多元函数积分学(重积分,曲线曲面积分)知识点总结和做题技巧

内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分

的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分的应用

要求

1. 2. 3. 4. 5. 6.

理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。

掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。 7. 了解散度与旋度的概念，并会计算。

8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、

质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。

陈氏第12技（专利技巧） 第一节 多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）

一、 基本内容

1、常用性质与定理

①比较定理 fgfx,ydgx,yd  d   dxdy

DD②估值定理 M,m分别为fx,y在闭区域D上的最大与最小值，A为D的面积，则

mAf,xydsD MA③中值定理

● fx,y在D上连续，则,Dfx,ydsf,A

D ● fx,y, gx,y在D上连续，则,Dfx,yfx,ydf,gx,yd

DD④几何意义

fx, yd等于以D为底，以zfx, y为顶的曲顶柱体的体积。

D2、二重积分的对称性

223

如果积分区域D具有轴或点对称（令D1表示D的一半区域，即D中对应y0部分，余类

2推），被积函数fx, y同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧每年都必出题，务必理解记住下列对称性定理。

1.D关于X轴对称（D关于Y轴对称类推）

2f(x,y)dxdy, f是关于y 的偶函数，即 f(x,y)f(x,y) f(x,y)dxdyD120, f(x,y)f(x,y)

D2.D关于X, Y都对称

D4f(x,y)dxd,y  f(x,y)f(x,y)f(x,y)D1 f(x,y)dxdy4f (xy,)fx(或y,)fx(,y)fx(y,)0, 3. D关于YX轴对称

4. 万能轮换对称性 适合六类积分(二重，三重，曲线（一二型），曲面（一二型）)。 ● 轮换对称性概念

如果将x与y及z交换，即xy , yz，zx后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。

● 当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如

)ff(x,ydxdyDDy(x,dxdy) a 区域关于x,y轮换，则

Dfx,ydfy,xdD1[fx,yfy,x]d 2Db 区域关于x,y,z轮换

224

fxdfydfzd1[fx,y,zfy,z,xfz,x,y]d 33、二重积分次序选择原则

①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量； 【例1】计算 IDx2dxdy, D由xy=2, y=1x2,x2所围。 2y2解：x幂次高，所以先积yD:1x2,y1x2

x221x2xx27I2dxdydx2dy =+arctan2- 21yy84xD②若被积函数只有一个变量，就后积此变量； 【例2】IDsinydxdy，D由yx, xy2所围。 y解：被积函数只有一个变量y，先积x ID1sinyysinydxdydy2dx1sin1

0yyy③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。 4、换元法技巧

以尽可能简便D为出发点，再参考fx,y,z的特征。如球对称，用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。

Dfx,ydxdyf[xuv,y,uv,Dx,y]dudv u,vx,y,zdudvdw

u,v,w

fx,y,zdxdgdzf[xu,v,w,u,v,w]xx,yu 其中雅可比矩阵 u,vyu5、莱布尼茨关于变限积分的求导公式

x1v yu,vvx,yxfx,ydxxfx,ydydyfx,xxfx,xx xdxxx 225

二、重要题型与解法秘诀

【例3】D1:1x1, 2y2, I1(x2y2)dxdy

D1D2: 0x1, 0y2, I2(x2y2)dxdy

D2解：f为偶函数数，D1关于x,y都对称，D12正好是D1的

4，故 Ix2y2)dxdy

xdxdy2ydxdy214I2(D2D2D22dy1x2dx2y2dy1

0000dx4【例4】计算 Ixydxdy 1 D22 2 D21:xy22x2y22:x2y22xyD解：（1） D关于x,y对称

fx,yxy关于x,y都是奇数Ixydxdy0

D（2）D关于原点对称，fx,yxyfx,yxy, fx,y为偶函数，故

fx,yd2Dxyd22dsin2cosdr=D00r3sin16

【例5】 更换积分次序 I12xx20dx0fx,ydy22x1dx0fx,ydy 解： D0x11x21: 0y2xx2 及 D2: 0y2x 作D1和D2图形，得：

I10dy2y11y2fx,ydx

【例6】 交换积分次序 I2dxx2fx,ydy8dx81x2xfx,ydy

解： D1x22x81 xyx2 D2xy8 画出D1,D2图形，得： I4y1dyyfx,ydx8dyy42fx,ydx

226

【例7】更换积分次序 Idx02sixn00fx, ydy

2arcsiny 解： Idy01arcsinyarcsinyfx, ydxdy1arcsinyfx, ydx

【例8】更换积分次序 I2d2acos0 f,d解：如改为先后则有下列两点技巧 ① D的边界曲线全都用极坐标表示

② 若以原点o为圆心的一系列同心圆与y区域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线2a把的区间分为两个正规区域：

arccosarccosarccos2a D22a2a D1202a2a2aI2a0darccos42af,d2a2adarccos2aarccosf,d

2a 三、被积函数是非初等函数（比如带绝对值）

【例17】 I0x1yx2dxdy D

0y2解：题中yx2为隐含边界

Iyx2dxdyx2ydxdy

D1D2211x2252 dx2yxdydxxydy

1x1032【例18】 Isin(xy)dxdy D:0x, 0y

D解：Isin(xy)dxdysin(xy)dxdy

D1D2 227

dx0x0sin(xy)dy(,)0dxxsin(xy)dy 2xy 【例19】 Isgn(xy)ex2y2dxdy D:x2y1x2 D2y Iex2y2dxdyy2dxdy Dex2y2dxdy1Dex2D3D1,D3关于Y轴对称（二个区域），而被积函数相等， 故x D 1D3Iex2y2dxdy2x2y2dxdy24d1rer2dr0 D21e04(e1)2D2 【例20】 I3x4ydxdy D:x2y21

D解：I220d103rcos4rsin rdr50sin()d10r2dr arcta34n 52530sin()d230sind1030sind203

（利用Tf(xa)dxaT0af(x)dxT0f(x)dx)）

同步练习：

xyx292y2dxdy D:x2y21 答案：16。 D【例21】计算Ix2xydxdy

y21 解：隐含边界为 xy0，令

D31, | 44, 01 D32, | 474, 01 D, | 144, 01

228

Ix2y21xydxdyxydxdyxydxdyxydxdyDD1D22xydxdyD1D1D2Dxydxdy 2xydxdy0  因为 D 关于x, y 都对称，所以xydxdy=0 

D1D1D2D=4xdxdy  因为 D关于 x, y 具有轮换对称性 D344cosd2d401423【例22】Icosxyd，D:由yx, y0, xD2所围。

解：隐含放边界 cosxy0xy

2 在图上画出此辅助线。用D1表示积分区域的下半部分，则：

2I2cosxyd2dy

0D14022yycosxydx

224cosxyyydy241sin2ydy021【例23】计算I1x2y2dxdy D: Maxx, y1。

D解：隐含边界1x2y20x2y21把区域D的第一象限部分分为左右两子域D1 和 D2

I1x2y2dxdy D=41x2y2dxdy41x2y2dxdyD1D2 81x2y2dxdy4D1D2D11x2y2dxdy

282d12d4001D2D112xdxdy8111134dy12x2dx002244四、对称性的应用

【例24】 设区域D由yx3,y1,x1所围，试计算Ix[1yf(x2y2)]d

D解：作辅助线yx3，则D分为D1和D2。显然，D1关于X轴对称，D2关于Y轴对称。

229

Ix[1yf(x2y2)]dx[1yf(x2y2)]dD1D2 xd0x3

dy2D1xdxx315【例25】 计算I(x2y22sinx4y4)d D:x2y2 2Dpqa解：由于D关于X，Y轮换对称性，故

x2(y2I2sinx4y4)d 中被积函数又可以轮换，积分值不变

Dpq又由于D关于X，Y轴均对称，故

2sinxd0 4yd0

DD1x2y2y22(qpx2Iq)d4dDpD 1(1p1q)(x2y2)d4a22D 1

(11)20a0r2dr4a22pq 4(1p1q)a44a2bb【例31】设fx, y为恒大于零的连续函数，求证：fxdx1aafxdxba2。证明：采用二重积分的逆向思想。设 D: axb, ayb，

bbbbIfxdxa11fxafxdxfxdxadyafydxdyDfybbbbIfxdx1f

aaxdxfydya1fyafxdxdxdyDfxI1fxfy2dxdydxdyDfyDfx 1fxf2ydxdy12fxfydxdy12dxdyba2Dfyfx2Dfyfx2D

230

多元函数积分学之二（三重积分、曲线、曲面积分）

一、三重积分

1．关系网络环连

Ⅰ 曲面积分 Ⅱ 高斯公式 斯托克斯公式（平面格林公式） 格林公式 三重积分 投影 不定积分 二重积分 定积分 Ⅱ 曲线积分 Ⅰ 代 入 替换

2．三重积分的对称性 ① 关于X0Y平面对称

2f(x,y,z)d, f(x,y,z)f(x,y,z) f(x,y,z)d10, f(x,y,z)f(x,y,z)

② 关于X0Y和X0Z平面都对称

4f(x,y,z)d, f(x,y,z)f(x,y,z) f(x,y,z)d10, f(x,y,z)或f(x,y,z)f(x,y,z)

③ 关于3个平面都对称

8f(x,y,z)d, f(x,y,z)f(x,y,z) f(x,y,z)d10, f 关于 x，y，z 之一是一个奇函数

3． 直角坐标下三重积分的二种方法

1.穿线法（先一后二法）：先做关于某个变量的定积分，然后做关于另外两个变量的二重积分，例如，先对z积分，则将投影到X0Y平面得投影域Dxy，过Dxy内任意一点x,y作平行于Z轴的直线，使之与相穿，下部边界穿入点z1z1(x,y)，上部边界穿出点得z2z2(x,y)， 则

231

f(x,yz.d)dxdyDxyz2(xy,)z1(xy,)fx(yz,dz. )2. 切片法（先二后一法或截面法）先做某两变量的二重积分，然后做关于另一变量的定积分，例如先计算关于X，Y的二重积分，然后计算关于Z轴的定积分，则先将投影到Z轴得坐标z[c,d]，然后对任给z[c,d]，对坐标为z且平行于X0Y平面的截面，截得到一个平面闭区域Dz，则

f(x,y,z)ddcdzDz(f,x,y)z dxdy评 注：切片法常用于被积函数仅是z的函数，或用垂直于z的平面去截所得Dz是圆域或其一部分时的情形！尤其最适合于旋转体。 评 注 三重积分没有法线方向，穿线沿坐标轴正向。

22【例35】 计算Iz2dv 为x2y2z2R 与x2y2z2的公共部分Rz解：由于被积函数不含x,y，使用切片法简便

z

R

为相交平面 2

由于截面非正规区域，故需分成上下两部分1,2

x2y2z2R2x2y2z22Rz 2: 1:RRzR0z22截面D1(z):x2y2R2z2, rR2z2 截面D2(z):x2y22Rzz2, r2Rzz2 Iz2dvz2dv

12 Rzdz2R2R2D1(z)2dz2dz2R20R20D2(z)d

59R 4802 Rz(Rz)dzz2(2Rzz)dz25【例36】Izdv {(x,y,z)|zx2y23z, 0z4}

 232

解一：切片法。是正规区域。

Izdvzdzrdrd0Dz4 Dz{(x,y,z)|zx2y23z,zz}

3zIzdzd0042zrdz128解二：穿线法。由于区域非正规，需用x2y242分成2个正规区域D1xoy{(x,y)|x2y242},D2xoy{(x,y)|16x2y248}IrdrdrzdzrdrdrzdzD13D23r4

drdrrzdzd003024r2434rdrrzdz12834解三：使用球面坐标，在球面坐标系中，

sxsincon ysinsizcos平面z4cos4而

4 cosyoz平面x2y2zzy14

yoz平面x2y23zy3ztan22y32z3Id3d044cos0

cos2sind128【例37】I(x2y2)dv,是由曲线y22z, x0绕Z轴旋转一周而成的曲面与两平面Z=2，

Z=8所围的立体。

解法一： 切片法

旋转曲面方程 x2y22z, 2z8

D(z):x2y22zIdz(x2y2)dxdy2D(z)8

dzd20822z0r2rdr336解法二：使用柱面坐标，在柱面坐标系中，

233

xrcs oyrsin zzD(z):x2y22zr22z0r2zI822z22dz0d0rrdr336

4． 三重积分次序更换技巧

【例41】 I(xyz)2dv {(x,y,z)|0xy,z,

解：由于关于X，Y，Z具有轮换对称性，则

x2dvy2dvz2dv xydvyzdvzxdv从而：I3x2dv6xydv1dz1dx1

(3x250006xy)dy2【例42】求椭球体的体积 x2y2z2a2b2c21 解：作广义极坐标变换换xarcosybrsin

zc1r2 Jab rV82d1400c12abrdr3abc

【例43】 Izdxdy d :x2y2z24与抛物面x2y23z 所围解： 柱坐标系 2z24z23z1 3Idxdy422322zdzDdd4200zdz13xy334 对柱坐标系最先对z积分方便。

【例44】.计算(x2z2)dv :x2y2z21

 234

解 I(x2z2)dv(y2x2)dv(y2z2)dv

23I2(x2y2z)dv

1228Idd22sind003015

【例45】Ix2y2dxdydz : 由曲线y22z, x0绕z轴旋转一圈而成的曲面与

z2, z8所围。

解： 旋转体方程为 x2y22z；选用柱坐标，由于z方向穿线为非正规区域，故使用柱面

x2y24将分为两个正规区域，在xoy上的投影也分成两个区域

Idddzdd22dz

D12D22822 482282d3ddzd3d2dz336

200202【例46】 Ix2y2dxdydz  由 x2y2z2锥面与za所围，a0。

解： 用球坐标

 I4d020dacos202rsin2rsindr10a2

【例47】设由曲面x2y22z和曲面z4x2y2所围成，将Ifx, y, zdv化为三

种坐标下的三次积分。 解：（1）直角坐标系

22z2xy2z222 为两曲面的交线，其投影区域 D:xy4，在Dxy内 xy222xy4z4xy任意点沿Z轴正向作直线，即穿线，上下交点分别由唯一方程决定，故为正规区域，可直接计算 I22xy24x4x2y2fx, y, zdvx2y2fdzdxdydx22dyx2y2xy22Dxyy22fx, y, zdz

2xrsincos（2）球坐标系 yrsinsin

zrcos

235

区域D是一个穿线非正规区域，由于交线上存在z2, r2arctan故锥面yarctan1，x44是一个分界面，把D分为 04 和

42两个正规区域。

2x2y22zr2coscsc又  ，所以有 422z4xyrcossin Ifx, y, zdvdd424cossin22frsinrdrdd22cos2cscfr2sinrdr

000400xrcos（2）柱坐标系 yrsin

zz 为正规区域，x2y22zz122r ，于是 z4x2y2z4r Ifx, y, zdv2d2rdr4r0r2f dz

02评 注 显然本题选用柱坐标计算要简便很多，可见，选择合适的坐标系是至关重要的。5．物理上的应用（质心、惯量、引力） (1) 平面物体的质心

x(x,y)dxdy(x,y)dxdyxD(x,y)dxdy yy0D(x,y)dxdy

0(2)平面转动惯量

Ixy2(x,y)dxdy Iyx2(x,y)dxdy I0x2y2(x,y)dxdy

DDD(3) 空间物体的质心

,zdxdydzx,y,zdxdydzzx,y,zdxdydzxxx,yx,y,zdxdydz yy,zdxdydz z,y,zdxdydz

x,yx(4)空间转动惯量

Ix(z2y2)dxdydz Iy(x2z2)dxdydz

Ix2)dxdydz I2z(y20(x2y2z)dxdydz

 236

二、曲线积分与曲面积分

2.1 曲线积分与曲面积分的对称性

第一类曲线与曲面积分同重积分一样，都可以利用积分曲线（曲面）关于坐标轴（面）的对称性或者关于积分变量的轮换性来简化计算，具体来说：

a第一类曲线积分的对称性

① 曲线l关于X轴对称（l关于Y轴对称类推）

② 曲线l关于x,y轮换对称

l f 的偶数，y 2f(x,y)ds,关于f(x,y)dsl1f x(,y)fx(y,)0, f(x,y)f(x,y)



lf(x,y)dsf(y,x)dsl1f(x,y)f(y,x)ds 2lb第一类曲面积分的对称性

① 关于X0Y平面对称（关于其他两个平面对称类推）

2f(x,y,z)d, f x(y,,z)fx(y,,z) f(x,y,z)d1f x(y,,z)fx(y,,z)0, ② 关于X0Y和X0Z平面都对称

4f(x,y,z)d, f x(,y,z)fx(y,z,) f(x,y,z)d10, 或,)fx(y,,z)fx(y,z,)f x(,yz③ 关于3个平面都对称

8f(x,y,z)d, f (x,y,z)fx(y,z,) f(x,y,z)d10, x，，yz 之一是一个奇函数f 关于④ 关于x,y轮换对称（关于其他两对坐标x, z, y, z的轮换对称类推）

f(x,y,z)df(y,x,z)d

c第二类曲线和第二类曲面积分的对称性

第二类积分只能用到轮换对称性，其他的不能直接用。一般先将之转化为第一类积分才可以使用对称性定理，或者先转化为定积分或二重积分后才可利用对称性结论。

237

2.2曲线积分的计算方法—转化为定积分。

2.1.1 第一类对弧长的曲线积分的计算方法 a).

f(x,y)dlLf[(t),(t)]2(t)2(t)dt ()

b).

Lf(x,y)dlf[x,y(x)]1y2(x)dx (x1x2)

x1y2y1x2 c).

f(x,y)dlLf[x(y),y]1x2(y)dy (y1y2)

 d).

Lf(x,y,z)dlf[,,]2(t)2(t)2(t)dt ()

评 注1：公式d)具有一般性。具体计算分三步：第一步，写出弧微分，第二步，将L方程代 入被积函数，第三步，确定定积分的上下限，注意上限大于下限。

评 注 2 第一类对弧长的曲线积分的几何意义是：如设是母线为L，准线为平行于Z轴的

, y  fx, y “柱面”，介于平面z0和曲面zfx之间的部分，则 0的侧面积，的值就是柱面这一点对某些计算题很有应用价值，参见【例】。lf(x,y)dL物理意义是：当L的线密度为fx, y时，f(x,y)dl的值就是L的质量。f(x,y)dl具

LL有方向无关性和叠加性，计算方法本质上是转化为定积分。

【例49】计算 IexL2y2arctanx2y2dl L:x2y21,y0

解： Iearctan1dlLee2dl 4L4x2y2(2xy3x24y2)dl 1，周长为a，则计算I【例50】l:43l 解：l关于y轴对称，而2xy关于x为奇函数，dl0，故2xyds0

l22(3x4y)ds12 Idl12a

llx2y2z2a2【例51】计算I xdl L:xy0L2解： L显然是一个过原点的圆周，半径为a。设法找出L的参数方程，先从L中的方程中消去y，得L在XOZ平面上的投影方程

238

2x2z2a2l1:，它是一个椭圆；

y0写出l1的参数方程：xacost, y0, zasint, 0t2 2aacost, yxcost, zasint代入 222222故L的参数方程为：xIx(t)xyzdt022013a32acost 22

2【例55】已知曲线L是平面xyz0与球面x2y2z2R的交线，计算

Ix2y2zdl。

L解：根据轮换对称性有：



L22x2dlydlzdl xdlydlzdlLLLLLLLL2Ix2y2zdlx2ydlzdl21222xyzdlxyzdl3L3L212R24R32 =Rdl0dldlLLL3333 2323

【例56】求柱面xy1被球面x2y2z21包围部分的面积S。 解：根据第一类曲线积分的几何意义：

如设是母线为L，准线为平行于Z轴的“柱面”，介于平面z0和曲面

zfx, y  Lfx, y0 之间的部分，则

L12 1x2ydl的侧面积。 的值就是柱面lf(x,y)dL22则： S1xydl82233xcosxy31 0其中： L:取L1参数方程, L1 是 L 的第一象限部分。 32ysinz0 239

S821cos6sin603cos2sin3sin2cosd22

821cos2sin2cos4cos2sin2sin43sincosd0

2421cos4cos2sin2sin4sincosd0 243sincosd63sin2d63220202021cos433d222.1.2 第二类对坐标曲线积分的计算方法 a). b). c). d).

LPdxQdy[P [(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)]dt

LPdxQdy[P [x,y(x)]Q[x,y(x)]y(x)]dx

abLPdxQdy[P [x(y),y]x(y)Q[x(y),y]]dy

abLPdxQdyRdz[P(,,)(t)Q(,,)(t)R(,,)(t)]dt

评 注1：公式d)具有一般性。具体计算分三步：第一步，写出坐标微分，第二步，将L方程

代入被积函数，第三步，确定定积分的上下限，注意上限不一定大于下限，，如果沿L的

反方向积分，则积分为负值。

评 注 2 第二类对坐标的曲线积分没有对应的几何意义；物理意义是：设L的是xoy平面上

的一条曲线，但一物体在变力Fx, yXx, y, Yx, y的作用下沿AB，则此变力所做的功为W

2.1.3两类曲线积分的关系计算

LBLALBFx, ydlXx, ydxYx, ydy。LPdxQdyRdz具有

LA有向性和路径可加性，计算方法本质上也是转化为定积分。

LPdxQdyRdz(LcoPscQosRco s)dl 其中0(cos, cos, cos)为(x,y,z)处沿L正方向（坐标增大的方向）的切向量的方向余弦

s, cos 0(cox'(t), cos2)[22tztxtyy'(t), 222xtyzttz(t), 2 22xtytzt']●如为空间曲面zfx, y，则令Fx, y, zzfx, y0[Fx, Fy, 1] ●如为平面曲线fx, y0，则令Fx, yfx, y0[Fx, Fy]

 240

●如为平面曲线yfx，则令x(t)x, yy(t)y(x)0[11y2, y1y2]

平面格林公式及其应用

● 格林公式：D上P,Q存在一阶连续偏导数，L分段光滑，L取逆时针为正向，则

QPPdxQdydxdy LxyD● 令Py, QxSD1PdxQdy 2L●pdxQdy在D内与路径积分无关LQPxyLpdxQdy为某一函数ux,y全微分

ux,yQx0,ydyPx,ydx

y0x0yx● 质点在力FPx,yiQx,yj沿平面曲线L所作的功W

WPx,ydxQx,ydy

L22【例57】求Iydxxdy，L:xy2x的圆周。

L解： 方法一：格林公式。 IydxxdyLx2y22x11dxdy2

2 方法二：转化为第一类曲线积分。令:Fx, yx2y22xx1y2

由于圆周的外单位法向 n0Fx, Fyx1, y，故此圆弧的正向单位切向量为

0y, x1，则：

Iydxxdyydxx1dydyLLLy2x12dldydldy LLLL2x1dl202LQdy【例58】 :xt,yt2,zt3 t01 IPdxRd化成第二类曲线积分

241

解：

dxdydz1, 2t2x, 3t23y dtdtdt (cos1,cos,cos)(14x29y2P2xQ3yR14x9y222x,1x42y923y ,21x4y92) Idl

评 注：容易看到，原积分化为第二类曲线积分后，积分难度增加了，再说，第二类积分没法利用对称性定理来化简，所以，一般第一类积分不化为第二类积分来计算，就是这个道理。 【例59】 I解： Pxdyydx222 L:(x1)yRL4x2y2yxQ

4x2y24x2y2Qy4x2PL所包含的区域内，除了原点外 0) ，故积分路径在x, y(0,222x(4xy)y可以任意确定，与L的具体形式无关。技 巧：L的取法一般以尽可能使被积函数容易积出为基准（如直线，圆，椭圆等三补曲线形式）。

1不妨取 C:4x2y21xcost, ysint t(0,即： 2，)则沿L的积分等于沿C的积分，

2211 I(cos2tsin2t)dt

022评 注：如下计算较为复杂：C:xcost,ysint t(0,2 ) I20dtdtdtanxx242422arctan(tan)|0 22222004costsint4costsint4tanx2 如令 x1rcost,yRs i则计算十分复杂，不可取！nt【例60】计算I段。

解：令L1是直线A2, 2B2, 2y2，L2是圆周x2y2r2，r足够小，取逆时针方向，由于当x, y(0, 0)时，有：

xyy2x22xyxy2 222222xxyxyyxyLxydxxydy，L是曲线

x2y2yx22从点A2, 2到点B2, 2的一

由格林公式得：

242

I22L1xydxxydyx2y222xydxxydyx2y2L2

x221122dx22x4rx2dxx20D1r2xydxxydyL2

11dxdy1x1322arctan|22r22222r24422222222Lxydxyzdyzxdz【例61】计算I，是和zxyxyz6的交线，方向为从Lz轴的正向往负看去L是逆时针。

解：方法一：参数方程法。

x2costz2zxy L的方程为：2； 其参数方程为：y2sint 0t2 2222xyz6xy2z222I2cos2t2sint2sint2sin2t20 sin2t42sintcostdt022222cost0dt

方法二：斯托克斯公式法。

z2取S:2，上侧为正，根据斯托克斯公式得： 2xy2RQQPPR222IxydxyzdyzxdzdydzdzdxdxdyLyzzxxyS 0y2dydz0z2dzdx0x2dxdyS

x2y22x2dxdy2112222xydxdydrrdr002x2y222方法三：格林公式法。

由于L位于平面z2上，故可先将z2代入被积函数，使用平面格林公式计算，有：

222Ixydxyzdyzxdz2Lxy22x2ydx2y2dy

2112222 0xdxdyxydxdydrrdr0220x2y22x2y222 243

【例63】设函数fx, y在R2内具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydxfx, ydy与路径无

L关，且对任意t有t, 10, 02xydxfx, ydy1, t0, 02xydxfx, ydy，求fx, y。

解：由曲线积分2xydxfx, ydy与路径无关，则有

Lfx, y2xy2xfx, yx2gy xy 首先选择折线积分路径为0, 0t, 0t, 1

t, 10, 02xydxfx, ydy0dxt2gydyt2gydy

000t11再选择折线积分路径为0, 01, 01, t

1, t0, 02xydxfx, ydy0dx1gydytgydy

0001ttt2gydytgydygt2t1gy2y1fx, yx22y1

001t【例】已知1fxy2LxdyydxA, fC1 , f11，L是绕原点一周的任意正向曲线

符合右手定则，试求fx和A。

解：因为：1fxy2LxdyydxA

1fxy2再任取一条L1是绕原点一周的任意正向曲线，有：L1xdyydxA

上述两式相减得：1fxy2L1Lxdyydx0，

所以：对任意一条不包含原点的封闭曲线CL1L，有：

244

fxyC1xdyydx02xxfxyy2yfxy2fxfxx2c 2fxxfx00xfxx2f11c0；

又，取L:x2y21，得： A1fxy2Lxdyydxxdyydxx2y2122xy12dxdy2

2.3 曲面积分计算方法—转化为二重积分

a 第一类对曲面

f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))Dxy1zx2zy2dxdy

评 注 第一类对面积的曲面积分的几何意义是：当f1时f(x,y,z)dSdS就是曲面的面积；物理意义是：当f为面密度时，f(x,y,z)dS就是曲面的质量； 具有无向

性和叠加性，计算方法本质上也是转化为二重坐标平面积分。

【例65】计算I(x2y3z4)2dS S：正八面体xyz1的全表面

S222解 (x2y3z4)2x4y9z16x4y6xz12yz8x1 6y2z4由于S关于ZOX平面对称，4xy，12zy，-16y均为y的奇函数，积分为0； S关于XOY平面对称，6xz， -24z均为z的奇函数，积分为0； S关于YOZ平面对称，-8x为x的奇函数，积分为0；

I(x24y29z2)dS16dSI1I2

SS由轮换对称知

1222(xyz)dS 314I1x2dS4y2dS9z2dS14x2dS(x2y2z2)dS

3再由S的对称性知，取第一象限中的部分投影到X0Y平面，得

222xdSydSzdSDxy{(x,y)|xy1,x0,y0}，在Dxy上S：z=1-x-y

245

'2dS1zxz'y2dxdy3dxdy

I18143xdxdy1123dxDxy0211x0x2dy283 3

1I28163dxdy816332DxyII1I222033S

【例66】计算I(xyz+a)2dS S：为球面xayazaa2。 解：

I(xyz+a)2dSxayaza4adSSS2222xayaza16a2dSS22222xayaxazayazadS4axayazadSSS由于S关于xa， ya， za都对称 xadS=yadSzadS0SSS

xayadS=yazadSxazadS0由于S关于xa， ya， za都对称SSSI(xyz+a)dS=xayaza16adS22SS222224 a16adS17adS17a4a68aSS22222【例67】 IxyzdS :zx2y2被z1所截下部分

解：应用对称性脱去绝对值

（隐含边界包括：绝对值、符号函数、最大值与最小值符号及辅助线等主要四类。）

由于被积分区域关于X0Z和Y0Z对称，而xyz为偶函数 故 I4xyzdS

D124xy(x2y2)14x24ydxdyD120152 4cossind0r14rdr1

2r514r2dr05u121125511+4ru2  2()udurdrdu148420 246

【例68】求ISdS222 S：介于Z=0，Z=H之间的 xyR222xyz解：S为柱面上的一部分，如向XOY平面投影，投影为一曲线，则I=0，不可取，S只能向YOZ或XOZ平面投影，而不管向哪个平面投影，都有投影面重合情况，由于完全重合，而对应面又对称，故I2或柱面x2y2R2关于Y0Z平面对称，而f(x,y,z)又是关于X的偶

S1函数，也有I2。

S1dSxR2y2故 I22 S1: 22xyzS10ZH,RyR而x'y'xz0

yRy22

1y2则 I22102dydz 2222(Ry)yzRyD2RH0RdzdyH 2arctanz2R2RR2y2Rb第二类对坐标的曲面积分的计算

 ,z dydzQxy, z,dzdx Rxyz, dxdy, AdSPx,y A  Pxy,z ,Q x,y z,R x, y,z , , 其中： dSdydz, dzdx, dxdyn0dScos, cos, cosdS评 注 第二类对坐标的曲面积分没有对应的几何意义；物理意义是：AdS当表示流量场A流过有向曲面的流量，或向量场A通过有向曲面的通量；f(x,y,z)dS就是曲面的质量； 具有有向性和叠加性，计算方法本质上也是转化为二重坐标平面积分，但主要分为单向和三向投影法。。

1 正投影法（三向投影）对X0Y投影而言，其余类推

● 投影总则：上任意两点在平面上的投影点不重合，否则必须剖分成几片，使满足“投

影点不重合” ，它与区域的正规性是一致的。

●正负规定：箭头方向与Z轴正向为锐角取正，为钝角取负（对X0Y投影而言，其余类推）。

247

zz(x,y) ●投影域：对Dxy:。

z0 ●三要素：①将zz(x,y)代入R(x,y,z)

②Dxy ③dSdxdydxdy

如： RdxdyR(x,y,z(x,y))dxdy

SDxy（以将dxdy,dydz,dxdz全部转换为X0Y平面的投影为例） 2单向投影法（转换投影法）

', z'y, 1]dxdy PdydzQdxdzRdxdyP, Q, R[zxSDxy这是因为

dydzdxdzPdydzQdxdzRdxdyPQRdxdydxdydxdySSdScosdScosPQRdxdydScosdScosDxyzzyx22221zz1zzxyxyPQRdxdy11Dy22221zxzy1zxzyPzxQzyRdxdyP,Q,Rzx,zy,1dxdyDxyDxy

所以请读者以后记住上述公式，免得用时还要推导。

3 转化为第一类曲面积分

PdydzQdzdxRdxdy(P,Q,R)[SSFx'1zz'2x'2y,Fy'1zz'2x'2y,Fz'1zz'2x'2y]dS

关于两类曲面积分的转换要点是掌握积分曲面的法线向量与坐标的关系： ）时，令 a当曲面方程形式为zz(x,y)（如为其他形式如xx(y, z)类推。单位法向量

Fzz(x,y)，

248

n0{FxFFyFz2x22, FyFxFyFzz'y'2'22Fz, 222FxFyFz}2

'zx '2'1zzxy2,1zxzy1,2'21zxzy

'2{cos, cos, cos} 并规定指向上侧的单位法向量需要保证cos11zz'2x'2y0。这就是所谓的对开面（非

闭合面）上侧为正，下侧为负的道理。但对闭面只有两个方向，即外侧为正，内侧为负。两套方向规定是的，大部分学生没搞清楚这个问题。

bdS与三个坐标平面微元的关系

dSdydczosdzdcxosdxcdo ys4 利用高斯公式化为三重积分计算

PQR PdydzQdxdzRdxdyAdSAdv  dxdydzxyzSSxxu,v5 若曲面S的参数方程为yyu,v u,vD ，其中D是一个平面的有界闭区域，又

zzu,vxu,v, yu,v, zu,v在D上具有一阶连续偏导数，则曲面面积为

PdydzQdxdzRdxdyP, Q,R A

SDB, C,dudv xvyv y其中： A uzuyvzvz,B  uxuzvxvxC, uyuxdydzz2dxdy【例69】 I2, S:x2y2R2, zR所围 22xyzS解：记上底zR为S1方向向上，下底zR为S2方向向下，侧面为S3。

注意：S1，S2在YOZ平面投影为一直线，积分为零，S3在XOY平面投影为一圆，积分为零。

249

xdydzz2dxdyI22I1I22222xyzxyzSSI1S1S2

S3S3 对S3: S前:xR2y2, S后:xR2y2 I1+=S前S后DxyRRR2y2R2y2dz222dydzdydz2RydyR

RRR2z2R2z2R2z22 I2S1S2DxyR2dxdy(R)2dxdy20 22x2y2R2DxyRxyII1I222R

22【例70】 I(2xz)dydzzdxdy S:zxy (0z1，)S的法向n0与Z轴正向成

S锐角。

解： 解法一（三向投影法）

将S分为前后两块（对Y0Z），显然题目要求的是内表面，而前侧法线与x轴成钝角，故积分为负，后侧法线与x轴成锐角，故积分为正。

I1(2zy2z)dydz(2z2y2z)dydzDyzDyz3161224dy2zydz(1y)dy1y30161631ysint 2cos4tdt303422112

同理:I2Ix2y21(x2y2)dxdydr3dr0021222解法二（单向转换投影法）

'即全部投影到X0Y平面，S方程为zx2y2,zx2x

250

I[(2xz)(2x)z]dxdySx2y21[4x22x(x2y2)(x2y2)]dxdy1d(4r2cos22r3cosr2)rdr002

111442cos2244042222解法二（高斯公式法）

加入一个曲面：S1:z1,x2y21 方向向下

I(21)dv(1)x2y211dxdy3drdr2dz00r2112

评 注：比较上面三种方法，可见高斯公式法最简单。解这类题，不仅是知道怎么做就满足了，关键是找准最佳方法才是考试成功的要点。另外，要知道只有两类曲线和两类曲面积分中的被积函数可以代入路径或曲面方程，因为它们是边界固定积分，二重平面积分和空间三重积分不可以代入路径或曲面方程，因为它们是一个区域变动积分。

【例71】计算积分Ixyzy2z2z2x2x2y2dS，S:x2y2z2a2 a0在第一象限。

S解：方法一：化为第二类积分，再化为二重积分。 根据S轮换对称性，有

2222233Ixyzy2z2zxxy2dS3xyzxydS3xyzdS3xyzSSSDxydxdy33cos2za2x2y2cos121zxzy2x122axy1y222axy221x2y212ax2y2a2x2y2zdSadxdyaI3x3y3zDxydxdya3x3y3zdxdy3x3y3dxdycosa2x2y2DxyDxy333a83adrcosrsinrdr3a2sin3sin5dsin080a81a93a 8123220a3

251

方法二：利用高斯定理。计划利用球体在第一象限的体积部分。

D21x, y| x2ya2, x0, y0S1:z0, x, yD1, 方向向下 记：Dx, z| x2z2a22, x0, z0 取： S2:y0, x, zD2, 方向向左 D3y, z| y2z2a2, y0, z0S3:x0, y, zD3, 方向向后za2x2y2cos111z222xzy1x2a222y

xya2x2y2

1a2x2y2azdSadxdy, 同理还有 xdSadydz, ydSadzdx1x2y2a2x2y2

根据高斯定理得：

Ixyzy2z2z2x2x2y2dSay3z3dydzz3x3dzdxx3y3dxdySS上侧 ay3z3dydzz3x3dzdxx3y3dxdya3dydzz3x3dzdxx3y3dxdy

Sy3z上侧S1+S2+S3S1 ay3z3dydzz3x3dzdxx3y3dxdyay3z3dydzz3x3dzdxx3y3dxdyS2S3a0dxdydz1a00x3y3dxdy1a0z3x3dzdx01ay3z3dydz00S1S2S3 3ax3y3dxdy3a2dar3cos3r3sin3rdr3aa8D002sin3sin5xy80dsin 3aa881a91232【例73】计算Ixdydzydzdxzdxdy，

S S:为 zx2y2 介于 z0 和 z1 之间的部分，上侧为正。 解：方法一：单向投影法。全部投影到xoy平面，记 Dxy:x2y21。

Ixdydzydzdxzdxdyx2xy2y1zdxdy

SS

x2y2dxdy2d1r2rdrS002 方法二：高斯公式法。取S1:z1, x2y21, 下侧。

252

IS+S1xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyS1闭面内侧21+1+1dv11100rDxy：为x2y213drdr2dz21dxdy 注意陈氏第12技：开面锐正闭面外

的投影开面下侧【例78】 S{(x,y,z)|x2y2z2R2,z0}，向上，则下列哪个积分不为0？ （A）x2dydz （B）xdydz （C）zdzdx （D）ydxdy

SSSS解：这是一个第二类曲面积分，区域虽是关于YOZ和XOZ平面对称的，但不能根据被积函数关于x,y的奇偶性直接套用对称性定理，需要把它们转化成第一类曲面积分才能使用对称性结论。

Fx2y2z2R2Fx2x,Fy2y,Fz2zFxFyFz2xyz2R（A）x2dydzx2SS222222

2x1dSx3dS0 2RRS（B）xdydzxSS2x1dSx2dS0，正确。 2RRS2y1dSzydS0 2RRS2z1dSyzdS0 2RRS（C）zdzdxzSS（D）ydxdyySS

253

多元函数积分学模拟题

一、填空题

1、设D是以点O0,0,A1.2,B2,1为顶点的三角形区域，则xdxdy

222、设D=x,yxyx，则

DDxdxdy 而D表示全平面，则I=

3、设a0，fxgx 4、交换积分次序5、积分

a,若0x1,0,其他，fxgyxdxdy=

Ddy0212y2yfx,ydx

20dxeydy的值等于

x2二、选择题

1、设fx,y连续，且fx,y=xyDfu,vdudv，其中D是由y0,yx2,x1所围成的区域，则

fx,y等于

（A）xy （B）2xy （C）xy2、设I11 （D）xy1 [ ] 8cosDxyd，I2cosxyd，I3cosxy222222d2，其中

DDDx,yx2y21，则

（A）I3I2I1 （B）I1I2I3 （C）I2I3I1（D）I3I1I2 [ ] 3、设D是圆环域：

11x2y21，若I1lnx2y2dxd，yI22dxdy，22DxyDI3x2y2dxdy则I1,I2,I3，之间的大小顺序为

D2（A）I1I2I3（B）I1I3I2（C）I2I3I1（D）I3I2I1 [ ]

2224、设fx,y是闭区域xya上的连续函数，则极限lim1a0a2fx,ydxdy为

D（A）0 （B） （C）f0,0 （D）1 [ ] 5、设函数fx,y连续，则二次积分

dx21sinxfx,ydy等于

2

（A）

10dyarcsinyarcsiny2fx,ydx （B）dy01arcsinyarcsiny2fx,ydx

（C）

dy01fx,ydx （D）dy01fx,ydx [ ]

三、解答题 1、计算二重积分I=ydxdy，其中D是由x轴、y轴与曲线

xy 1所围成的区域，a0,b0。

Dab2、计算二重积分

(xy)dxdy，其中D=x,yx2y2xy1。 D3、计算二重积分I=ex2y2sinx2y2dxdy，其中积分区域D=x,yx2y2

D4、计算二重积分

xey2dxdy其中D是曲线y4x2和y9x2在第一象限所围成的区域。 D5、设函数fx在区间0,1上连续，并设10fxdxA，求110dxxfxfydy

6、计算Ie2lnxexdxe20dy1edy2lnxlnyexdx

7、计算二重积分

x2y22dxdy，其中D：x2y23

D8、计算I=

xyx2y2dxdy其中D由x2y21,xy1围成。 D9、证明：

adxxfy00axxydyfaf0a0。

10、计算Ix2y2z2dv，其中为球体x2y2z121



255

多元函数积分学模拟题答案

一、填空题

1x222x238121、 2、 3、a 4、dxfx,ydydxfx,ydy 5、1e4

00102152二、选择题

1、（C） 2、（A） 3、（B） 4、（C） 5、（B） 三、解答题

、ab2130 7、52

2、32 3、2e1 4、5144 8、22 9、[提示]交换积分次序 5、122A 10、85

6、2ln21

256