10幂函数与复合函数 - 拔高难度 - 讲义

知识讲解

一、幂函数的定义

定义：一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中是常数．

二、幂函数的图象

1yxyxyxyxyx函数的图象：

2312yy=x3y=x2y=xy=x1y=-1-1O11xx

定义域 值域 奇偶性 yx R R 奇函数 yx2 yx3 yx 12yx1 R [0,) R R 奇函数 [0,) [0,) (，0)(，0)(0，) (0，) 偶函数 0]上减 在(，非奇非偶函数 奇函数 0)和在(，单调性 单调递增 )上增 在[0，单调递增 单调递增 (0，)上单调递减 公共点 图象所在象限

(1，1) (1，1) (1，1) (1，1) (1，1) 一、三 一、二 一、三 一 一、三 三、幂函数的性质

1)； )都有定义，并且图象都通过点(1，（1）所有的幂函数在(0，)上是增函数； （2）a0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0，（3）a0时，①幂函数在(0,)上是减函数；

②在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．

（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数yxm奇偶性

①当n为偶数时，yxm为偶函数；

②当n为奇数，m为奇数时，yxm为奇函数； ③当n为奇数，m为偶数时，yxm为非奇非偶函数．

nn，当n为偶数时，yx为偶函数；当n为奇数时，yx特别地：幂函数yxn（nZ）

nnnn为奇函数．

四、复合函数

1.定义：如果y是u的函数，记为yf(u)，u又是x的函数，记为ug(x)，且g(x)的值

域与f(u)的定义域的交集非空，则确定了一个y关于x的函数yf(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，yf(u)叫做外层函数，ug(x)叫做内层函数．

2.性质：①单调性：同增异减；

函数 内层函数ug(x) 外层函数yf(u) 复合函数yf(g(x)) 增 增 增 增 减 减 单调性 减 增 减 减 减 增 ②奇偶性

函数 内层函数ug(x) 外层函数yf(u) 复合函数yf(g(x)) 奇 奇 奇 奇 偶 偶 奇偶性 偶 奇 偶 偶 偶 偶 注：研究复合函数的性质时，要时刻注意函数的定义域．

2f(x)log(axbxc)(m0，m1) m3.复合函数

a0a0①若f(x)的定义域为R，试探究a，b，c应满足的条件：或b0 2b4ac0c0a0a0acf(x) ②若的值域为R，试探究，b，应满足的条件:或2b0b4ac0

经典例题

一．解答题（共11小题）

1．（2017秋•临川区校级期中）已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数． （1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）=f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

2．（2017秋•静宁县校级期中）已知幂函数y=f（x）=x＜2，m∈Z）满足

（1）在区间（0，+∞）上为增函数

（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=0，求同时满足（1）、（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．

3．（2017秋•连江县校级期中）已知幂函数f（x）=x9﹣3m（m∈N*）的图象关于原点对称，且在R上单调递增． （1）求f（x）表达式；

（2）求满足f（a+1）+f（3a﹣4）＜0的a的取值范围．

4．（2016秋•麦积区校级期中）已知幂函数y=x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小． （1）求m的值； （2）求满足（a+1）

5．（2017秋•新罗区校级期中）已知幂函数f（x）=x

（m∈Z）为偶函

（其中﹣2＜m

＜（3﹣2a）

的

a的范围．

数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）= +2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

6．（2017秋•四川期中）已知幂函数 上单调递增．

（1）求m的值并写出f（x）的解析式；

（2）试判断是否存在a＞0，使函数g（x）=（2a﹣1）x﹣a•f（x）+1在[﹣1，

2]上的值域为 ， ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

在（0，+∞）

7．（2012秋•磁县期中）已知函数f（x）=﹣xm，且f（4）=﹣．

（1）求m的值；

（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

8．（2017秋•静宁县校级期中）已知函数f（x）是幂函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（f（ ））=8 （1）求函数f（x）的解析式

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由 （3）若函数g（x）=[f（x）]实数a的值．

9．（2017秋•安康期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．

﹣ax（a∈R）在[1，2]上的最小值为﹣，求

（1）求实数m的值；

（2）若函数g（x）=af（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值等于最小值的2倍，求实数a的值．

10．（2016秋•镇赉县校级月考）已知函数f（x）=x＜f（3）

（1）求实数k的值；

（2）试判断是否存在正数p，使函数g（x）=1﹣pf（x）+（2p﹣1）x在区间[﹣

1，2]上的值域为[﹣4，]，若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由．

（k∈Z）且

f（2）

11．（2009秋•普陀区校级期末）给出集合A={﹣2，﹣1， ， ，，1，2，

3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．

（1）试写出所有符合条件的a，说明理由； （2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明； （3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．