混合数据抽样波动模型

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混合数据抽样波动模型・77・

混合数据抽样波动模型

徐剑刚　张晓蓉　唐国兴

(复旦大学管理学院)

①

【摘要】混合数据抽样(MIDAS)模型能处理不同频率变量间的动态关系。本

文比较了MIDAS波动模型和ABDL模型,发现我国股市对数实现波动呈长期记忆性。在预测波动方面,ABDL模型优于MIDAS模型;利用MIDAS波动模型预测实现波动水平,日绝对值报酬是最好的回归项;利用MIDAS模型预测未来波动,至少应采用一个月的历史数据。

关键词　MIDAS波动模型　ABDL模型　Beta函数中图分类号　F22410　　文献标识码　AMixedDataSamplingVolatilityModel

　　Abstract:ThispapercomparesMIDAS(MixedDataSampling)regressionmodelsandABDLmodelintheabilityofpredictingvolatility1MIDASmodelscantakedifferentspecificationofregressors,suchasrealizedvolatility,realizedpower,squaredreturns,absolutereturns,andreturnranges1Using52minutestockreturndatainShanghaiandShenzhenStockExchange,wefindMIDASmodelsdonotexcelABDLmodelinpre2dictingvolatility1However,measuredbyincrementsinquadraticvariation,dailyabsolutereturnisthebestpredictorinMIDASmodels1Furthermore,historicalda2taofonemontharesufficienttocapturethepersistenceinvolatility1

Keywords:MIDASVolatilityModel;ABDLModel;BetaFunction

引　　言

金融市场波动是资产定价、风险管理、资产配置及绩效评价的核心。学术界和市场界均已认识到波动是时变的,从而推动了股票市场波动分布及其动态性质的研究。

Engle(1982)首次提出了条件波动,目前常用的有Engle(1982)和Bollerslev(1986)

的ARCH/GARCH模型,其基本原理是利用历史平方报酬rt2预测未来波动σt+1|

A(L)rt。此外,估计波动的方法还包括随机波动模型、来自期权或其他衍生证券的隐含波

动率、混合数据抽样(MIDAS)回归模型等;而估计波动的数据除历史平方报酬外,还可用其他一些变量,如Ding,Granger和Engle(1993)与Forsberg和Ghysels(2004)的绝对值

①本研究得到国家自然科学基金项目(70573025)资助。

・78・《数量经济技术经济研究》2007年第11期

报酬|rt|,Alizadeh,Brandt和Diebold(2002)的日内价格极差(最高价-最低价)等。

Andersen和Bollerslev(1998)提出了预测波动的另一类方法,其模型认为实现波动为日内报酬(如5分钟、30分钟)的平方和,由此计算出的实现波动完全由数据驱动。Andersen,Bollerslev,Diebold和Labys(ABDL,2003)采用分数自回归(ARFI)模型预

测未来波动,发现ABDL模型优于ARCH类模型;Ghysels,Santa2Clara和Valkanov(2006)的结果表明MIDAS模型优于ABDL模型,其中实现幂(realizedpower)是最好的预测变量。

本文以2001年3月1日至2005年9月30日间上证指数和深成指的5分钟数据为研究对象,基于Ghysels,Santa2Clara和Valkanov(2004、2005)的混合数据抽样回归模型,并以日平方报酬、日绝对值报酬、日实现波动、日实现幂、日极差作为回归项来预测波动率,比较ABDL模型和MIDAS模型在预测某持有期H的波动性及其动态性质上的差异。

一、MIDAS模型和ABDL模型

本文利用上证指数和深成指的5分钟数据预测持有期H内的波动(Vt+H,t)。我国股市的交易时间为上午9:30～11:30和下午1:00～3:00,每个交易日交易4个小时,共计48个5分钟时间间隔,或48个5分钟报酬。记第t个交易日最后5分钟的报酬为rt,t-1/48=log(Pt)-log(Pt-1/48)。持有期H内波动(Vt+H,t)的度量基于Andersen和Bollerslev(1998)的实现波动,即报酬的二次变分增量过程①RVt+H,t。考虑到金融风险管理以及投资组合管理的需要,本文考察的持有期为1周(H=5)至4周(H=20)。

报酬的二次变分不能直接观察到,必须度量出来,但这会导致离散化误差。可将平方报酬的加总作为一种波动的度量,记m为每天抽样的次数,持有期H的波动为:

(Hm)t+H,t

j=0

∑rt+H-(j-1)/m,t+H-(j-2)/m2

(1)MIDAS波动模型。MIDAS波动模型为:

(

)

(Hm)t+H,t=αH+βH

j=0

B∑

(m)

(j,θ)Yt-j,t-

j-1

+εHt

)

(

)

()

(1)

HmHmHmm

其中,Vt+RVt+H,t;Yt-j,t-j-1H,t表示持有期H内波动的度量,可以是RVt+H,t或log

是回归项,采用更高频率的数据,如日数据(m=1)、5分钟数据(m=48)或分钟数据(m=240)。多项式滞后参数BH为参数向量θ的函数,这样无需增加估计参数就可包括更多的历史数据用于波动预测,避免了参数增多(parameterproliferation)问题。本文采用的度量期间H分别为1周、2周、3周和4周,在回归项中,因日实现波动和日实现幂均基于5

(

分钟数据计算,采用5分钟数据,即m=48。

()

MIDAS是一个回归模型,没有自回归项,回归项Yt-mj,t-(

)

j-1

的选择相当于从各种波动度

量中选择一个最为适当的预测Vt+Hm模型中也可包括更多的解释变量。H,t的变量。

(2)Beta多项式。式(1)中的权重函数BH为参数向量θ的函数,是MIDAS模型最重

①Andersen,Bollerslev,Diebold和Labys(2001)根据二次变分理论,认为在合适条件下,实现波动是报酬波动的

无偏和有效估计值。

混合数据抽样波动模型・79・

要的组成部分,合适的函数形式可以处理参数增多和模型中阶数J的选择等问题。MIDAS模型的一个重要特征就在于,利用高频数据虽然增加了解释变量的滞后阶数,但估计的参数个数较少,在估计具有持续性的波动时特别有用。此外,权重函数为非零,可确保波动

()(Hm)

为正;权重之和确定为1,可保证式(1)中的βH反映了Yt-mj,t-j-1对RVt+H,t的全部影响。权重函数形式有多种,如指数Almon和Beta多项式(Ghysels,Sinko和Valkanov,2005)以及离散正态分布(Anderson,Ghysels和Juergens,2005)等。本文采用两参数的Beta多项式,θ=[θ1;θ2],其权重函数为:

θBH(j,θ1,2)=

θg(j/J,θ1,2)∑

j=1

θg(j/J,θ1,2)

)=zα-1(1-z)κ-1/β(α,κ)g(z,α,κ

(2)

β(α,κ)=ΓαΓκ/Γα+κ)=其中,Γ(α

∫

∞

-xα-1

dx。因Beta多项式基于Beta函数,确保了权重为正。当θ1=1

且θ2>1时,权重缓慢下降;θ2>θ1>1时,权重函数呈单驼峰型(徐剑刚、张晓蓉、唐国兴,2005);θ1=θ2=1时,权重相等。m

(3)回归项。回归项Y

rt+1-(j-1)/m,t+1-(j-2)/m2

(m)

t-j,t-j-1可采用多种形式,如日实现波动RV

(m)t+1,t

j=0

∑

、日实现幂󰁯P(m)

t+1,t

j=0

∑

RVH

rt+1-(j-1)/m,t+1-(j-2)/m

、日平方报酬r2、日绝对

值报酬|r|、日极差(最高价hi-最低价lo)。基于这5个回归项的MIDAS波动模型分别为:

(Hm)

t+H,t=αRVH+β

RVH

j=0J

∑B

j=0

(m)RV

(j,θ)RVt-j,t-j-1+εHt(3)(4)

(Hm)

t+H,t=μ+βPH

∑B

PH(m)P

(j,θ)󰁯Pt-j,t-j-1+εHt

(Hm)

t+H,t=μ+β

VHaH

j=0J

∑

j=0

)BH(j,θ)BH(j,θ

rt-j,t-

j-1

+εHt

V(5)(6)

(Hm)

t+H,t=μ+βaH

∑

rt-

j,t-j-1

+εHt

(Hm)

t+H,t=μ+β

rHrH

j=0

∑B

(j,θ)

hi-lot-j,t-j-1

+εHt(7)

式(3)利用日实现波动预测持有期H的波动(Andersen,Bollerslev,Diebold和

Labys,2003)。式(4)的回归项为日实现幂,与日实现波动类似,但计算中采用日内报酬的绝对值(Barndorff2Nielsen和Shephard,2003、2004)。式(5)用历史平方报酬作为回归项,类似ARCH模型。式(6)和式(7)的回归项分别为绝对值天报酬和天内极差。

本文还考虑了式(3)～式(7)回归项的对数形式,这可直接与下文的ABDL模型比较。(4)ABDL模型。Andersen,Bollerslev,Diebold和Labys(2003)采用分数自回归ARFI(5,d)模型预测未来波动,结果表明,ABDL模型优于ARCH类等其他模型。AB2DL模型为:

・80・《数量经济技术经济研究》2007年第11期

j=1

∑

cjL

1-Ld

logRVt+1,t

(m)

=μ+εt(8)

由于对数实现波动基本呈正态分布,式(8)采用对数实现波动自回归,分数差分d则

是为了说明对数实现波动呈现长期记忆性①。ABDL模型需估计6个参数(不包括常数项)。

MIDAS波动模型与ABDL模型的主要差异在于:①MIDAS模型没有自回归项,而ABDL模型采用自回归形式,较接近ARCH类模型;②用两参数的Beta多项式估计MI2DAS波动模型至多涉及4个参数,比ABDL模型要少;③以滞后实现波动为回归项时,MIDAS模型的权重基于Beta多项式,而ABDL模型中的权重基于ARFI模型的多项式;④MIDAS模型可直接预测未来持有期H的波动,如周波动(H=5);而ABDL模型预测的是

天对数实现波动,需加总至周波动。可见,MIDAS波动模型的关键是选择适当的回归项和权重函数。

(5)预测评价。在波动预测方面,Andersen,Bollerslev,Diebold和Labys(2003)研究表明,ABDL模型优于ARCH类模型,而Ghysels,Santa2Clara,和Valkanov(2006)认为,MIDAS波动模型优于ABDL模型。本文采用我国股市数据,利用MIDAS模型和AB2DL模型的均方误差(MSE)之比②来评价模型的预测能力。如果MSEMIDAS/MSEABDL<1,表示MIDAS波动模型优于ABDL模型。因MIADS波动模型预测波动水平,而ABDL模型预测对数波动,需将二者指数化,以便比较。

二、数据分析及ABDL模型估计

本文以2001年3月1日至2005年9月30日间上证指数和深成指的5分钟数据为研究对象,数据来源为复旦大学固定收益证券研究中心日相数据库③。

表1给出了基于Andersen和Bollerslev(1998)实现波动平方根

RVt+1,t的描述性统

(m)

计。其中,沪深股市实现波动分布的偏度均在1%显著性水平下显著地大于零,表明该分布非对称;超额峰度(峰度-3)均在1%显著性水平下显著地大于零,表明该分布较正态分布呈尖峰态。

表1

　上海和深圳股市实现波动平方根均值

上证指数深成指

010091010100

RVt+1,t的描述性统计()

标准差

010046010050

偏度

11575031188093

超额峰度

31786035141233

样本容量

11061106

　　注:3表示在1%显著性水平下具有显著性。

图1给出了实现波动平方根

RVt+1,t1～80阶的样本自相关系数,其中上海和深圳股市

(m)

实现波动的1阶自相关系数分别为01668、01666,而且上海前79阶、深圳前32阶的自相

①长期记忆性理论首见于Robinson(1991),此后Ding,Granger和Engle(1993),Baillie,Bollerslev和Mikkelsen

(1996)等发现资产报酬波动具有长期记忆性,Bollerslev和Mikkelsen(1999)认为,波动的长期记忆性或分数单整过程

可用于解释波动率微笑。王春峰和张庆翠(2004),张庆翠和王春峰(2005)利用分数EGARCH模型发现中国股市波动

性具有长期记忆性。

②该比率也是两个模型的R2之比。

③由于2001年5月11日、17日、18日、21日和2003年4月29日没有或缺失大部分5分钟数据,本文剔除了这5天。

混合数据抽样波动模型・81・

关系数均大于零,表明实现波动具有很强的自相关性。

图1　上海和深圳股市实现波动平方根m

RVt+1,t的自相关系数

()

　　表2　

均值

上证指数深成指

上海和深圳股市对数实现波动log

标准差

0147401445mRVt+1,t

()

的描述性统计dGPH偏度

0103301297

超额峰度-0104501159

ADF-8177353-919495

样本容量

11061106

-41810-417040144133012725

　　注:3表示在1%显著性水平下具有显著性,估计值的标准差为010192。

表2给出了对数实现波动log(

RVt+1,t)的描述性统计。其中,上海股市对数实现波动

(m)

分布的偏度在5%显著性水平下与零无显著差异,表明该分布是对称的;超额峰度在5%显

著性水平下与零无显著差异,表明该分布呈对数正态。深成指对数实现波动分布的偏度在1%显著性水平下显著地大于零,表明该分布非对称;超额峰度在5%显著性水平下与零无显著差异,表明该分布基本呈正态。

图2给出了上海和深圳股市对数实现波动的1～80阶样本自相关系数,其中1阶自相关系数分别为01728和01707,且上海前80阶、深圳前39阶的自相关系数均大于零,表明对数实现波动具有很强的自相关性。

图2　沪深股市对数实现波动log

RVt+1,t

()

自相关系数

表2还计算了沪深股市对数实现波动的分数差分的估计值dGPH(Geweke和Porter2

Hudak,1983)和ADF单位根检验统计量。沪深股市dGPH估计值分别为014413和012725,

・82・《数量经济技术经济研究》2007年第11期

均小于015,且ADF统计量表明对数实现波动不存在单位根,为平稳过程。此外,图2的对数实现波动样本自相关系数呈双曲线型,表明对数实现波动具有长期记忆性。

根据上述结果,本文考虑用ABDL模型为对数实现波动建模。ABDL(2003)中固定d值为01401,估计了ARFI(5,d)模型,结果表明优于ARCH类模型。本文发现,如不固定d值且采用ARFI(5,d)模型,沪深股市对数实现波动的分数差分估计值分别为014151和013568。因此,本文采用ABDL(2003)固定d值为01401的方法,并将该模型作为基准模型,与MIDAS模型比较。沪深两市对数实现波动的ABDL模型估计结果参见表3。

表3　

常数

ABDL模型估计结果(d=01401)c1

上证指数-9166(1619)011020(314)深成指-914685(1617)0107(216)

010535(118)010443(115)010055(012)010633(211)010249(018)010228(018)

010608(210)010621(211)

　　注:括号内为基于Newey和West(1987)的异方差和自相关系数一致协方差估计的t值。

三、波动预测的比较为避免预测区间重叠引起的残差自相关性,本文预测1～4周非重叠的对数实现波动

()

logRVt+HmH,t。MIDAS模型的权重函数采用式(2)的Beta多项式,其中J=50;采用非线性最小二乘法估计参数,其标准差基于Newey和West(1987)的异方差和自相关系数一致协方差。模型诊断的主要目的在于说明残差是否存在相关性。

表4给出了MSEMIDAS/MSEABDL的值,其中MSEMIDAS为样本内MIDAS模型的MSE值,回归项分别为日实现波动、日实现幂、日极差、日绝对值报酬和日平方报酬;MSEABDL为样本内ABDL模型(式(8))的MSE值。MIDAS模型的被解释变量为1～4周实现波动

RVt+

(Hm)

H,t

或对数实现波动logRVt+,结果分列在表42A和表42B中。H,t

(

)

表4　MIDAS模型与ABDL模型:样本内MSE比率

　　　　　　　4A:实现波动水平

上证指数

　　　　回归项

预测期　　　　1周2周3周4周

深成指

日内极差

11428115341177011739

实现波动

11504115921172111786

实现幂

113551156111611736

绝对值报酬

11303115251165111707

平方报酬

11449116361174711782

实现波动

11453116311136711833

实现幂

11411115921134111786

日内极差

11403116141140611808

绝对值报酬

113241151131111716

平方报酬

11453116721138811822

　　　　　　　4B:对数实现波动

上证指数

　　　　回归项

预测期　　　　1周2周

深成指

日内极差

1141411592

实现波动

1141411613

实现幂

1143511686

绝对值报酬

1141411617

实现波动

1152011613

实现幂

1141711616

日内极差

1146111672

绝对值报酬

1152011653

混合数据抽样波动模型・83・

(续)

　　　　　　　4B:对数实现波动

上证指数

　　　　回归项

预测期　　　　3周4周

深成指

日内极差

1173111810

实现波动

1173611823

实现幂

1176511803

绝对值报酬

1167611731

实现波动

1137711824

实现幂

1140211871

日内极差

1137511946

绝对值报酬

11331117

　　注:对数实现波动中,回归项日绝对值和日平方报酬的结果相同,因此未列出日平方报酬的结果。

由表4,无论上证指数或深成指,无论采用何种回归项,MSEMIDAS/MSEABDL均大于1。因此,与ABDL模型相比,MIDAS波动模型并没有改善预测波动的能力,这与Ghysels,SantaClara和Valkanov(2006)的结论不同。

从MIDAS模型的各回归项看,如果预测实现波动水平,对于上证指数和深成指以及各预测期(1～4周)和各回归项,日绝对值报酬的MSEMIDAS/MSEABDL分别介于11303～11707和11324～11716之间,为所有回归项中最小。因此,若用MIDAS波动模型预测波动,回归项采用日绝对值最好。在预测对数实现波动时,如果利用MIDAS模型预测3周或4周的实现波动,对于上证指数和深成指,日绝对值报酬的MSEMIDAS/MSEABDL分别介于11676～11731和11331～117之间,为所有回归项中最小。如果预测1周或2周波动,对于上证指数,日内极差的MSEMIDAS/MSEABDL最小;对于深成指,分别为日实现幂和日实现波动的MSEMIDAS/

ABDL

MSE最小。

表5以日实现波动和日实现幂作为回归项,给出了MIDAS模型的权重估计值及其诊断检验。其中,第1天所在列给出了预测变量滞后1天的权重,第2～5天表示预测变量滞后2～5天的权重和,其余列依此类推。对于所有回归项和预测期,无论上证指数或深成指,βH的估计值均在1%显著性水平下显著地大于零,表明日实现波动和日实现幂对未来1～4周波动有显著的影响。Q(15)为残差的Ljung2Box统计检验量,其中除预测1周实现波动

水平外,其他的Q(15)在5%显著性水平下小于χ分布的临界值25,表明各MIDAS模型的残差均不具有自相关性,可见,MIDAS波动模型已较好地反映了实现波动的持续性。

与预测实现波动水平相比,预测对数实现波动赋予第1天滞后预测变量的权重更大,且回归项前20天滞后的总权重达到93%～99%。不过,有些回归项的第6～20天权重和达到了20%以上,这表明,利用MIDAS波动模型预测未来波动,至少应利用约1个月的历史数据。

四、结　　论

本文利用2001年3月至2005年9月上证指数和深成指5分钟数据,研究并比较了MI2

DAS波动模型和ABDL模型。实证结果表明,我国股市的对数实现波动呈长期记忆性。在预测波动方面,ABDL模型优于MIDAS模型。在利用MIDAS波动模型预测实现波动水平时,日绝对值报酬是最好的回归项;预测未来波动时,至少应利用约1个月的历史数据。

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(责任编辑:朱长虹;校对:吕小玲)

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