空间点、直线、平面间的位置关系
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基础知iR襄打牟
11 C H U Z H I $ H I Y A 0 A L A 0
强取基 固本源 得募础分I 事覆程廈
［知识能否忆起］
、平面的基本性质 名称 图示 文子表示 如果一条直线上的两 点付号表示 公理1 A€ l, B€ l，且 A€a, B € 0? 1? a 在一个平面内，那么 这条直线在此平面内 过不在一条直线上的 三点，有且只有一个平 面 公理2 \\ P € a，且 P € 3? aCl 3 =l，且 P € l 如果两个不重合的平 面公理3 0 有一个公共点，那么 它们有且只有一条过 该点的公共直线 二、空间直线的位置关系 1. 位置关系的分类
相交直线：同一平面内, 有且只有一个公共点;
｛共面直线|平行直线：同一平面内,
没有公共点；
•异面直线：不同在任何一个平面
没有公共点
内, 2. 平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3. 等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4. 异面直线所成的角(或夹角)
(1) 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a'// a, b'// b，把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:
三、直线与平面的位置关系 /亠护¥方 位置大糸 图示 付号表示 1? a 公共点个数 无数个 一个 0个 直线1在平面a内 直线l与平面a相交 八/ l Cl a= A 直线l与平面a平行
Z / 1 〃 a 四、平面与平面的位置关系 /亠护¥方 位置大图示 糸 付号表示 公共点个数 两个平面平行 \\A 7 all 3 0个 两个平面相交 aC 3= l 无数个(这些公共点均在交线1上) 1•三个公理的作用
(1) 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上 的点在平面内.
(2) 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件. (3) 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线. 2. 异面直线的有关问题
(1) 判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平 面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图.
(2) 所成的角的求法：平移法.
師吾点］ 学技法］得拔高分| 拿握狸度
i**-
平面的基本性质及应用 ■典题导入
［例1］ （2012湘潭模拟）如图所示，在正方体 ABCD — AiBiCiDi中，E为AB的中点，F 为AiA的中点，
求证：CE , DiF, DA三线共点. ［自主解答］ •EF 綊qCDi,
•••直线DiF和CE必相交. 设 DiF n CE = P,
••P PiF 且 DiF?平面 AAiDiD, ••P € 平面AAiDiD.
又P €EC且CE?平面ABCD , ••P € 平面ABCD ,
即P是平面 ABCD与平面AAiDiD的公共点. 而平面ABCD n平面AAiDiD = AD. ••P 3D.
•CE、DiF、DA三线共点.
本例条件不变试证明 E, C, Di, F四点共面.
证••E, F分别是AB和AAi的中点， 明：
i
•'EF 綊2Ai B.又 AiDi 綊 BiCi 綊 BC.
•四边形AiDiCB为平行四边形. ••AiB CDi，从而 EF CDi. •'EF与CDi确定一个平面. ••E, Ci, F, D四点共面.
占由题悟法
i. 线上.
证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直
2•证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线
（或点）确
定一个平面，然后再证其余线 （或点）均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别 确定平面，再证平面重合.
3以题试法
1. （1）（2012江•西模拟）在空间中，下列命题正确的是 （ A .对边相等的四边形一定是平面图形 B .四边相等的四边形- -定是 平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D .有一组对角相等的四边形一定是平面图形
⑵对于四面体 ABCD，下列命题正确的是 __________ （写出所有正确命题的编号 ）. ① 相对棱AB与CD所在直线异面；
② 由顶点A作四面体的高，其垂足是△ BCD三条高线的交点；
③ 若分别作△ ABC和厶ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点. 解析：（1）由“两平行直线确定一个平面 ”知C正确. （2）由四面体的概念可知， 正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体 ABCD的对棱互相垂直时, 其垂足是厶BCD的三条高线的交点， 故②错误；当DA = DB , CA= CB时，这
两条高线共面， 故③错误；设 AB , BC, CD , DA的中点依次为E, F, M , N,易证四边形 EFMN为平行四 边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，
答案：（1）C （2）①④
故④正确.
AB与CD所在的直线为异面直线，故①
）
异面直线的判定 由典题导入
[例2] （2012金华模拟）在图中，G, N , M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线GH , MN是异面直线的图形有 ___________ .（填上所有正确答案的序号）
① ② ③ ④
［自主解答］图①中，直线GH /MN ;
图②中，G , H , N三点共面，但 M?面GHN , 因此直线GH与MN异面； 图③中，连接MG, GM /HN， 因此GH与MN共面；
图④中，G , M , N共面，但H?面GMN , 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. ［答案］②④
石由题悟法
1•异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行
或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面. 法在异面直线的判定中经常用到.
2.客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该 点的直线是异面直线.
此
&以题试法
2.
已知m, n, I为不同的直线，a, B为不同的平面，有下面四个命题：
① m, n为异面直线，过空间任一点 P, —定能作一条直线I与m, n都相交. ② m, n为异面直线，过空间任一点 P, —定存在一个与直线 m, n都平行的平面. ③ a丄B, aA 3= I, m? a, n? 3, m, n与I都斜交，则 m与n—定不垂直；
④ m, n是a内两相交直线，则 a与3相交的充要条件是 m, n至少有一条与 3相交. 则四个结论中正确的个数为 A. 1 C. 3
( )
B. 2 D. 4
解析：选B①错误，因为过直线 m存在一个与直线 n平行的平面，当点 P在这个平 面内且不在直线 m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线
m存在一个与直线n平行的
m丄n,在直线m上取
平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若 一点作直线a丄I，由a丄3得a丄n.从而有n丄a,贝U n丄I :④正确.
异面直线所成角 LI典题导入
［例3］ （2012大纲全国卷）已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，E, F分别为BBi, CCi的 中点，那么异面直线 AE与D1F所成角的余弦值为 ___________ .
［自主解答］连接DF，则AE/DF , •••D1FD即为异面直线 AE与D1F所成的角. 设正方体棱长为a,
则 D1D = a, DF = ~25a, D1F = ~25a,
… 3 ［答案］5
-由题悟法
求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： （1） 一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角; ⑵二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角, 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
初以题试法
3. （2012唐山模拟）四棱锥P — ABCD的所有侧棱长都为.5,底面ABCD是边长为2的 正方2 *5 A. 5
形，则CD与PA所成角的余弦值为（
B.
）
D.；
解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD // AB,则CD与PA所成的角即为 AB与FA所成的角/ PAB，在△ FAB内，FB= FA = ■.5, AB = 2,利用余弦定理可知:
cos / FAB = PA2+ AB2- PB2_ 5+ 4— 5 _近 2X FAX AB 2X 2八 5
5
［小题能否全取］
1.（教材习题改编）已知a, b是异面直线，直线 c平行于直线a，那么c与b（ ）
A .异面 C.不可能平行
B.相交 D.不可能相交
解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线， 但不可能为平行直 线，若b // c,贝U a// b.与a, b是异面直线相矛盾.
2. （2012东北三校联考）下列命题正确的个数为（ ① 经过三点确定一个平面； ② 梯形可以确定一个平面；
③ 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④ 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A. 0 C. 2
解析：选C ①④错误，②③正确. 3. 置关系是（
已知空间中有三条线段 AB, BC和CD，且/ ABC =Z BCD，那么直线 AB与CD的 位
B. 1 D. 3
）
）
A. AB / CD B. AB与CD异面 C. AB与CD相交
D. AB / CD或AB与CD异面或 AB与CD相交
解析：选D 若三条线段共面，如果 AB, BC, CD构成等腰三角形，则直线 AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直 线.
4. （教材习题改编）如图所示，在正方体 ABCD — AiBiCiDi中，E, F分别是AB , AD的中点，则异面直线 BiC与EF所成的角的大小为
解析：连接BiDi, DiC, 则 BiDi/EF,
故ZDiBiC 为所求，又 BiDi= BiC= DiC, ••』iBiC= 60 ° 答案：60°
5. （教材习题改编）平行六面体ABCD — AiBiCiDi中既与AB共面又与CCi共面的棱的条 数为 ________ .
解析：如图，与 AB和CCi都相交的棱有 BC;与AB相交且与CCi平行的棱有 AAi, BBi；与AB平行且与CCi相交的棱有CD , C1D1,故符合条件的棱共有 5条.
答案：5
基础MliR靈扫年
直线、平面平行的判定及性质
J I C H U Z H D S H I YAOIRALAO
［知识能否忆起］
一、直线与平面平行 1. 判定定理
文字语言 图形语言 符号 语言 a? 平面外一条直线与此平— 面判定定理
内的一条直线平行, 则 直线与此平面平行 — a、 b? a b // a」 ^ ? a / a 2.性质定理 文字语言 图形语言 付号语言 a/ a ' 卜？ a // b 一条直线与一个平面平 性质定理 行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该 aCl 6= bj 直线平行 二、平面与平面平行
1.判定定理
文字语言 图形语言 付号语言 a? a 、 b? a aA b= P » ? a// a / 3 b / 3 一个平面内的两条相交 判定定理 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 ' 3
2.两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 付号语言 如果两个平行平面同时 和性质定理 第三个平面相交，那 么它们的交线平行 ，心 IX 7 / a// 3 、 aA Y a* ? a // b 3A Y b J 线//线判定
判定 ------------- 判定 -------------- 性质 |线/面—质勺面/面性质
1.平行问题的转化关系:
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化， 即从“线
线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
3•辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性
质的应用.
由典题导入
[例1] （2011福建高考）如图，正方体 ABCD — AiBiCiDi中，AB = 2, 点E为AD的中点，点F在CD上•若EF //平面ABQ,则线段EF的长 度等于 _______________ .
［自主解答］ 因为直线 EF //平面ABiC, EF?平面ABCD，且平面 ABiCQ平面ABCD = AC,所以EF /AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得 1
=2AC.又因为在正方体 ABCD — AiBiCiDi中，AB = 2,所以AC = 2 2•所以EF = 2.
［答案］,2
EF
若M在四边形EFGH及其内部运动”，则
M满足什么条件时，有 MN //平面AiCiCA.
本例条件变为“ E是AD中点，F, G , H , N分别是AAi , AiDi, DD i与DiCi的中点, 解：如图,
••GN //平面AAiCiC, EG//平面 AAiCiC, 又 GN n EG = G,
•••平面EGN //平面AAiCiC.
•••当M在线段EG上运动时，恒有 MN //平面AAiCiC.
呂由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
(i)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视.
⑵结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
&以题试法
i. (i)(20i2浙江高三调研)已知直线I //平面a, P€ a,那么过点P且平行于直线I的直 线() A •只有一条，不在平面 a内 B .有无数条，不一定在平面 C.只有一条，且在平面 D .有无数条，一定在平面
a内
a内 a内
解析：选C由直线I与点P可确定一个平面 3,且平面a, B有公共点，因此它们有
一条公共直线,设该公共直线为 线只有一条，且在平面
m ,因为I // a,所以I // m ,故过点P且平行于直线I的直
a内.
(2)(2012潍坊模拟)已知m, n, li, I2表示直线，a, B表示平面.若m? a, n? a, li? B, 12? B IE 12= M,贝U all B的一个充分条件是(
A. ml B且 li l a C. m l B 且 n l I2
)
B • m // B且 n// B D . ml li 且 n l I2
那么这
解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行， 两个平面平行”可得，由选项
D可推知al B-
直线与平面平行的判定与性质 [例2] (2012辽宁高考)如图，直三棱柱 ABC — A' B ' C', / BAC = 90° AB= AC =羽，AA' = 1,点 M , N 分别为 A' B 和B' C'的中点.
(1) 证明：MN l 平面 A' ACC ';
1
(2) 求三棱锥 A' — MNC的体积.(锥体体积公式 V = §Sh, 其中S为底面面积，h为高)
［自主解答］(1)证明：法一：连接AB'、AC '，因为点M , N 分别是A' B和B' C'的中点，
所以点M为AB'的中点. 又因为点N为B ' C'的中点, 所以MN /AC' 又MN?平面A' ACC AC' ?平面 A' ACC', 因此MN l平面A' ACC'.
法二：取A' B '的中点P.连接MP.
而点M, N分别为AB '与B ' C'的中点，所以MP/AA ' , PN /A ' C '.
所以 MP l 平面A ' ACC ' , PN l 平面A ' ACC ' •又 MP n PN= P,
因此平面 MPN l平面A ' ACC ' •而 MN?平面 MPN ,
— NBC =
因此MN //平面A' ACC
(2)法一：连接 BN，由题意得 A' N IB' C '，平面 A B' C 'Q平面 B' BCC '=
故 V= 2VVM — NBC =
= 1
A' - MNC= VN-A ' MC N-A ' BC= gVA'
—NBC 6.
法二：V1
A' -MNC = VA
VA '
-NBC —
B' C'，所以A' N丄平面NBC. 又 A' N = 1B ' C' = 1 ,
吕由题悟法
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，
可先直观判断平
面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线.
畐以题试法
2. (2012淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体 ABCD — A1B1C1D1
中，E, F分别是BD , BB1的中点.
(1) 求证：EF //平面 A1B1CD ; (2) 求证：EF 丄 AD1.
解：(1)在正方体ABCD — A1B1C1D1中，连接B1D , 在平面BB1D内，E, F分别为BD , BB1的中点, ••EF BD.
又•••B1D?平面 A1B1CD. EF?平面 A1B1CD , ••EF //平面A1B1CD.
⑵'-ABCD — A1B1C1D1 是正方体,
•'AD1 ^A1 D, AD1 JA1B1. 又 A1D n A1B1 = A1, ••AD1 丄平面 A1B1D.
••AD1IB1D.
又由(1)知,EF B1D , /-EF_LAD1.
平面与平面平行的判定与性质 i典题导入
［例3］如图，已知ABCD — AiBiCiDi是棱长为3的正方体，点E 在 AAi 上，点 F 在 CCi 上，G 在 BBi 上，且 AE = FCi = BiG= 1, H 是 BiCi的中点.
⑴求证：E, B, F , Di四点共面；
⑵求证：平面 AiGH //平面BEDiF. ［自主解答］(i)在正方形AAiBiB中， '•AE = BiG= i, ••BG = AiE= 2, ••BG 綊 AiE.
•四边形AiGBE是平行四边形. •■AiG /BE. 又 CiF 綊 BiG,
•四边形CiFGBi是平行四边形. ••FG 綊 CiBi 綊 DiAi.
•四边形AiGFDi是平行四边形. • AiG 綊 DiF. •DiF 綊 EB.
故E, B, F, Di四点共面.
⑵--H是BiCi的中点，• BiH = 2
厂又 BiG= i , /B1HB=i 3G .
2 又 EC = f,且/FCB = /GBiH = 90 ° BC 3 •••△iHG s/CBF.
•••启 iGH = ZCFB = ZFBG.
3
5
••HG /FB.
••GH ?面 FBEDi, FB?面 FBED i ,「GH //面BEDiF. 由⑴知 AiG/BE, AiG?面 FBEDi, BE?面 FBEDi, AG //面BEDiF. 且 HG A AiG = G , •平面AiGH //平面BEDiF.
占由题悟法
常用的判断面面平行的方法 (1) 利用面面平行的判定定理；
(2) 面面平行的传递性(all 3,训Y all Y ； ⑶利用线面垂直的性质(I丄a, I丄3? a// 3 .
血以题试法
3. (20i2北京东城二模)如图，矩形 AMND所在的平面与直角梯 形MBCN所在的平面互相垂直，
MB // NC , MN丄MB.
(1) 求证：平面 AMB //平面 DNC ; (2) 若MC丄CB，求证：BC丄AC.
证明：(i)因为 MB /NIC , MB?平面 DNC , NC?平面 DNC , 所以MB //平面DNC.
又因为四边形AMND为矩形，所以MA /DN. 又MA?平面 DNC, DN?平面DNC. 所以MA //平面DNC.
又 MA A MB = M，且 MA, MB?平面 AMB , 所以平面 AMB //平面DNC. (2)因为四边形 AMND是矩形， 所以AM丄/IN.
因为平面 AMND丄平面MBCN，且平面 AMND A平面 MBCN = MN , 所以AM丄平面MBCN.
因为BC?平面MBCN , 所以AM JBC.
因为 MC _LBC, MC A AM = M , 所以BC丄平面AMC. 因为 AC? 平面 AMC， 所以BC JAC.
[ 小题能否全取 ]
1． （教材习题改编 ）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是 （ A •一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D •一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：选 D 由面面平行的定义可知， 一平面内所有的直线都平行于另一个平面时， 两 平面才能平行，故 D正确.
2.
已知直线a, b,平面a,则以下三个命题:
）
① 若a// b, b? a,贝U a// a; ② 若 a / b, a // a,贝Ub // a; ③ 若 a/ a, b// a,贝U all b.
其中真命题的个数是 （ A. 0 C. 2
解析：选A 对于命题①，若
）
B. 1 D. 3
a// b, b? a ,贝U应有a// a或a? a,所以①不正确;
对于命题②，若 a// b , a// a ,则应有b// a或b? a,因此②也不正确;
对于命题③，若a//a, b // a,则应有a // b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正 确. 3.
C到平面a的距离相等，那么直线 I与平面a的位置关系是（
A . I // a
C. I与a相交且不垂直
（教材习题改编）若一直线上有相异三个点A , B ,
）
B. I 丄 a D. I // a或I? a
解析：选D 由于I上有三个相异点到平面
a的距离相等，贝U I与a可以平行，I? a时
也成立.
4. ___________________________________________________________ 平面a//平面3, a? a, b? 3,则直线a, b的位置关系是 ______________________________________________
解析：由a//3可知，a, b的位置关系是平行或异面. 答案：平行或异面
5. （2012衡阳质检）在正方体ABCD — A1B1C1D1中，E是DD 1的中点，则BDi与平面ACE 的位置关系为 _________
解析：如图.
连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE /BD1,而OE?平面ACE, BD1?平面ACE，所以BD1 /平面ACE.
答案：平行
基础知MW
1 I C M U Z H I S H I Y A 0
［知识能否忆起］ 直线、平面垂直的判定与性质
一、直线与平面垂直 1. 直线和平面垂直的定义
直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 I与平面a互相垂直.
图形语言 付号语言 a, b? a] aA b = O. r ? I 丄 a 1丄a I丄b 一条直线与一个平面 判定定理 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平 面垂直 1心 k 7 b 」 如果在两条平行直线 推论 中，有一条垂直于平 面，那么另一条直线也 a a / b、 \\? b丄 a a丄a_ 垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 付号语言 a丄a b丄a 垂直于冋一个平面的两 性质定理 条直线平行 7 匚 a — b € a// b 、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面 判定定理
图形语言 付号语言 的垂线，则这两个平面 垂直 □ a j l丄a a 丄 3 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 付号语言 两个平面垂直，则一个 性质定理 平面内垂直于父线的直 线垂直于另一个平面
a_L 3 、 》？ 1丄a ad 3= a 1丄a」 1•在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件. 线面、面面垂直的转化关系，即:
L7 同时抓住线线、 线血垂百 线线垂直、一…厂：面面垂直 -------- 性质 ---------------
2•在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中 不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理.
3•几个常用的结论：
(1) 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2) 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
高频考点3EIB美
GAOP1N K.AOI>IAN YAO
垂直关系的基本问题LI典题导入
［例1］ （2012襄州模拟）若m, n为两条不重合的直线， a, B为两个不重合的平面，给 出下列命题：①若 m，n都平行于平面 a,则m，n—定不是相交直线；②若 平面a,贝U m, n—定是平行直线；③已知
m、n都垂直于
a, B互相垂直，m, n互相垂直，若 m丄a,则n
丄④m,n在平面a内的射影互相垂直，则m,n互相垂直.其中的假命题的序号是 ________________ .
［自主解答］①显然错误，因为平面 a//平面平面a内的所有直线都平行
所以3
内的两条相交直线可同时平行于 a；②正确；如图1所示，若aCl 3= I,且n/,当m丄a时， mln,但n//3,所以③错误；如图 2显然当m' Jn'时，m不垂直于n,所以④错误.
［答案］①③④
-由题悟法
解决此类问题常用的方法有： ①依据定理条件才能得出结论的， 作出判断；②否定命题时只需举一个反例.
可结合符合题意的图形
③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选. 初以题试法
1. （2012长春模拟）设a, b是两条不同的直线， a, 3是两个不同的平面，则下列四个 命题：
①若a丄b, a丄a, b? a,贝U b // a；②若a // a, a丄3贝U a丄3；③若 a丄3, a丄3,贝U a
// a或a? a；④若a丄b , a丄a, b丄3,贝a丄3-
其中正确命题的个数U
为
A. 1 C. 3
( )
解析：选D对于①,
B. 2 D. 4
由 b不在平面 a内知，直线b或者平行于平面
a,或者与平
面
相交，若直线b与平面a相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知\"a丄b”相矛盾, 因此①正确.对于②，由 a // a知，在平面a内必存在直线a1 // a,又a丄3,所以有aj丄3, 所以a丄3,②正确.对于③，若直线 a与平面a相交于点A,过点A作平面a 3的交线的 垂线m,则m丄3,又a丄3,则有a / m,这与\"直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正 确.对于④，过空间一点 O分别向平面a、3引垂线a1、b1 ,则有a // a1 , b / B ,又a丄b , 所以a1丄b1 ,所以a丄3,因此④正确•综上所述，其中正确命题的个数为
4.
直线与平面垂直的判定与性质 LI典题导入
［例2］ (2012广东高考)如图所示，在四棱锥P— ABCD中， AB 丄平面 PAD , AB // CD, PD = AD , E 是 PB 的中点，F 是 DC 1
上的点且DF = 2AB, PH PAD中AD边上的高.
(1)证明：PH丄平面 ABCD ;
⑵若PH = 1 , AD = 2, FC = 1,求三棱锥 E— BCF的体积;
(3)证EF丄平面
［自主解答］(1)证明：因为 AB丄平面FAD, PH?平面FAD , 所以PH JAB.
因为PH为APAD中AD边上的高，所以 PH 1AD. 因为 PH?平面 ABCD , ABA AD = A, AB, AD?平面 ABCD , 所以PH丄平面ABCD. 连接EG. ⑵如图，连接BH，取BH的中点G, 因为E是PB的中点， 所以EG PH , 1 1
且 EG = -PH = 2.
因为PH丄平面ABCD , 所以EG丄平面ABCD. 因为AB丄平面PAD , AD?平面PAD, 所以AB丄\\D.
所以底面ABCD为直角梯形.
所以 VE-BCF = 3SZSCF EG =1 • FC AD EG =鲁. (3)
证明：取PA中点M，连接 MD , ME.
1 因为E是PB的中点，所以 ME綊T^AB.
1
又因为DF綊^AB,所以ME綊DF，所以四边形 MEFD是平行四边形，所以 EF /MID.
因为 PD = AD，所以 MD _LPA. 因为AB丄平面PAD，所以 MD 1AB.
因为PAA AB = A,所以 MD丄平面FAB，所以EF丄平面FAB.
呂由题悟法
证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理.
⑵利用判定定理的推论(a// b, a丄a? b丄汰 ⑶利用面面平行的性质(a丄a, a// 3? a± 3). (4) 利用面面垂直的性质.
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
EJ以题试法
2. (2012启东模拟)如图所示，已知PA丄矩形ABCD所在平面, M , N分别是AB, PC的中点. (1) 求证：MN丄CD ;
(2) 若/ PDA = 45°求证：MN丄平面PCD. 证明：(1)连接 AC, AN, BN, ••PA丄平面 ABCD , /PA1AC,
1
在 Rt△AC 中，N 为 PC 中点，••• AN = ^PC. ••PA丄平面 ABCD，/PAJBC,又 BC _1AB, PAA AB= A,
••BC 丄平面 PAB./BC1PB.
从而在RtAPBC中，BN为斜边PC上的中线， 1
「BN = ?PC.
••AN = BN. •△BN为等腰三角形，又 M为AB的中点，• MN _LAB, 又 TAB CD , AMN JCD.
⑵连接 PM , MC ,VzPDA = 45 ° PAAAD, AAP = AD. • •四边形 ABCD 为矩形，• AD = BC,「AP = BC.
/
?
又为AB的中点，••• AM = BM. 而/PAM = ZCBM = 90° • △AM 也/CBM . •'PM = CM.
又N为PC的中点，• MN JPC.
由⑴知，MN _LCD , PC A CD = C，/MN 丄平面 PCD.
面面垂直的判定与性质 ［例3］ (2012江苏高考)如图，在直三棱柱 ABC — AiBiCi中，\"B!
=AiCi, D, E分别是棱 BC, CCi上的点(点D不同于点 C),且AD丄 DE , F为BiCi的中点.
求证： ⑴平面ADE丄平面BCCiBi； (2)直线 AiF //平面 ADE.
［自主解答］(i)因为ABC — AiBiCi是直三棱柱，所以 ABC,
又AD?平面ABC，所以CCiLAD.
又因为 AD IDE , CCi, DE?平面 BCCiBi, CCi A DE = E,
所以AD丄平面BCCiBi.又 AD?平面ADE , 所以平面ADE丄平面BCCiBi. ⑵因为AiBi= AiCi, F为BiCi的中点， 所以 AiF _LBiCi.
因为CCi丄平面AiBiCi，且AiF?平面AiBiCi, 所以 CCilAiF.
又因为 CCi, BiCi?平面 BCCiBi, CCi A BiCi= Ci,
CCi丄平面
ti
所以AiF丄平面BCCiBi.
由⑴知AD丄平面BCCiBi，所以AiF/AD. 又AD?平面ADE , AiF?平面ADE , 所以AiF //平面ADE.
呂由题悟法
1. 判定面面垂直的方法： （i）面面垂直的定义.
⑵面面垂直的判定定理（a丄B, a? a a丄
2. 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法：在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
$以题试法
3. （20i2泸州一模）如图，在四棱锥P— ABCD中，底面ABCD为 菱形，/ BAD = 60° Q为AD的中点.
⑴若PA= PD，求证：平面 PQB丄平面PAD;
⑵若点M在线段PC上，且PM = tPC（t>0），试确定实数t的值, 使得FA//平面MQB.
解：（1）因为FA = PD, Q为AD的中点，所以 PQ丄AD. 连接BD，因为四边形 ABCD为菱形，/ BAD = 60° 所以AB = BD. 所以BQ丄\\D.
因为BQ?平面PQB, PQ?平面PQB, BQA PQ = Q, 所以AD丄平面PQB.
x
&
A
i PA //平面
⑵当t = §时, MQB.
因为AD?平面PAD，所以平面 PQB丄平面PAD. 证明如下:
连接AC,设AC n BQ= O,连接 OM •在△AOQ与△COB中， 因为 AD BC,所以/OQA=ZOBC,ZOAQ = ZOCB. 所以…。―九所以OC=穿寸.所以A°=3，即°C=3.
1 _ CM 2 CM OC F
由 PM = 3PC，知 Cp = 3，所以 Cp = AC，所以 AP OM. 因为OM?平面 MQB, PA?平面 MQB，所以PA//平面MQB .
［小题能否全取］
1.
编）已知平面 a 3,直线I，若a丄3 an 3= 1,则（
A .垂直于平面 3的平面一定平行于平面 B .垂直于直线I的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面 3的平面一定平行于直线 I
D .垂直于直线I的平面一定与平面 a、3都垂直 解析：选D A中平面可与a平行或相交，不正确. B中直线可与 a垂直或斜交，不正确. C中平面可与直线I平行或相交，不正确.
2. （2012厦门模拟）如图，0 为正方体 ABCD — A1B1C1D1的底面 ABCD的中心，则下列直线中与 B1O垂直的是（
（教材习题改
）
a a
）
A . A1D C. A1D1
B . AA1 D . A1C1
解析：选D 易知AQ1丄平面BB1D1D. 又 B1O?平面 BB1D1D，••• A1C1 丄 B1O. 3.
已知a，3是两个不同的平面，m,n是两条不重合的直线，贝V下列命题中正确的是（ A .若 m // a， an 3= n，贝U m / n B. 若 m± a, m±n，贝U n/ a C. 若 m± a, n丄 3, a丄 3 贝U m±n D .若 a丄 3 an 3= n, ml n ,贝U m 丄 3
解析：选C 对于选项A，若m// a, an 3= n,则m// n,或m, n是异面直线，所以 A
错误；对于选项 B, n可能在平面a内，所以B错误；对于选项 D , m与3的位置关系还可 以是m? 3 m// 3或m与3斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知 C正确. 解析：由线面垂直知，图中直角三角形为 4个.
4•如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为
）
答案：4
5.(教材习题改编)如图，已知六棱锥 P — ABCDEF的底面是正六 边形，PA丄平面ABC, FA= 2AB.则下列命题正确的有 ____________ .
①FA丄AD ;②平面 ABC丄平面FBC;③直线 BC //平面FAE :④ 直线PD与平面ABC所成角为30°
解析：由FA丄平面ABC，/PA JAD，故①正确；②中两平面不垂
直，③中AD与平面FAE相交，BC AD，故不正确；④中 PD与平面ABC所成角为45°
答案：① 咼考真题
(19) (2012 安徽)
如图，长方体ABCD-ABGD!中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中
点，E是棱AA,上任意一点。
(I)证明：BD _ ECi ;
(U)如果 AB =2, AE = . 2 , AE = . 2 ,OE _ EC.求 AA 的长.
19.()本题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定
理求线段的长等基础知识和基本技能， 考查空间想象能力，推理论证能力和运算求 解能力•
(I)证明：连接AC，AiBi.
由底面是正方形知，BD _ AC.
因为AA」平面 ABCD，BD5平面ABCD,所以AAi _ BD. 又由 AAiQ AC=A,所以 BD _ 平面 AAiCiC. 再 由 ECi 第(佃)题图
—•平 面
AAiCiC
知， BD _ ECi.
(H)解：设AAi的长是h，连接OCi.
在 Rt △ OAE 中，AE= 2 ，AO=
故 OE2 =(三)2 (&)2 =4.
在 Rt △ EA1C1 中，AE = h — -«/2, AC1 = 2\\[2 , 故 EC： =(h 一 . 2)2 (2. 2)2.
2
在 Rt△ OCC1 中,0C 二,2,CC^ h , OG 二 h2 G. 2)2.
,O 即C
因为 OE 1 E ,c所以 O2
E EG
4 h(—「2 2 ,r 2「2 , )
2
(
2
解得 h = 3、、2 , 所以AA的长为3,2 .
(18) (2013 安徽)
如图，四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 2的菱形，• PB = PD =2, PA = V6 . (I)证明：PC _ BD
(n)若E为PA的中点，求三菱锥 P - BCE的体积•
【解析】
(1)证明：连接BD,AC交于O点
；PB = PD PO_ BD
)
.已知
Al
Bl
BAD =60
又 ABCD是菱形 .BD _ AC
而 AC PO=O . BD 丄面 PAC . BD 丄 PC ⑵由（1） BD丄面PAC
SA PEC =丄 SA PAC =1
Vp _BEC =VB_PEC
6 1
3 sin45 = 6 2 2 2
2
.3
2
=3
仔 3 2 2
【考点定位】 考查空间直线与直线，直线与平面的位置， •三棱锥体积等基础知识和基本技
S PEC BO 3 -
2
111
能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力 (19)( 2011 安徽)
如图，ABEDFC为多面体，平面 ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上,
OA=1， OD =2，△ OAB，△ OAC，△ ODE，△ ODF 都是正三角形。
(I)证明直线BC// EF ;
(n)求棱锥F-OBED的体积.
(19)(本小题满分13分)本题考查空间直线与直线， 直线与平面，平面与平面的位置关系, 空间直线
平行的证明， 多面体体积的计算，考查空间想象能力， 推理论证能力和运算求解能 力.
(I)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△ OAB与厶ODE都是正三角形, 所以
1
OB // — DE , OG=OD=2 ,
=2
同理，设G是线段DA与FC延长线的交点，有 0G丄0D = 2.
又由于G和G •都在线段DA的延长线上，所以 G与G •重合.
1 1
在厶GED和厶GFD中，由0B // — DE和0C// — DF，可知B和C分别是GE和GF
= =2 = 2
的中点，所以BC是厶GEF的中位线，故 BC // EF.
(II)解：由 0B=1 , 0E=2 , EOB =60 ,知SEOB 故SOED二＞ 3.
，而△ OED 是边长为 2 的正 三角形，
所以SoEFD -SEOB 'SoED -
过点F作FQ丄DG，交DG于点Q,由平面 ABED丄平面 ACFD知，FQ就是四棱锥
(19) (2010 安徽)
如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，AB=2EF=2 , EF//
AB,EF丄 FB, / BFC=90 , BF=FC,I■为 BC的中点， (I )求证：FH//平面EDB;
(U)求证：AC丄平面EDB;
(川)求四面体B — DEF的体积；
(本小题满分13分)本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计 算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力
.
(I )证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点.连EG，GH，由于H为 1 BC 的中点，故 GH // AB且 GH=—AB
2
1
又 EF// AB且 EF=—AB
2
••• EF// GH.且EF=GH二四边形EFH助平行四边形. ••• EG// FH,而 EG u 平面 EDB 二 FH//平面 EDB.
(U)证：由四边形 ABCD为正方形，有 AB丄BC.
又 EF// AB 二 EF丄BC.而 EF丄FB,： EF 丄平面 BFC 二 EF 丄FH.
••• AB丄FH.又BF=FC H为BC的中点，FH丄BC.： FH丄平面 ABCD.
FH 丄 AC.又 FH// EG 二 AC 丄 EG.又 AC 丄 BD EGH BD=G ••• AC丄平面EDB.
（川）解：••• EF丄 FB,Z BFC=90，二 BF丄平面 CDEF.
••• BF 为四面体 B-DEF的高.又 BC=AB=2,二 BF=FC= .2
V
B_DE^
=1
.2.1^2^^ = 3 3 2
3
20） 09安徽
如图，ABCD的边长为2的正方形，直线I与平面ABCD平行，E和F是丨上的两个不同点， 且EA=ED，FB=FC, E'和F ■是平面ABCD内的两点，EE ■和 FF ■都与平面 ABCD垂直,
A
第20题图
（1）
证明：直线 EF •垂直且平分线段 AD : 若/ EAD= / EAB =60°,EF =2,求多面
（2）
体ABCDEF的体积。
解：由 EA = ED 且 EE，_ 面 ABCD •••点E/在线段AD的垂直平分线上，同理
点F，在线段BC的垂直平分线上，又 ABCD是正方形
•线段BC的垂直平分线就是线段 AD的垂直平分线，即点E/、F/都在线段AD的垂直平 分线，所以直
线EF •垂直且平分线段AD。
(2)连接EB、EC。由题设知，多面体 ABCDEF可分割成正四棱锥 E — ABCD和正四面体 E— BCF两部分。
设 AD 的中点为 M，在 Rt△ MEE/ 中，由于 ME/=1 , ME= 3 ,二 EE/= \\ 2
1 / 1
V
E ABCD
S
3
正方形 ABCD
* EE 二
3
3
S
ABC * EE
V
E _BCF =Vc _BEF
=VC_BEA 二VE _ABC
'VE _BCF = 2 '、
•••多面体ABCDEF的体积为VE/BCD
2
(19). (08 安徽
如图，在四棱锥 O-ABCD中，底面 ABCD四边长为1的 菱形，.ABC , OA _ 底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 4 的中点。
(I)求异面直线 AB与MD所成角的大小 ； (H)求点B到平面OCD的距离。
1 9方法一(综合法)
(1) ：CD || AB,
• M DC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)
作AP _CD于P,连接MP
••• 0A_ 平面A BC D , • CD_ MP / ••• ADP
兀 寸2 , • DP=——
4 2
••• MD 二 MA2 AD2 = 2 , • cos MDP =艺」,MDC \"MDP」一 MD
2 3
所以AB与MD所成角的大小为
3
(2) T AB I平面OCD；.点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP过点A作AQ _ OP于点Q,
到平面 A
• 36 •
v OP = , OD2 - DP2 二 一 OA2 AD2 - DP2
4 1 一 2 =立,AP = DP 二―32 2 2
2
,AC=BC= 2AA1 , D 是棱 AA1
心2
••• AQ =喪 3.2 OP 2
，所以点
3
B到平面
OCD的距离为-
—2
3
(19)(本小题满分12分)
如图，三棱柱 ABC — AIBQI中，侧棱垂直底面，/
的中点
(I )证明：平面 BDC!±平面 BDC
ACB=90
(n)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
(18)解：
(I )当日需求鱼5》17时.利润y = 85・ 当口需求©n<17时，利润y = 10n-85・ 所以y关于巾的函数解析式为
MV 17,
(neN).
• 36 •
(II ) ( i )这】00天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天
的日利润为75元，天的日利润为85元・所以这100天的日利润的平均数为
■j^(55 x 10 + 65 x 20 + 75 x 16 十 85 x ) = 76.4 .
(ii )利润不低于75元当且仅当日需求缰不少于16枝.故当天的利润不少于75 元的槪率为
p = 0」6 + 0」6 + 0」5 + 0」3 + 0・1 = 0・7 .
(19)证明:
(I )由题设知BC丄CC「BC丄AC. CCjn^C = C>所以3C丄平面ACC}A{. 又DGu平面ACCXAX,所以DC】丄BC・
由题设知ZA.DC^ZADC^AS0 ,所以ZCDC} = 90° ,即丄DC・又 DCr\\BC^C ,所以DCt丄平面BDC•又DC】u平面BDC「故平面BDC；丄平面BDC.
(II)设棱锥B - DACC,的体积为％, ^C = l.由题意得
rK = 1 1+2 . . I
1
—3 x ----- 2 x 1x1=—2
.
又三棱柱ABC-AXBXCX的体积卩=1 ,所以
故平面BDC、分此棱柱所得两部分体积的比为1:1・ (20)解：
(I )由已知可得△肪Q为等腰直角三角形，|BQ| = 2p,圆F的半径|丹卜运p. 由抛物线定义可知/i到/的距离〃二|E4| = 41p •
因为△effQ的面积为4运，所以*国£)卜〃 =4血，即|-2p>/2p = 4^, 解得 p = -2 (舍去)，p = 2.
所以F(0,1),圆F的方程为
X+d)2 =8.
分)
17.(本小题满分13
1
• 36 •如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD丄PD, BC=1, PC=2翻,PD=CD=2.
(I )求异面直线PA与BC所成角的正切值； (II )证明平面 PDCL平面ABCD
(III )求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
([> 妇在四HI P-ABCD^. ABCD
JD- /JC \\YAD> BC t 心册为 、
XZ)丄 PD* 故 ZPJO ^Vrilu fl 改 PA S 肮:脐成的俏.
\\ \"J PD
\\ 、\\ 在 Rl △尸GPA J^PAD^ — = 2.
' AD
\\ \\ 卿乩 样脚门线几|仃曲而战仰妁疋仍(fi为2. \\
I II)证明’血F底面址矩形・^ADLCD・£ ZfH f AD LPD.D ■国此 ADI
；・
平血 A9CD m 5-ifil nc 1 f [fi ABCD ”
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业申酣円>r内*垃和尸件胚丄交介堆违枢鼬.
mr PDC L #ifil ABCD.而化紋“)址申血PD(仃甲面川《。时JSit 故尸庁丄fill ABCP 由此那EPHE为\"段尸B *J ¥db鼻肮7)咕破的flr
在△/7>c 中.fti r rn = cn = 2 ・ rcnJL 可 M/rcmio 4 Rt Ara' JJL ff A
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