天津静海县第五中学高二数学理下学期期末试卷含解析

天津静海县第五中学高二数学理下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a等于( )

A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 参： D

＝2.5，＝3.5，∵回归直线方程过定点(，)，

∴3.5＝－0.7×2.5＋a，∴a＝5.25.故选D

2. 已知曲线C1：

，C2：

，则下面结论正确的是（ ）

A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，

得到曲线C2

B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，

得到曲线C2

C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，

得到曲线C2

D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，

得到曲线C2

参：

C 【分析】

由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得

出结论．

【详解】已知曲线，，

∴把

上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，可得

的图象，

再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故

选C．

【点睛】本题主要考查函数

的图象变换规律，属于基础题．

3. 已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，递减，都有

的大小关系是

A．

B． C． D．

参：

C

4. 在同一直角坐标系中，函数

的图像可能是（ ）

参：

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D 略

5. 已知函数

在R上恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A．(0,1) B．(e,+∞) C. (0,1)∪(e,+∞) D．(0,1)∪(e2, +∞)

参：

D 当

时，

，故

不是函数

的零点，

当

时，

等价于

令，则

当时，， 当时，， 当

时，

，

(1)当

时，

在有两个零点，故在没有零点，从而

，

(2)当或

时，在

有一个零点，故在

有一个零点，不合题意；

(3)当

时，在没有零点，故

在

有两个零点，从而

综上所述，或

，即实数a的取值范围是

故选D 6. 设

为等比数列

的前项和，已知

，

，则公比

（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

参：

B 略

7. 已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．10

B．20

C．30

D．40

参：

B

【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．

【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，

根据勾股定理得最短的弦|BD|=2

=4

，且AC⊥BD， 四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20

．

故选B

8. 已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，且，则

（ ）

A． B. C.

D.

参：

A

略

9. 设命题p：?n∈N，n2

＞2n

，则￢p为（ ） A．?n∈N，n2＞2n

B．?n∈N，n2≤2n

C．?n∈N，n2≤2n

D．?n∈N，n2=2n

参：

C

【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：?n∈N，n2≤2n， 故选：C．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 10. 已知向量

，

，且

，则的值为（ ）

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A．12 B．10 C．－14 D．14

参：

D

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11.

是定义在上的奇函数且满足

，当

时

，则

参：

12. 双曲线

﹣

=1的焦距为 ．

参：

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由双曲线方程可知：a2=4，b2=3，c==，则双曲线﹣=1的焦距2c=．【解答】解：由双曲线方程﹣=1，可知a=2，b2=3，

则c=

=

，

双曲线﹣=1的焦距2c=，

故答案为：

．

13. 为虚数单位，实数

满足

，则

.

参：

2

14. 如果直线直线，直线直线那么直线与直线的位置关系是 。

参：

平行或相交或异面

15. 已知是等比数列，，则公比=

参：

16. 关于x的不等式

的解集是R，求实数k的取值范围是 _______.

参：

【分析】

利用判别式△＜0求出实数k的取值范围． 【详解】关于x的不等式

的解集为R，∴△=k2-4×9＜0，解得

∴实数k的取

值范围为

.

【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题． 17. 等差数列项和为=

参：

10

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. △ABC的三个顶点分别为,求：

（1）AC边所在直线的方程；

（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程.

参：

解：（1） 由点斜式易得直线方程为

（2）直线DE的斜率为

，线段AC的中点坐标为

故由点斜式可得直线DE的方程为

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19. 在梯形PBCD中，A是PB的中点，DC∥PB，DC⊥CB，且PB=2BC=2DC=4（如图1所示），将三角形PAD沿AD翻折，使PB=2（如图2所示），E是线段PD上的一点，且

PE=2DE．

（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点F，使AE∥平面PCF？若存在，请指出点F的位置并证明，若不存在请说明理由．

参：

【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】（1）翻折后，△PAB是等边三角形，棱锥的高为△PAB的高，棱锥的底面ABCD是正方形，代入体积公式计算即可；

（2）过E作EG∥CD，EG交PC于G，连结GF，由线面平行的性质可得四边形AEGF是平行四边形，故而AF=EG=

，即AF=

．

【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点P作PO⊥AB于点O ∵在梯形PBCD有AD⊥PA，AD⊥AB

∴翻折后仍有AD⊥PA，AD⊥AB又∵PA∩AB=A ∴AD⊥平面PAB，∵PO?平面PAB，

∴AD⊥PO，又∵PO⊥AB，AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD，

∵PA=AB=PB=2，∴△PAB是等边三角形，∴

，

∴

，

（Ⅱ）存在点F，使AE∥平面PCF，此时，理由如下：

过E作EG∥CD，EG交PC于G，设F是线段AB上的一点，且

，连接FG，PF，CF，

∵PE=2DE，EG∥CD，

∴EG=，EG∥CD，

又∵AF=

，AF∥CD，

∴EG=AF，EG∥AF，∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AE∥GF，又∵AE?平面PCF，GF?平面PCF， ∴AE∥平面PCF．

【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面平行的判定与性质，属于中档题．20. 已知直线经过直线

与直线

的交点

，且垂直于直线

．

（1）求直线的方程；

（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

参：

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解：（Ⅰ）由

解得

由于点P的坐标是（，2）.

则所求直线与垂直，

可设直线的方程为 .

把点P的坐标代入得 ，即

.

所求直线的方程为

.

（Ⅱ）由直线的方程知它在轴、

轴上的截距分别是

、

，

所以直线与两坐标轴围成三角形的面积

略

21. 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。

（Ⅰ）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（II）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最大值。

参：

（I）

………………4分

为圆心是

，半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是2，短半轴长是4的椭圆。 ……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）当时，，故

……………………………………………………………8分

为直线，

到的距离……10分

从而当

时，

取得最大值

…………………………………………………12分

22. 已知函数.

（1）若是

的极大值点，求实数a的值；

（2）若

在(0,+∞)上只有一个零点，求实数a的取值范围.

参：

（1）（2）

【分析】

(1)首先对函数进行求导，然后通过极大值点所对应的导函数值为0即可求出的值，最后通过检

验即可得出结果；

(2)首先可以设方程并写出方程

的导函数，然后将

在

上只有一个零点转化为

在

上只有一个零点，再利用方程的导函数求出方程

的最小值，最

后对方程的最小值与0之间的关系进行分类讨论即可得出结果。

【详解】(1)，

因为是的极大值点，所以

，解得

，

当时，

，

， 令

，解得，

当

时，

，

在

上单调递减，又

，

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所以当故

是

时，的极大值点；

；当

时，

，

(2)令

在当

时，

，

上只有一个零点即

，

在

，

上只有一个零点,

时，

，

单调递增，所以

单调递减；当

.

（Ⅰ）当

上只有一个零点.

，即时，时，在上只有一个零点，即在

（Ⅱ）当，即时，取，

，

①若

，即

时，

在

和

上各有一个零点，即

在

上有2

个零点，不符合题意； ②当零点，

即

时，

只有在

上有一个零点，即

在

上只有一个

综上得，当时，在上只有一个零点。

【点睛】本题考查了函数与函数的导数的相关性质，主要考查了函数的极值、最值以及函数的零点的相关性质，考查了函数方程思想以及化归与转化思想，体现了基础性与综合性，提升了学生的逻辑推理、数算以及数学建模素养。