2019年北京怀柔高考一模数学试卷(理)及答案

数学(理)

第一部分(选择题共40分)

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)． 1．若集合A={x|(－1A．(－1,2) B．[1,2) C．[1,3] D．(－1,3] 2．复数

=

A．i B．i C．1i D．1i

yx,3．设x,y满足约束条件xy1,则z2xy的最大值为

x2, A．1

B．3 C．5 D．9

4．执行右图所示的程序框图，若输入x10，则输出y的值为

A．3 B．6 C．

3 25 D．

45．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥最长的棱长为 A． B．

C． D．

6．若函数f(x)2x2x，则f(x)

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 7．已知a,b是两个非零向量，则“ab”是“ab且ab”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康

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乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是

A．AB B． AB C．AB D．A、B的大小关系不确定

第二部分 (非选择题共110分)

二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)

9．已知抛物线y22px的准线方程为x1，则p__________．

10．若an是等比数列，且公比q4,a1a2a321，则an__________．

1的最小正周期是________，f(x的取值范围是__________． ）212．在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ上的点到点(1,)距离的最大值为 __________．

11．函数f(x)sinxcosxcosx2b，c是任意实数，能够说明“若cba且ac0，则abac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为13．设a，__________．

14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不

足近似值和过剩近似值分别为3.14159，令

bdbd和（a,b,c,dN），则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知acac3149163116，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每10155105次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为__________．

三、解答题(共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)

15．（本小题满分13分） 在

中，角，，所的对边分别是a，b，c，

，

．

（Ⅰ）求边c的值； （Ⅱ）若

16．（本小题满分14分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小； （Ⅲ）求二面角BNCM大小的余弦值.

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，求的面积．

1AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC2

17．（本小题满分13分）

某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工

每人手机月平均使用流量L(单位:M) 的数据，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3 人，求这3人中至多有1人手机月流 量不超过900M的概率；

（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出 两款流量套餐，详情如下：

套餐名称 月套餐费(单位:元) A B 20 30 月套餐流量(单位:M) 700 1000 流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.

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该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)lnxax(aR).

（Ⅰ）当a2时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的x(0,)，都有f(x)0，求a的取值范围.

19．（本小题满分13分）

x2y2 已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F(1,0)，点B(0,b)满足|FB|2.

ab（Ⅰ）求椭圆E的方程；

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（Ⅱ）过点F作直线l交椭圆E于M、N两点，若BFM与BFN的面积之比为2，求直线l的方程.

20．（本小题满分14分）

设集合W由满足下列两个条件的数列an构成： ①

anan2an1；②存在实数M，使anM（ n为正整数）. 2（Ⅰ）在只有5项的有限数列an、 bn中，其中a11,a22,a3=3，a44，b11,b24,b35,b44,b51，a55；试判断数列an、bn是否为集合W中的元素；

（Ⅱ）设cn是等差数列，Sn是其前n项和，c34,S318，证明数列SnW；并写出M的取值范围； （Ⅲ）设数列dnW，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使dkM．求证：dk1dk2dk3.

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数学(理) 参

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)． 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 C 6 A 7 A 8 A

二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)

n19. 2； 10. 4； 11. ，[22,]； 2212. 3； 13. 1,0,1； 14.

22 . 7三、解答题(共6小题，共80分．)

15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由

∴

（Ⅱ）在

所以整理得因为所以

，解得，所以面积

及正弦定理得

,

-----------------------------------------------------------------------------------5分 中，由余弦定理得

或。

。---------------------------------13分

（舍去）

，

16．（本小题满分14分）

证明：以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0,0,2），C（0,2,0），B（4,0,0），M（2,0,1），N（1,0,0），S（2,1,0）--------------2分 （Ⅰ）CM(2,2,1),SN(1,1,0)

CMSN2(1)(2)(1)100，

∴CM⊥SN ------------------------------------------------5分

（Ⅱ）CN(1,2,0)

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

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x2y0则，令y1，则x2，z2，

2x2yz0∴a=（2，1，-2）

cosa,SN2(1)1(1)0232 2∴SN与片面CMN所成角为45°。-------------------------------------------10分

（Ⅲ） 由（Ⅱ）知平面CMN的一个法向量a(2,1,2)，

又平面BNC的法向量为b(0,0,1)，且二面角BNCM为锐角，

∴cosa,b2010(2)12

133∴二面角BNCM的余弦值为.------------------------------------------14分

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为1(0.00020.0008)1000.9.

从该企业的员工中随机抽取3，可近似看为重复实验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M，设事件A为“3

12003人中至多有1人手机月流量不超过900M”，则P(A)C30.90.1C30.90.10.02823

------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）若该企业选择A套餐，设一个员工所需费用为X，则X可能为20，30，40。

X的分布列为

E(X)200.3X P 20 0.3 0.4400.30 0.6 40 0.1 30若该企业选择B套餐，设一个员工所需费用为Y，则Y可能为30，40。 Y的分布列为

E(Y)300.98Y P 30 0.98 40 0.02 400.02

所以该企业订购A套餐更经济. ----------------------------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）

）lnx2x， 解：（Ⅰ）当a2时，因为f(x） 所以f'(x112x2． f’(1)= －1, f(1)= －2, xx所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x+y+1=0------------------------------------5分 （Ⅱ）函数f(x)的定义域是{xx0}，

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）因为f'(x11axa， xxf'x>0恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递增，又因为f(1)a0，不合题意，

（ⅰ） 当a0时，

舍．

（ⅱ）当a0时，当0x111时，f'(x)0，函数f(x在(0,)上单调递增；当x时，f'(x)0，函）aaa数f(x在(,)单调递减． ）所以函数f(x在x）1a111ln1． 时，取得最大值f(）aaa1a1110，即a． ae0，即ln 因为对于任意x(0,)，都有f(x)0，所以只需令f(） 所以当a的取值范围是(,)----------------------------------------------13分 19．（本小题满分13分）

1ex2y2解 （Ⅰ） 椭圆E:221(ab0)的右焦点为F(1,0)，点B(0,b)满足|FB|2，

ab则1b2，解得b3(b0). 由公式c2a2b2，得a2134,a2(a0)

2a2,所以

b3.x2y21--------------------------------------------------5分 所以椭圆E的方程为43 （Ⅱ）直线l的斜率不存在时，FM设直线l的方程为y=k(x-1),

FM,SBFMSBFN,不符合题意；

由

yk(x1)x24y231 得，（3+4k2）x28k2x4k2120

设M(x1y1),N(x2,y2),

0恒成立。x1x2由

8k2 ①x1x234k24k212② 234kSBFM2，得|FM|2|FN|， 即FM2NF. SBFN可得(x11,y1)2(1x2,y2)， 即x12x23 ③

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4k294k29由① ③ 得，x1 ,x22234k34kk294k294k212代入② 得，，解得， k.222234k34k34k所以，所求直线l的方程为l:y20．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)对于数列{an}，当n=1时，

5(x1). ------------------------------------13分 2a1a32=a2，显然不满足集合W的条件①，故an不是集合W中的元素。 2b1b3bbbb3b2，244b3，353b4，而且有bn5，222 对于数列{bn}，当n{1,2,3,4,5}时，不仅有

显然满足集合W的条件①②，故bn是集合W中的元素。-----------------5分 (Ⅱ)∵cn是等差数列，Sn是其前n项和，c34,S318，设其公差为d， ∴c32dc3dc318，

∴d=-2

∴cnc3(n3)d2n10, Snn29n ∵

SnSn2SSn2Sn110，∴nSn1； 222∵Sn(n)9281， ∴Sn的最大值是S4S520,即SnS420。 4 ∴SnW，且M的取值范围是[20,+∞)-------------------------------------------------------------10分 (Ⅲ)证明：∵dnW，∴

dkdk2dk1， 2整理dk2dk1(dk1dk)dk1(dk1M)， ∵dkM，∴dk1M，∴dk2dk1； 又∵

dk1dk3dk2，∴dk3dk2(dk2dk1)dk2， 2∴dk1dk2dk3.--------------------------------------------------------------------------14分

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