浙江省杭州2023年八年级下学期期中数学试卷 (1)

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√12 B．√ 21

1C．√3 D．√13 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（ ） A．√20=2√10 B．√2×√3=√6 C．√4−√2=√2

D．√(−3)2=−3

4．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是90分、80分，则小明的学期数学成绩是（ ） A．80分

B．82分

C．84分

D．86分

5．四边形的内角和等于 𝑥° ，五边形的外角和等于 𝑦° ，则下列关系成立的是（ ） A．𝑥=𝑦

B．𝑥=2𝑦

C．𝑥=𝑦+180

D．𝑦=𝑥+180

6．关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑘−1)𝑥2−2𝑥+3=0 有两个不相等的实根，则 𝑘 的取值范围是（ ） A．𝑘<3 C．0≤𝑘≤3 44

B．𝑘<3 且 𝑘≠1 D．𝑘≠1

4

7．如图，▱ 𝐴𝐵𝐶𝐷 与▱ 𝐷𝐶𝐹𝐸 的周长相等，且 ∠𝐵𝐴𝐷=60° ， ∠𝐹=110° ，则 ∠𝐷𝐴𝐸 的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

8．某电影上映第一天票房收入约 3 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房

收入达到 10 亿元.若增长率为 𝑥 ，则下列方程正确的是（ ） A．3(1+𝑥)=10 C．3+3(1+𝑥)2=10

B．3(1+𝑥)2=10

D．3+3(1+𝑥)+3(1+𝑥)2=10

9．关于 𝑥 的方程 𝑎(𝑥+𝑚)2+𝑏=0 的解是 𝑥1=−2 ， 𝑥2=1(𝑎，𝑚，𝑏 均为常数， 𝑎≠0) ，则方程 𝑎(𝑥+𝑚+2)2+𝑏=0 的解是（ ） A．𝑥1=0 ， 𝑥2=3 C．𝑥1=−4 ， 𝑥2=2

B．𝑥1=−4 ， 𝑥2=−1 D．𝑥1=4 ， 𝑥2=1

10．如图，点 𝑃 是▱ 𝐴𝐵𝐶𝐷 内的任意一点，连接 𝑃𝐴 、 𝑃𝐵 、 𝑃𝐶 、 𝑃𝐷 ，得到 △𝑃𝐴𝐵 、 △𝑃𝐵𝐶 、 △𝑃𝐶𝐷 、 △𝑃𝐷𝐴 ，设它们的面积分别是 𝑆1 、 𝑆2 、 𝑆3 、 𝑆4 ，给出如下结论中正确的是（ ）

①𝑆1+𝑆3=𝑆2+𝑆4 ； ② 如果 𝑆4>𝑆2 ，则 𝑆3>𝑆1 ； ③ 若 𝑆3=2𝑆1 ，则 𝑆4=2𝑆2 ； ④ 如果 𝑃 点在对角线 𝐵𝐷 上，则 𝑆1 ： 𝑆4=𝑆2 ： 𝑆3 ； ⑤ 若 𝑆1−𝑆2=𝑆3−𝑆4 ，则 𝑃 点一定在对角线 𝐵𝐷 上.

A．①③④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．②④⑤

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11．若二次根式 √2𝑥−1 有意义，则x的取值范围是 ．

12．已知 𝑥=𝑎 是方程 𝑥2−3𝑥−5=0 的根，代数式 𝑎2−3𝑎+4 的值为 . 13．已知五个正数 𝑎 ， 𝑏 ， 𝑐 ， 𝑑 ， 𝑒 ，平均数是4，方差为2，则 3𝑎+1 ， 3𝑏+1 ， 3𝑐+1 ， 3𝑑+1 ， 3𝑒+1 这五个数的平均数是 ，方差是 . 14．如图，▱ 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线 𝐴𝐶 与 𝐵𝐷 相交于点 𝐸 ， ∠𝐴𝐸𝐵=45° ， 𝐵𝐷=2 ，将 △𝐴𝐵𝐶 沿 𝐴𝐶 所在直线翻折 180° 到其原来所在的同一平面内，若点 𝐵 的落点记为 𝐵′ ，则 𝐷𝐵′ 的长为 .

15．对于实数 𝑚 ， 𝑛 ，定义一种运算 ∗ 为： 𝑚∗𝑛=𝑚𝑛+𝑛. 如果关于 𝑥 的方程 𝑥∗(𝑎∗𝑥)=

−4 有两个相等的实数根，则 𝑎= .

16．如图，在▱ 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线 𝐴𝐶 、 𝐵𝐷 相交于点 𝑂 ，点 𝐸 、 𝐹 分别是边 𝐴𝐷 、 𝐴𝐵 上的点，连结 𝑂𝐸 、 𝑂𝐹 、 𝐸𝐹. 若 𝐴𝐵=7 ， 𝐵𝐶=5√2 ， ∠𝐷𝐴𝐵=45° ，则

1

① 点 𝐶 到直线 𝐴𝐵 的距离是 . ②△𝑂𝐸𝐹 周长的最小值是 . 三、计算题（本题共1小题，共10分） 17．计算：

（1）(√16)2−√25+√(−2)2 ； （2）(√48−√27)÷√3 .

四、解答题（本题共6小题，共52分） 18．解方程：

（1）𝑥2−4𝑥−7=0 ； （2）3𝑥(𝑥−1)=2−2𝑥 .

19．某市举行知识大赛， 𝐴 校、 𝐵 校各派出5名选手组成代表队参加比赛 . 两校派出选手的比赛成绩如图所示.

根据图中信息，整理分析数据： 𝐴 校 𝐵 校 平均数 / 分 85 85 中位数 / 分 85 𝑎 众数 / 分 85 𝑏 请你结合图表中所给信息，解答下列问题： （1）a= ； 𝑏= ； （2）填空： （填“A校”或“B校”）

① 从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是 ； ② 从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是 ； （3）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.

20．如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点.请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上，

（1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； ．．

（2）在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10.

21．如图，在▱ 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，点 𝐺 ， 𝐻 分别是 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷 的中点，点 𝐸 ， 𝐹 在对角线 𝐴𝐶 上，且 𝐴𝐸=𝐶𝐹 .

（1）求证：四边形 𝐸𝐺𝐹𝐻 是平行四边形；

（2）连接 𝐵𝐷 交 𝐴𝐶 于点 𝑂 ，若 𝐵𝐷=10 ， 𝐴𝐸+𝐶𝐹=𝐸𝐹 ，求 𝐸𝐺 的长.

22．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示.已知 𝐴𝐷=52𝑚 ， 𝐴𝐵=28𝑚 ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为 0𝑚2 .

（1）求通道的宽是多少米？

（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，求停车场的月租金收入最多为多少元？ 23．如图，平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线 𝐴𝐶 ， 𝐵𝐷 交于点 𝑂 ， 𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷 ，交 𝐵𝐶 于点 𝐸 ，且 ∠𝐴𝐷𝐶=60° .

（1）求证： 𝐴𝐵=𝐴𝐸 ；

（2）若 𝐵𝐶=𝑚(0<𝑚<1) ， 𝐴𝐶=4√3 ，连接 𝑂𝐸 ；

𝐴𝐵

① 若 𝑚=2 ，求平行四边 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积； ② 设 𝑆四边形𝑂𝐸𝐶𝐷1

=𝑘 ，试求 𝑘 与 𝑚 满足的关系.

𝑆△𝐴𝑂𝐷

1．D 2．A 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．B 10．C 11．x≥ 2 12．9 13．13；18 14．√2 15．0 16．5；2√2

17．（1）解：原式 =16−5+2 =13 ；

（2）解：原式 =√48÷3−√27÷3 =4−3

=1 .

18．（1）解： 𝑥2−4𝑥−7=0

𝑥2−4𝑥+4=7+4 (𝑥−2)2=11 𝑥−2=±√11 解得： 𝑥1=2+√11 ， 𝑥2=2−√11 ； （2）解： 3𝑥(𝑥−1)=2−2𝑥

3𝑥(𝑥−1)−(2−2𝑥)=0 3𝑥(𝑥−1)+2(𝑥−1)=0 (𝑥−1)(3𝑥+2)=0

131

𝑥−1=0 ， 3𝑥+2=0 解得： 𝑥1=1 ， 𝑥2=−3 . 19．（1）80；100 （2）A校；B校

2

=5×[(75−85)2+(80−85)2+2×(85−85)2+(100−85)2]=70 ， （3）解： 𝑆𝐴

2

𝑆𝐵=5×[(70−85)2+(75−85)2+(80−85)2+2×(100−85)2]=160 ， 22

. ∴𝑆𝐴<𝑆𝐵

1

1

2

∴A校派出的代表队选手成绩较为稳定.

20．（1）

（2）

21．（1）证明： ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷 ， ∴∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐻𝐶𝐹 ，

∵ 点 𝐺 ， 𝐻 分别是 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷 的中点， ∴𝐴𝐺=𝐶𝐻 ， ∵𝐴𝐸=𝐶𝐹 ，

∴△𝐴𝐺𝐸 ≌ △𝐶𝐻𝐹(𝑆𝐴𝑆) ， ∴𝐺𝐸=𝐻𝐹 ， ∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐶𝐹𝐻 ， ∴∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐻𝐹𝐸 ， ∴𝐺𝐸//𝐻𝐹 ， 又 ∵𝐺𝐸=𝐻𝐹 ，

∴ 四边形 𝐸𝐺𝐹𝐻 是平行四边形；

（2）解：连接 𝐵𝐷 交 𝐴𝐶 于点 𝑂 ，如图：

∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶 ， 𝑂𝐵=𝑂𝐷 ， ∵𝐵𝐷=10 ， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=5 ， ∵𝐴𝐸=𝐶𝐹 ， 𝑂𝐴=𝑂𝐶 ， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐹 ， ∵𝐴𝐸+𝐶𝐹=𝐸𝐹 ， ∴2𝐴𝐸=𝐸𝐹=2𝑂𝐸 ， ∴𝐴𝐸=𝑂𝐸 ，

又 ∵ 点 𝐺 是 𝐴𝐵 的中点， ∴𝐸𝐺 是 △𝐴𝐵𝑂 的中位线， ∴𝐸𝐺=2𝑂𝐵=2.5 . ∴𝐸𝐺 的长为2.5.

22．（1）解：设通道的宽为x米，根据题意得： (52−2𝑥)(28−2𝑥)=0 ， 解得： 𝑥=34 （舍去）或 𝑥=6 ， 答：通道的宽为6米；

（2）解：设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为y元， 根据题意得： 𝑦=(200+𝑎)(50−5) ， 整理，得 𝑦=−5(𝑎−25)2+10125 ， 所以，当 𝑎=25 时，y有最大值为10125； 答：每停车场的月租金收入最多为10125元. 23．（1）证明： ∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=60° ， ∠𝐵𝐴𝐷=120° ， ∵𝐴𝐸 平分 ∠𝐵𝐴𝐷 ，

∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐷=60°

1

𝑎

1

∴△𝐴𝐵𝐸 是等边三角形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸 ；

（2）解： ①∵𝐵𝐶=𝑚=2 ， ∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶 ， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐵𝐶 ，

2∴𝐴𝐸=𝐶𝐸 ， ∵∠𝐴𝐵𝐶=60° ， ∵𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶=2 ， ∴∠𝐵𝐴𝐶=90° ，

当 𝐴𝐶=4√3 时， 𝐴𝐵=4 ，

∴ 平行四边 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积 =2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=4×4√3=16√3 ；

1

𝐴𝐵

1

1

1

𝐴𝐵

1

②∵ 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐷=𝑆△𝐵𝑂𝐶 ， 𝑆△𝐵𝑂𝐶=2𝑆△𝐵𝑂𝐷 ， ∵△𝐴𝐵𝐸 是等边三角形， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐵=𝑚𝐵𝐶 ，

∵△𝐵𝑂𝐸 的 𝐵𝐸 边上的高等于 △𝐵𝐷𝐶 的 𝐵𝐶 边上的高的一半，底 𝐵𝐸 等于 𝐵𝐶 的 𝑚 倍， 设 𝐵𝐶 边上的高为 ℎ ， 𝐵𝐶 的长为 𝑏 ， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=2×𝑏ℎ ， 𝑆△𝑂𝐵𝐸=1×ℎ×𝑚𝑏=𝑚𝑏ℎ ，

224∴𝑆四边形𝑂𝐸𝐶𝐷=𝑆△𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝑂𝐵𝐸=∵𝑆△𝐴𝑂𝐷=2×2×𝑏=∴

𝑆四边形𝑂𝐸𝐶𝐷𝑆△𝐴𝑂𝐷

1

𝑚

1

𝑏ℎ2

1

1

−

𝑚𝑏ℎ4

=(2−4)𝑏ℎ ，

1𝑚

ℎ𝑏ℎ4

，

4𝑏ℎ=(2−4)𝑏ℎ×

=𝑘 ，

∴2−𝑚=𝑘 ， ∴𝑚+𝑘=2 .