浙江师范大学05年数学分析解

数学分析试题解答

一（每小题8分，共48分）计算题

1、求极限 解 原式limlim3. x0x(1x1x)x2sin2xxsinxxsinxx limlim3x0x0x0xx1x1x2lim1cosx3x2x01x1x2x0lim

sinx12lim

3x06x2、求级数

2nnx的和.

n1解 作

fxn2xn1，则

n1nnx x0f(t)dtn1作gxnxn1，则

n1nx xg(t)dt0n1x 1x因此gx1(1x)2

x0f(t)dtx(1x)22

12x(1x)2(1x)3dxfxdx(1x)1x(1x)3

于是 ，原式xfxxx2(1x)3

1k13、求级数 的和.

kk1k12k111111 解 因，故n1k1kk1k1kk1n为了求

2k1，作fxk1k2k1k1k1x2k1，

2k1kx211 则fx1x221x1xk1x1dt[tarctant]xarctanx fx1201t0xf(1)1π 4π因此，原式f(1)1

4114、求dyedx的值.

0y1xx2001x2解 原式dxedy

exxxedx2022e1 20n15、求极限 limlimcosm!πx

mn解 因cosm!πx的周期为

2m!，

故当

x为有理数时，存在正整数

qp和整数q使得x，这时当

mp时，

pcosm!πx1，limcosm!πxnn1，

而当x为无理数时，cosm!πx1，limnncosm!πx0

因此，原式1,当x为有理数时，当x为无理数时

06、求极限 1nlimn11n21nn

n解 原式11nlim1

k1knn1 dxln1x1ln2 01x0

二（14分）已知实数列{an}收敛于a，且

Sna1a2ann，用定义证明{Sn}也收敛于a. 证记biaia，Kb1b2bk，则0，正整数k，使ana12(nk), 因

n0，故正整数k1，使得Kn2， 令k2max{k,k1}，则当nk2时，有

a1a2anaKbk1bk2bnnnnKnknn2 得