2018-2019学年山东省聊城市高一第一学期期末教学质量抽测数学试题(解析版)

测数学试题

一、单选题 1．如图，集合集合为（ ）

，

，

，则图中阴影部分表示的

A．C．

B． D．

【答案】B

【解析】分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，由集合A、B、C计算即可得答案． 【详解】

根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，得到的集合，

又由A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}， 则A∩C＝{2，5，8}， ∴阴影部分表示集合为{2，8} 故选：B． 【点睛】

本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，注意答案必须为集合（加大括号）．

2．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.

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其中正确命题的序号是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③ 【答案】D

【解析】根据空间几何体的定义判断． 【详解】

对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误； 对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直， 比如正方体点的三个相邻平面，故正确； 对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误； 故选：D 【点睛】

本题考查了空间几何体的定义，考查空间想象能力，属于基础题． 3．函数A．

B．

的零点所在的区间为（ ） C．

D．

【答案】C 【解析】试题分析：故函数

的零点位于区间

单调递增，仅有一个零点．又．

，

,

【考点】函数的零点问题. 4．在空间直角坐标系中，点标原点的对称点为，则A．

B．

C．

关于（ ） D．

坐标平面的对称点为点，点

关于坐

【答案】A

【解析】由对称性求出A,B两点坐标，进而求得【详解】 由题意可得：∴故选：A 【点睛】

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，

.

本题考查利用对称性求空间点的坐标，考查空间两点间的距离，考查计算能力，属于基础题.

5．函数A．

B．

的定义域为（ ） C．

D．

【答案】D

【解析】由解析式得到关于x的不等式组，解之即可. 【详解】

解：由题意得：解之得

或

， ， ．

故函数的定义域为故选：D． 【点睛】

本题考查函数的定义域的求法，理解函数的定义是解此类题的关键，求函数的定义域一般要注意一些规则，如：分母不为0，偶次根号下非负，对数的真数大于0等． 6．经过点

倾斜角为

的直线被圆：

所截得的弦长是（ ）

A．3 B． C．【答案】A

D．

【解析】利用点斜式得到直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理即可得到弦长. 【详解】 经过点

倾斜角为

的直线的方程为：y

（x+1），即

0，

圆心到直线l的距离是d，

∴直线l被圆截得的弦长为2故选：A 【点睛】

，

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本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用．

117．设a，b，c均为正数，且2log1a，log1b，log2c．则（ ）

2222abcＡ．abc 【答案】A 【解析】略

Ｂ．cba

Ｃ．cab

Ｄ．bac

8．如图所示（单位：），直角梯形的左上角剪去四分之一个圆，剩下的阴影部分绕

所在直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）

A．【答案】C

【解析】旋转后几何体是从一个圆台上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式，可求其表面积． 【详解】

解：所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面，

B．

C．

D．

其中 S球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π． 故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π＝68π， 故选：C． 【点睛】

本题考查组合体的表面积问题，涉及圆台与球的面积，考查空间想象能力，数学公式的应用，是基础题．

9．下列函数中既是奇函数，又在

上是单调增函数的函数个数是（ ）

①；②；③；④.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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【答案】B

【解析】利用奇偶性与单调性的定义逐一判断即可. 【详解】 ①②

,因x＞0， ,是奇函数，但在

不具有奇偶性，在

上是单调减函数；

上是单调增函数;

③

奇函数，又在④

，与既是奇函数，又在上是单调增函数，所以既是

上是单调增函数； . 既是奇函数，又在

上是单调增函数

综上：③④满足题意， 故选：B 【点睛】

本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．

10．已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面， 则下列命题中为真命题的是 A．若B．若C．若D．若【答案】D 【解析】若

则

,又因为

,所以

，则，则

，则，则

11．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上.若

球的体积为，则该长方体的体积为（ ）

A． B． C． D．14

【答案】B

【解析】先求出球的半径，利用长方体与外接球的关系明确长方体的高，从而得到结果.

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【详解】

由球的体积为，可得：，R=2

又长方体的体对角线长度即为球的直径，故长方体的体对角线长为4， 设长方体的高为x， 则

∴该长方体的体积为故选：B 【点睛】

本题考查求长方体的体积，着重考查了长方体对角线公式、长方体的外接球和球的体积公式等知识，属于基础题．

12．已知函数

的取值范围是（ ） A．

B．

C．

，若函数有4个不同的零点，则实数

D．

【答案】C 【解析】函数

有4个不同的零点即函数

的图像与直线

有4个

不同的交点，数形结合即可得到结果. 【详解】 函数

点，如图所示：

有4个不同的零点即函数

的图像与直线

有4个不同的交

当直线当直线

与半圆切于第二象限时，m=

，有三个公共点，

经过A（0,1）时，m=，有三个公共点，

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∴函数故选：C 【点睛】

有4个不同的零点时，实数的取值范围是

本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

二、填空题 13．已知函数

（

，且

）的图像恒过定点

，则

__________．

【答案】

【解析】先根据指数函数的性质求出定点，即可得到m，n的值，再根据对数的运算性质计算即可． 【详解】

解：令x﹣8＝0，解得x＝8， 则y＝3﹣1＝2， 即恒过定点A（8，2）， ∴m＝8，n＝2，

∴＝，

故答案为： 【点睛】

本题考查了指数函数的图象和性质以及对数的运算，属于基础题． 14．在三棱锥则直线

与平面

中，

，且

，

，

两两垂直，点为

的中点，

所成的角的正弦值是__________．

【答案】【解析】由

，

，

两两垂直可知

平面

故∠AEB为直线

与平面

所成

的角，在三角形ABE中计算即可. 【详解】

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∵∴

，，平面

两两垂直， ， 与平面

所成的角， ，

故∠AEB为直线

在RT△ABE中，AB=2，BE=

∴sin∠AEB=，

∴直线与平面所成的角的正弦值，

故答案为：【点睛】

求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.

15．若函数__________．

是上的单调递减函数，则实数的取值范围为

【答案】

【解析】利用分段函数的单调性，布列不等式组即可. 【详解】

解：是R上的单调递减函数，

∴，解得：a∈，

故答案为：【点睛】

．

本题考查的知识点是分段函数的单调性，正确理解分段函数单调性的意义是解答的关键．

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16．已知圆：

动点，点是轴上的动点，则【答案】

，圆：，，分别为圆，上的

的最小值为__________．

【解析】根据题意画出图形，结合图形，求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A与半径，再求出圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即为|PM|+|PN|的最小值． 【详解】

解：如图所示，作出圆C1关于x轴的对称的圆A

圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1， 圆C2的圆心坐标C2（4，5），半径为1，

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即为故答案为：【点睛】

本题考查圆的对称圆方程以及两圆的位置关系，两点距离公式的应用问题，也考查了转化思想与计算能力，数形结合思想的应用问题，是综合性题目．

三、解答题 17．已知集合

，点

，

.过点

作直线与线段

总

．

2=

．

有公共点，直线的斜率的取值构成集合.若，求实数的取值范围.

【答案】.

可得

，对A分类讨论，解不等式即可得

【解析】由题意明确集合B，根据

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到实数的取值范围. 【详解】

由题意∴因为当当

. ，所以时，即时，即

，，

. ，，

时，满足题意. 时，要满足

，

应满足，解之得.

综上，实数的取值范围为【点睛】

.

本题考查集合的包含关系的运用，注意若A∪B＝B，则必有A⊆B，其次注意空集是任何集合的子集．

18．已知函数（1）求

是定义在上的偶函数，且当时.

的解析式；

在

上的单调性.

（2）用函数单调性的定义讨论

【答案】（1）； （2）见解析.

，则﹣x＜0，即可得

【解析】（1）先由奇偶性寻求f（﹣x）与f（x）的关系，再设到解析式；

（2）利用单调性的定义明确函数【详解】

在

上的单调性.

（1）当时，，所以.

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由于是偶函数，所以，即当时.

综上所述，函数的解析式为.

（2）任取，则

.

当所以当所以综上，函数【点睛】

证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取（2）作差：定号：判断

，并且

（或

）；

在时，

，即时，，即

，，

，所以

，，所以

在，在

，

上为减函数. ，

上为增函数. 上为单调增函数.

上为单调减函数，在

，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根

据定义得出其单调性. 19．如图，在三棱柱

中，

，点在底面

上的射影为棱

的中点.

（1）求证：（2）若为棱

； 的中点，求证：

平面

.

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

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【解析】（1）先证明（2）连接【详解】

，交

平面，即可证得；

，从而得证.

于点，利用中位线定理可得

（1）证明：∵点在底面∴又∵∵∴又

平面平面

，交的中点， 的中点，所以是平面平面

，.

平面

平面

.∵

上的射影为棱

，∴

. ，

的中点， .

平面

，且是，

.

的中点，∴

平面

，∴.

是平行四边形，

（2）连接所以是又是又所以

于点，由于

的中位线，所以，

.

【点睛】

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

20．某乡镇为了提高当地地方经济总量，决定引进资金对原有的两个企业和进行改造，计划每年对两个企业共投资500万元，要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验，改造后企业的年收益（单位：万元）和企业的年收益（单位：万元）与投

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入资金（单位：万元）分别满足关系式：

投资额为（单位：万元），每年两个企业的总收益为（1）求

；

，

（单位：万元）.

.设对企业

（2）试问如何安排两个企业的投入资金，才能使两个企业的年总收益达到最大，并求出最大值.

【答案】（1）420万元； （2）对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元. 【解析】（1）根据收益公式计算; （2）求出函数【详解】

（1）对企业投资300万元，则对企业投资200万元，

的表达式，利用换元法把问题转化为二次函数的最值问题.

∴

（万元）.

（2）设对企业投资万元，则对企业投资为

万元.

∵每个企业至少投资50万元，∴，解得.

∴

.

令，则，上式化为

.

∴当

时，取最大值，即

时，

取最大值，最大值为432万元.

综上，对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元. 【点睛】

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解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 21．已知直线：

（1）求证：直线恒过一定点；

（2）试求当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短； （3）在（2）的前提下，直线是过点

，且与直线平行的直线，求圆心在直线

和圆：

.

上，且与圆相外切的动圆中半径最小圆的标准方程.

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点； （2）当直线与

垂直时，所截得的弦长最短，此时有•

=-1，由此能出m的值;

（3）由（2）得直线的方程为，可判断出直线与圆相离，设动圆圆心为

，当圆心到圆心的距离最小时，动圆的半径最小，从而得到最小圆的标准方程. 【详解】

（1）证明：直线的方程可化为：

.

解方程组

所以，直线恒过定点（2）解：圆：表示以

为圆心，

，得

.

.

的标准方程为

为半径的圆，

，

都有直线与圆相交.

，

由（1）可知，，

∴在圆内，那么对任意当直线与

垂直时，所截弦长最短.

又直线的斜率，∴此时直线的斜率为.

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即，解得.

（3）解：由（2）得直线的斜率为，又∵，

∴直线的方程为，即.

又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.

设动圆圆心为，当圆心到圆心的距离最小时，动圆的半径最小， 此时圆心为过点且与垂直的直线与的交点，且动圆半径的最小值为又过点与垂直的直线方程为

，即

.

.

解方程组即圆心为

.

，得.

∴所求圆的标准方程为【点睛】

.

本题考查直线直线过定点的证明，考查直线与圆相交的证明，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

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