初三数学解直角三角形专题复习

第五讲 解直角三角形

一、【知识梳理】

知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。 知识点2、解直角三角形的工具：

1、直角三角形边、角之间的关系：

sinA=cosB=

abab sinB=cosA= tanA=cotB= cotA=tanB= ccba2222、直角三角形三边之间的关系： abc（勾股定理）

3、直角三角形锐角之间的关系 ： AB90。（两锐角互为余角）

知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，

（1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。

知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角：

在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.

2、仰角和俯角

在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角 称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.

3、坡度和坡角：

在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 叫作坡度（或坡比），用字母i表示（如图（1）），则有i坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：ih

, l

htan， l这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大.

二、【典型题例】

考点1、解直角三角形

例1．、1、在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c．

（1）已知b3，A30，求a和c． （2）已知a20，b20，求A．

2、如图，已知△ABC中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD是BC边上的高，

A 求AD的长

B

D3、已知，如图，△ABC中，∠A=30°，AB=6，CD⊥AB交 AB延长线于D，∠CBD=60°。

源-于-网-络-收-集

ADCCB====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

求CD的长。

考点2、解直角三角形的应用

例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度

例3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H. （1）求证：△AEG∽△CHG；

（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由； （3）若BC=1，求cos∠CHG的值.

E

A

G

C H F

B

D

例4、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:1.2，斜坡BC的坡

度i2=1:0.8，大堤顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为时，大堤加高了几米?

A B 例5．（08荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，

途经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45º方向，在B地正北方向，在C地北偏西60º方向．C地在A地北偏东75º方向．B、D两

源-于-网-络-收-集

北

北 D ====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参．．．．考数据：21.4,31.7）

例2. 如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若

。（1）求△ANE的面积；

（2）求sin∠ENB的值。

ADMCGNEB 三、【巩固与提高】

（一）、填空题：

12. （2012湖北鄂州8分）小明是一位善于思考的学生， 在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放， A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°， ∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，则BD的长是_______。

4. （2012湖北咸宁3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶 的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡 BC的坡度i1:5，则AC的长度是 cm．

3、19．（2012福州）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是_______．(结果保留根号) 4.（2012泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中， 点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于 点P，则tan∠APD的值是 ．

（二）、解答题： 4、（2011•丹东）为了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（要求结果精确到0．lm）

≈1.73，

5．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=，斜坡总长DE=85米．

（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）； （2）若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?

0.94，sin20°0.34，sin18°0.31，cos18°0.95） （参考数据：cos20°

17cm E

B A

C

D F

第5题图

6．（七中育才）如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?

7、（2012山东省德州二模）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α ．

(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)； (2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的 第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼 的影子刚好不影响乙楼采光 ？

望子成龙学校家庭作业

校区： 教室： 科目： 数学 学生姓名：_________作业等级：______ 第一部分：

源-于-网-络-收-集

BAC====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

1.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )

（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）cb. cosB

2.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为( ) （A）30tan米；（B）

30tan米； （C）30sin米； （D）

30sin米

3.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米

第二部分

4．已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2, ∠B=∠D=90°,求BC的长.

第三部分

Ａ Ｂ

Ｄ Ｃ

10. （2012湖北十堰8分）如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：3）

49、（2010·四川泸州）如图，某防洪指挥部发现长江边一500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：3.（1）求加固后坝底增加的宽度AF；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？ （结果保留根号）

反馈栏 家长签字 家长意见及建议

源-于-网-络-收-集