高考数学(文)二轮复习 大题规范练9

(时间：30分钟 分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．过点C(2,2)作一直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，点P是抛物线y2＝4x上到直线l：y＝x＋2的距离最小的点，直线AP与直线l交于点Q.

图1

(1)求点P的坐标；

(2)求证：直线BQ平行于抛物线的对称轴. 解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)，则y20＝4x0， 所以点P到直线l的距离d＝

2

|x0－y0＋2|

2

y0

4－y0＋2|y－22＋4|20＝＝≥2，

242

当且仅当y0＝2时等号成立，此时P点的坐标为(1,2)． y1

(2)证明：设点A的坐标为4，y1，显然y1≠2.



当y1＝－2时，A点坐标为(1，－2)，直线AP的方程为x＝1； y1－2

当y1≠－2时，直线AP的方程为y－2＝y2(x－1)．

1

4－1化简得4x－(y1＋2)y＋2y1＝0.

综上，直线AP的方程为4x－(y1＋2)y＋2y1＝0. 与直线l的方程y＝x＋2联立，

2

可得点Q的纵坐标yQ＝

2y1－8

. y1－2

2当y1＝8时，直线AC的方程为x＝2，

可得B点的纵坐标yB＝－y1， 此时，yQ＝

2y1－84y1＋24

＝2－＝2－2＝－y1， y1－2y1－2y1－4

所以BQ∥x轴． 当

2

y1≠8

y1－2

时，直线AC的方程为y－2＝y2(x－2)，

1

4－2

2

化简得(4y1－8)x－(y1－8)y＋(2y21－8y1)＝0，

与抛物线方程y2＝4x联立，消去x，

2可得(y1－2)y2－(y21－8)y＋(2y1－8y1)＝0，

y22y1－81－8所以，点B的纵坐标yB＝－y＝. y1－21y1－2从而可得，BQ∥x轴．

综上所述，直线BQ平行于抛物线的对称轴． 21．已知a∈R，函数f(x)＝ex－a(x＋1)的图象与x轴相切．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当x>0时，f(x)>mx2，求实数m的取值范围.

解：(1)f′(x)＝ex－a，依题意，设切点为(x0,0)， fx0＝0，ex0－ax0＋1＝0，则即 f′x0＝0，ex0－a＝0，x0＝0，解得

a＝1，所以f′(x)＝ex－1.

所以，当x<0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.

所以，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)令g(x)＝f(x)－mx2， 则g′(x)＝ex－2mx－1，

令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－2m. 1

①当m≤2时，

因为x>0，所以ex>1，所以h′(x)>0， 所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又因为g′(0)＝0，所以当x>0时，g′(x)>g′(0)＝0， 从而g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

而g(0)＝0，所以g(x)>g(0)＝0，即f(x)＞mx2成立． 1

②当m>2时，

令h′(x)＝0，解得x＝ln(2m)＞0，

当x∈(0，ln(2m))时，h′(x)<0，所以g′(x)在(0，ln(2m))上单调递减， 又因为g′(0)＝0，所以当x∈(0，ln(2m))时，g′(x)<0， 从而g(x)在(0，ln(2m))上单调递减，

而g(0)＝0，所以当x∈(0，ln(2m))时，g(x)mx2不成立．

1

综上所述，m的取值范围是－∞，2.

