ABG ≌△ADE 。

B

D

G A H F

E B

C

20．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，A90，C30。折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BFCF8。（1）求BDF的度数。（2）求AB的长。



E

A D F

B

C

21．（2011年山东省日照市）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，

B M C E

D A （1）求证：DE平CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA。分BDC。（2）若点M在DE上，且DCDM，求证：MEBD。

22．在△ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合）。以AD为一

边在AD的右侧作△ADE，使ADAE，DAEBAC，连结CE。 ．．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果BAC90，则BCE 度。 （2）设BAC，BCE。

①如图2，当点D在线段BC上移动时，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由。

②当点D在直线BC上时，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论。

A

A

E

B

D

图1

A A E B

图2

C

C

B C 备用图1

B 备用图2

C

23．（1）如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连

结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由。

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

E G A D

F

B C

图1

全等三角形综合练习（六）（补充资料三）图2

1． 如图，在四边形ABCD中，ABBC，BF平分ABC，AF∥DC，连结AC、CF。

求证：CA是DCF的平分线。

A

D

F

B

C

2． 两个全等的含30、60角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E、A、C三点在

一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。

M D E B

A C

3． 如图，△ABC中，ACB90，ACBC1，将△ABC绕点C逆时针旋转角（090）得到△A1B1C1，连结BB1。设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、

AC于点E、F。

（1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明

（△ABC和△A1B1C1全等除外）；

（2）当△BB1D是全等三角形时，求；（提示：要分三种情况讨论。你知道为什么要讨论吗？）

A

A1F

E

B1

D



B C

4． （2006年广州中考24题）在△ABC中，ABBC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1不与点C重合）。 （1）如图1，当C60时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明； （2）当C60时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；

（3）当C60时，请你在图2中用尺规作图法作出△A1B1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得到的结论是否还成立？并说明理由。

A B1A

B C B C C1

图1 图2

5． （1）如图（1），点O是线段AD上的一点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC。求AEB的大小。

AB固定不动，保持（2）如图（2），△OB △OCD的形状和大小不变，将△OCDB

C E A

C D E O

图（2）

A

D O

图（1）

绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重合），求AEB的大小。

AC6． 如图，在△ABC中，ABBC将△ABC绕点B顺时针旋转得△A1B1C1，A1B交AC、BC于D、F两点。观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1于点E，AC11分别交

与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论。

C

D F A1 E A B

7． 如图，已知△ABC中，ABAC10cm，BC8cm，点D为AB的中点。

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒钟后，△BPD与△CQP是否

C1

全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点P的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相

遇？

A

D Q

C B P

8． 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CDBE，△AMN是等边三角形。 （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3,位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

C C C

N N N D

D D E M E M B E M B A A A B 图2 图3 图1

全等三角形综合练习（七）

（补充资料四）

1． （2009年安顺）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作

BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （1） 求证：BD=CD；

（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

A

F

E

C B D

2． （2009年泸州）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且

AE=CD，

AD与BE相交于点F．

A （1）求证：ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．

E

F

C B D

3． （2009年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、

DE交于点O。

A

求证：（1）△ABC≌△AED； （2）OB＝OE。

D O B

E

C

4． （2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点

P在矩形上方，点Q在矩形内．

P 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

A D Q C B

5． （09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关

于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． （1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

A

C

P

F

E D M

B

6． 如图1，在Rt△ACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，，将一个直角的顶点放在点O

处，两直角边分别交AC、BC于M、N。

C（1）求证：CM+CN=AC。

M

AO

图1

（2）如图2， 若点M、N分别在AC、CB的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。 M C

NBABON

图2

7． 如图1，在△ABC中，AB=AC,AC⊥AB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点

P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F。

（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CFCE=AC。

（2） 如图2，点F在线段CA的上时， AC、CE、CF三条线段的数量关系为

F EAAA

mmF

PE CBCCB PBFP E （图3） （图1） （图2）

（3）如图3，点F在线段AC的延长线上时， AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。

8． 如图，在∠EAF的平分线上取点B做BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P,顺时针

做∠PBQ=2∠ABC,另一边交AE于点Q。

（1） 当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC。

（2） 当点P在点A左侧时，AQ、AP、AC三条线段的数量关系为 。

E

B

Q A P C

F P A C

9． 如图1,在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH⊥BC于点H,点E

是BC上一点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M。

（1）若点M在CD边上时求证：FM-DM=CH。 AD

M

FBECH

（图1）

（2）如图2 若点M在CD边的延长线上时，FM、DM、CH三条线段有怎样的数量关系？

A

说明理由。

F

E Q B

M D F

B E H

C

10．已知：如图所示，直线MA∥NB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一

条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

（1）如图1所示，当D、E都在AB的同侧时，求证：BE+AD=AB；

（2）如图2所示，当D、E都在AB的两侧时，BE、AD、AB三条线段的数量关系为 。

11．已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45°角的顶点与点A重合,两边分别为射线AP和射线

AQ,过点C作AC的垂线交AQ于N;过点B作AB的垂线交AP于M,连接MN （1）如图1当射线AP和射线AQ在∠BAC内部时，求证BM+CN=MN

C

N

M D

A

B E

（2）如图2当射线AP和射线AQ在AB两侧时（1）的结论还是否成立，说明理由。 （3）如图3当射线AP和射线AQ在∠BAC外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。 Q PPNP

M

BBMM

B

QAC N

（图3） AAC （图1）C（图2）

N

12．已知AB=AC，∠BAC=90°，过点C作AC的垂线交射线AR于点E，将△ACE以AR

为轴向上翻折，翻折后点C落在点G处，再过点B作AB的垂线，交射线AG于点D。 （1）如图1，当射线AR与射线AG都在∠BAC的内部时，求证：AD=BD+CE； （2）如图2，当射线AR在∠BAC的内部，射线AG在的∠BAC外部时，（1）的结论还是

否成立，说明理由；

（3）如图3当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。 R

BE

DDB DCBG AERG E

图3

CAG图1 AC图2

R

2011年中考题欣赏

17．（2011贵州安顺，17，4分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．

y C P B A 60 O D 第17题图

D C

A x

B P

第10题图

【答案】P（3，4）或（2，4）或（8，4）

10．（2011年乌鲁木齐市）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）

A．

24．（2011年重庆市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB45，CD=2，BC⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。 求证：CF=AB+AF。

D A E F

B G

第24题图

23．（2011年重庆市）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

123 B． C． D．1 234C

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。 20．（2011年山东省聊城市）(8分)将两块大小相同的含30º角的直角三角板(∠BAC＝∠

B1A1C＝30º)按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90º)至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O． (1)求证：△BCE≌△B1CF； (2)当旋转角等于30º时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．

A(A1) A1

A

E B

F B

C 图1

B1

C 图2

B1