傅里叶变换与拉普拉斯变换

性质名称 傅里叶变换的性质 拉普拉斯变换的性质 傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系 ℱ[𝑓(𝑡)𝑢(𝑡)𝑒−𝛽𝑡]=ℒ,𝑓(𝑡)- ℱ,𝛼𝑓1(𝑡)+𝛽𝑓2(𝑡)- =𝛼𝐹1(𝜔)+𝛽𝐹2(𝜔) ℱ−1,𝛼𝐹1(𝜔)+𝛽𝐹2(𝜔)- =𝛼𝑓1(𝑡)+𝛽𝑓2(𝑡) （𝛼,𝛽是常数） ℱ,𝑓(𝑎𝑡)-=1𝜔𝐹() |𝑎|𝑎ℒ,𝛼𝑓1(𝑡)+𝛽𝑓2(𝑡)- =𝛼𝐹1(𝑠)+𝛽𝐹2(𝑠) ℒ−1,𝛼𝐹1(𝑠)+𝛽𝐹2(𝑠)- =𝛼𝑓1(𝑡)+𝛽𝑓2(𝑡) （𝛼,𝛽是常数） 1𝑠𝐹() 𝑎𝑎（𝑎>0） ℒ,𝑓(𝑡−𝜏)-=𝑒−𝑠𝜏𝐹(𝑠) ℒ−1,𝑒−𝑠𝜏𝐹(𝑠)-=𝑓(𝑡−𝜏) ℱ,𝑓(𝑎𝑡)-=（当t<0时,f(t)=0，𝜏为任一非负实数） 完整写法： ℒ,𝑓(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡−𝜏)-=𝑒−𝑠𝜏𝐹(𝑠) ℒ−1,𝑒−𝑠𝜏𝐹(𝑠)- =𝑓(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡−𝜏) 线性性质 相似性质 （𝑎为非零常数） 延迟性质 位移性质 时移性质 ℱ,𝑓(𝑡−𝑡0)-=𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝐹(𝜔) （𝑡0为实常数） ℱ−1,𝐹(𝜔−𝜔0)-=𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑓(𝑡) ℱ[𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑓(𝑡)]=𝐹(𝜔−𝜔0) （𝜔0为实常数） ℱ,𝐹(𝑡)-=2𝜋𝑓(−𝜔) 频移性质 位移性质： ℒ,𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)-=𝐹(𝑠−𝑎) (a为一复常数) 对称性质 1.像原函数的导数：ℒ[𝑓(𝑛)(𝑡)]= 微分性质 1.像原函数的导数： ℱ[𝑓(𝑛)(𝑡)]=(𝑗𝜔)𝑛𝐹(𝜔) 2.像函数的导数： 𝐹(𝑛)(𝜔)=(−𝑗)𝑛ℱ,𝑡𝑛𝑓(𝑡)- ℱ,𝑡𝑛𝑓(𝑡)-=𝑗𝑛𝐹(𝑛)(𝜔) 𝑡𝑛𝑠𝑛𝐹(𝑠)−∑𝑠𝑛−𝑖𝑓(𝑖−1)(0) 𝑖=12.像函数的导数 𝐹(𝑛)(𝑠)=(−1)𝑛ℒ,𝑡𝑛𝑓(𝑡)- ℒ,𝑡𝑛𝑓(𝑡)-=(−1)𝑛𝐹(𝑛)(𝑠) 1.像原函数： 𝑡0𝑡0𝑡0ℱ[∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡] 积分性质 =−∞1𝐹(𝜔)+𝜋𝐹(0)𝛿(𝜔) 𝑗𝜔ℒ*∫𝑑𝑡∫𝑑𝑡⋯∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡+ 当 𝑡→+∞−∞𝑙𝑖𝑚∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡=0 时，即 𝐹(0)=0 有 𝑡ℱ[∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡]=−∞𝑡1𝐹(𝜔) 𝑗𝜔1𝐹(𝑠) 𝑠𝑛（像原函数是𝑓(𝑡)关于𝑡的n次积分） 2.像函数的积分： 𝑓(𝑡)ℒ[𝑛] 𝑡==∫𝑑𝑠∫𝑑𝑠⋯∫𝐹(𝑠)𝑑𝑠 𝑠𝑠𝑠∞∞∞（像函数是𝐹(𝑠)关于𝑠的n次积分） +∞∫能量积分 =𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 1∫|𝐹(𝜔)|2𝑑𝜔 2𝜋−∞−∞+∞（帕塞瓦尔等式，|𝐹(𝜔)|2为能量密度函数（或称为能量谱密度））

卷积在傅里叶变换与拉普拉斯变换中的运用：

项目名称 傅里叶变换 拉普拉斯变换 若已知函数𝑓1(𝑡),𝑓2(𝑡)都满足：当t<0时，𝑓1(𝑡)=𝑓2(𝑡)=0，则积分 ∫𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)𝑑𝜏(𝑡>0) 0𝑡若已知函数𝑓1(𝑡),𝑓2(𝑡)在(−∞,+∞)内有定义，则积分 +∞∫定义 −∞𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)𝑑𝜏 称为函数𝑓1(𝑡)与𝑓2(𝑡)的卷积，即 称为函数𝑓1(𝑡)与𝑓2(𝑡)的卷积，即 𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)= 𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)= +∞𝑡∫𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)𝑑𝜏 ∫𝑓1(𝜏)𝑓2(𝑡−𝜏)𝑑𝜏(𝑡>0) −∞0卷积定理 ℱ,𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)- = 𝐹1(𝜔)∙𝐹2(𝜔) ℱ,𝑓1(𝑡)∙𝑓2(𝑡)- =1𝐹(𝜔)∗𝐹2(𝜔) 2𝜋1ℒ,𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)- = 𝐹1(𝑠)∙𝐹2(𝑠) ℒ−1,𝐹1(𝑠)∙𝐹2(𝑠)- =𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡) ℒ,𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)∗⋯∗𝑓𝑛(𝑡)- 𝑛=∏𝐹𝑖(𝑠) 𝑖=1