第五讲 解直角三角形
一、【知识梳理】
知识点1、 解直角三角形定义:由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。 知识点2、解直角三角形的工具:
1、直角三角形边、角之间的关系:
sinA=cosB=
abab sinB=cosA= tanA=cotB= cotA=tanB= ccba2222、直角三角形三边之间的关系: abc(勾股定理)
3、直角三角形锐角之间的关系 : AB90。(两锐角互为余角)
知识点3、解直角三角形的类型:可以归纳为以下2种,
(1)、已知一边和一锐角解直角三角形; (2)、已知两边解直角三角形。
知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角:
在航海的某些问题中,描述船的航向,或目标对观测点的位置,常用方位角.画方位角时,常以铅直的直线向上的方向指北,而以水平直线向右的方向为东,而以交点为观测点.
2、仰角和俯角
在利用测角仪观察目标时,视线在水平线上方和水平线的夹角 称为仰角,视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角(如图). 在测量距离、高度时,仰角和俯角常是不可缺少的数据.
3、坡度和坡角:
在筑坝、修路时,常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 叫作坡度(或坡比),用字母i表示(如图(1)),则有i坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有:ih
, l
htan, l这说明坡度是坡角的正切值,坡角越大,坡度也越大.
二、【典型题例】
考点1、解直角三角形
例1.、1、在ABC中,C为直角,A、B、C所对的边分别为a、b、c.
(1)已知b3,A30,求a和c. (2)已知a20,b20,求A.
2、如图,已知△ABC中∠B=45°,∠C=30°,BC=10,AD是BC边上的高,
A 求AD的长
B
D3、已知,如图,△ABC中,∠A=30°,AB=6,CD⊥AB交 AB延长线于D,∠CBD=60°。
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求CD的长。
考点2、解直角三角形的应用
例2. (2012深圳)小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为300,同一时 刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,求树的高度
例3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, △ABD是等边三角形,将四边形ACBD沿直线EF折叠,使D与C重合,CE与CF分别交AB于点G、H. (1)求证:△AEG∽△CHG;
(2)△AEG与△BHF是否相似,并说明理由; (3)若BC=1,求cos∠CHG的值.
E
A
G
C H F
B
D
例4、如图,有一段防洪大堤,其横断面为梯形ABCD,AB∥DC,斜坡AD的坡度i1=1:1.2,斜坡BC的坡
度i2=1:0.8,大堤顶宽DC为6米,为了增强抗洪能力,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形DCFE,EF∥DC,点E、F分别在AD、BC的延长线上,当新大堤顶宽EF为时,大堤加高了几米?
A B 例5.(08荆州)载着“点燃激情,传递梦想”的使用,6月2日奥运圣火在古城荆州传递,
途经A、B、C、D四地.如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东45º方向,在B地正北方向,在C地北偏西60º方向.C地在A地北偏东75º方向.B、D两
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北
北 D ====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====
地相距2km.问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参....考数据:21.4,31.7)
例2. 如图,ABCD为正方形,E为BC上一点,将正方形折叠,使A点与E点重合,折痕为MN,若
。(1)求△ANE的面积;
(2)求sin∠ENB的值。
ADMCGNEB 三、【巩固与提高】
(一)、填空题:
12. (2012湖北鄂州8分)小明是一位善于思考的学生, 在一次数学活动课上,他将一副直角三角板如图位置摆放, A、B、C在同一直线上,EF∥AD,∠A=∠EDF=90°, ∠C=45°,∠E=60°,量得DE=8,则BD的长是_______。
4. (2012湖北咸宁3分)如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为 30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶 的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡 BC的坡度i1:5,则AC的长度是 cm.
3、19.(2012福州)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交 AC于点D,则AD的长是______,cosA的值是_______.(结果保留根号) 4.(2012泰州)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中, 点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于 点P,则tan∠APD的值是 .
(二)、解答题: 4、(2011•丹东)为了解某广告牌的高度,已知CD=2m,经测量,得到其它数据如图所示.其中∠CAH=30°,
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∠DBH=60°,AB=10m.请你根据以上数据计算GH的长.(要求结果精确到0.lm)
≈1.73,
5.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米,斜面距离BC=,斜坡总长DE=85米.
(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°); (2)若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺,需要铺几级台阶?
0.94,sin20°0.34,sin18°0.31,cos18°0.95) (参考数据:cos20°
17cm E
B A
C
D F
第5题图
6.(七中育才)如图,某水库大坝的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝高10米,斜坡AB的坡度为1:2.现要加高2米,在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下,加固一条长50米的大坝,需要多少土方?
7、(2012山东省德州二模)如图,已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m,由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层,每层高度为3 m.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h,太阳光线与水平线的夹角为α .
(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围); (2) 当α=30°时,甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的 第几层?若α每小时增加15°,从此时起几小时后甲楼 的影子刚好不影响乙楼采光 ?
望子成龙学校家庭作业
校区: 教室: 科目: 数学 学生姓名:_________作业等级:______ 第一部分:
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1.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
(A)a=csinA;(B)a=bcotB;(C)b=csinB;(D)cb. cosB
2.为测楼房BC的高,在距楼房30米的A处,测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为( ) (A)30tan米;(B)
30tan米; (C)30sin米; (D)
30sin米
3.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米,则他上升的高度是 米
第二部分
4.已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2, ∠B=∠D=90°,求BC的长.
第三部分
A B
D C
10. (2012湖北十堰8分)如图,为了测量某山AB的高度,小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°,然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点,在D点测得山顶A的仰角为30°,求山AB的高度.(参考数据:3)
49、(2010·四川泸州)如图,某防洪指挥部发现长江边一500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1:3.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米? (结果保留根号)
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