一、选择题（每小题5分，共40分）
1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=( ) A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）
2．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( ) A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜右平移
）的最小正周期是π，若其图象向
个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象( )
，0）对称 B．关于直线x=，0）对称 D．关于直线x=
对称 对称
A．关于点（C．关于点（
5．已知x=，y=log52，z=ln3，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．y＜x＜z
6．如图，在△ABC中，
，
，若
，则
的值为( )
A．﹣3 B．3
C．2
D．﹣2
7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲
，则双曲线的离心率为( )
2
线的一条渐近线与抛物线的准线交于点
1
A． B． C． D．
8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）
=
范围是( )
，若x∈（0，4]时，t﹣
2
≤f（x）恒成立，则实数t的取值
A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）
二、填空题（本小题共6道小题，每题5分，共30分）
9．i是虚数单位，计算的结果为__________．
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．
11．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为__________．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD
2
于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC=BD•BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是__________．
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且
=，=，则•的值为__________．
2
14．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f
（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围__________．
三、解答题（本大题共6道小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程以及演算步骤） 15．（13分）已知函数
（1）求f（x）的最小正周期；
．
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值． 16．（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题． （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．
（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 17．（13分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为
+1）．
，以椭圆上任一点与左，右焦点
F1，F2为顶点的三角形的周长为4（（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
3
（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，|圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使
•
|=1，且l2⊥l1，直线l2与椭
=﹣1成立．若存在，求出直线l2
的方程；若不存在，请说明理由．
*
19．（14分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N），且a2=11． （1）求a1的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）设数列{bn}满足bn=
，求证：b1+b2+„+bn＜．
20．（14分）已知函数 f（x）=x﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0） （Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值： （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
2
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k+6k恒成立，求实数k的取值范围．
2
4
2015-2016学年天津市学大教育高三（上）期中数学模拟试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=( ) A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3） 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．
【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}， ∁RB={x|x≤﹣1或x＞5}
则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1} 故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．
2．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题．
【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得k∈Z，由充要条件的定义可得．
【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合； 当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时， 可取
，k∈Z即可，
，
故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合” 的充分不必要条件． 故选A
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．
3．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( ) A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α 【考点】直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想． 【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
5
【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；
α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确 故选D
【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜右平移
）的最小正周期是π，若其图象向
个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象( )
，0）对称 B．关于直线x=
对称 对称
A．关于点（
C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移得到的函数 y=sin（2x﹣求得它的对称性． 【解答】解：由题意可得移
+φ]是奇函数，可得φ=﹣
个单位后
，从而得到函数的解析式，从而
=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平
个单位后得到的图象对应的函数为
）+φ]=sin（2x﹣
），故当x=
+φ]是奇函数，又|φ|＜
时，函数f（x）=sin
，故φ=﹣
，
y=sin[2（x﹣
故函数f（x）=sin（2x﹣=1，故函数f（x）=sin
（2x﹣） 关于直线x=对称，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．
5．已知x=，y=log52，z=ln3，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．y＜x＜z 【考点】对数值大小的比较．
6
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵，=，z=ln3＞lne=1． ∴z＞x＞y． 故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
6．如图，在△ABC中，
，
，若
，则
的值为( )
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 【解答】解：∵==（==×=∴=又
﹣=+=λ
﹣﹣
﹣， +（； +μ
， ﹣
）
）
=
+
，
∴λ=，μ=；
∴=×=3． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目．
7
7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲
，则双曲线的离心率为( )
2
线的一条渐近线与抛物线的准线交于点
A． B． C． D． 【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，
即点在抛物线的准线上，则p=10， 则抛物线的焦点为（5，0）；
因为双曲线所以c=5，
﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y=2px（p＞0）有相同的焦点，
2
因为点
所以a=4，b=3
在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，
所以e== 故选B． 【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键．
8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）
=
范围是( )
，若x∈（0，4]时，t﹣
2
≤f（x）恒成立，则实数t的取值
A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞） 【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
8
【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，
2
分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t﹣≤f（x）恒成立即为由t﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），
2
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）﹣2（x﹣2）﹣2，即为
2
f（x）=2x﹣10x+10，
当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，
2
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．
当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣； 当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为； 当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣； 当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1． 综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣． 若x∈（0，4]时，t﹣则有t﹣
2
2
≤f（x）恒成立，
≤﹣．
解得1≤t≤． 故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．
二、填空题（本小题共6道小题，每题5分，共30分）
9．i是虚数单位，计算的结果为﹣i．
【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：i是虚数单位，
===﹣i．
故答案为：﹣i．
【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．
9
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；分割补形法；立体几何．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，结合图中数据，求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是三棱柱ABF﹣DCE与四棱锥P﹣ABCD的组合体， 如图所示；
则该几何体的体积为 V=×2×2+×2×2×2=故答案为：
．
2
．
【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．
11．已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3． 【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可． 【解答】解：∵f′（x）=a（1+lnx），f′（1）=3， ∴a（1+ln1）=3， 解得a=3， 故答案为：3．
10
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD
2
于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC=BD•BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是①②③④．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；转化思想；推理和证明．
【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利
2
用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD=DE•DB，即可得出DE．利
2
用△ACB∽△CDB，可得BC=BD•BA；证明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB•sin60°=4∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°，即①正确． 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=2
2
．
，BD=BC•sin60°=6．
由切割线定理可得CD=DE•DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正确．
2
∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC=BD•BA，即③正确； ④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正确； 故答案为：①②③④．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可． 【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°， ∴BG=∵∴=
•=•
=，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°， ，=（+
•=++
， ）•（
•
++
）=（•
+
）•（
+
）
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120° =1+
=，
11
故答案为：
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
14．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f
（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围（16，24）． 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】先画出函数f（x）=求出其范围．
的图象，再根据条件数形结合，即可
【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d）， 不妨令a＜b＜c＜d，
则log2a=﹣log2b，c∈（2，4），d∈（6，8）， 故ab=1，cd∈（16，24）， 故abcd∈（16，24）， 故答案为：（16，24）
12
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．
三、解答题（本大题共6道小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程以及演算步骤） 15．（13分）已知函数
（1）求f（x）的最小正周期；
．
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=
，由周期公式可得答案；
（2）由x的范围可得的范围，进而可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值． 【解答】解：（1）化简可得==
„
=所以（2）因为所以当
„ „
，所以
„
，所以﹣1≤f（x）≤2，
，即
时，f（x）min=﹣1，
当，即时，f（x）max=2，„（14分）
【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题． 16．（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题． （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．
（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
13
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（I） 设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望． 【解答】解：（I） 设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为
．
∴P（M）==．P（N）==．
=
．
，P（ξ=1）
丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）=
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2==
=
列表如下： ξ P =
，P（ξ=2）
=． 3 =，P（ξ=3）=
0 1 2 ∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．
【点评】本题中考查了超几何分布、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题． 17．（13分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
14
【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】计算题；证明题．
【分析】法一（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明． （2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
法二，根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解（1）利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断线面关系，
（2）通过求两个平面法向量的夹角求二面角． 【解答】解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB， 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角 ∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角 在Rt△EMN中，EM=1，MN=
．
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE 证明如下：在线段BC上取点P．使
，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为
则即
所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为
15
（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设
∴
所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE 另解：设又∵把∴
代入上式得
，
所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE
【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．
18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为
+1）．
，以椭圆上任一点与左，右焦点
F1，F2为顶点的三角形的周长为4（
16
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，|圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使
•
|=1，且l2⊥l1，直线l2与椭
=﹣1成立．若存在，求出直线l2
的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（程；
（2）分类讨论，根据
•
=﹣1，|
+1），=
，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方
|=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭
圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（∴a=2
c=2，b=2．
+1），=
，„
∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）假设存在直线l2，使
． „ •
=﹣1成立．
2
2
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m+n=1，
则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1． （1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，代入
•
=﹣1，不符题意； „
），B（1，﹣
），
（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程又m+n=1，得 （1+m）x﹣4mx+2﹣8n=0． „
2
2
2
2
2
联立，
∴x1+x2=又∵
•
，x1x2==﹣1，
． „
∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又 mx1+ny1=1，mx2+ny2=1
∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2． ∴x1x2+y1y2=0． „ 22
∴nx1x2+1+mx1x2﹣m（x1+x2）=0． ∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0． „
2
∴﹣5n=0．
17
∴n=0这与n≠0矛盾． „ 综上可知，不存在这样的直线l2，使
•
=﹣1成立． „（13分）
【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
*
19．（14分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N），且a2=11． （1）求a1的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）设数列{bn}满足bn=，求证：b1+b2+„+bn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．
（2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
（3）由=（），由此能
证明b1+b2+„+bn＜．
*
【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N），且a2=11． ∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1）， ∵a2=11，解得a1=5．
（2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，
得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）， ∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1），
*
∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N，
∴数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列， ∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，
∴．
（3）证明：∵
=∴分）
，
（13
18
=，
∴b1+b2+„+bn＜．（14分）
【点评】本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．
20．（14分）已知函数 f（x）=x﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0） （Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值： （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
2
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k+6k恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；
（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；
2
（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈[1，e]，f（x）≥k+6k
2
恒成立，即求f（x）min≥k+6k恒成立．
2
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，
2
∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0， 当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分 ③当a＞1时，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
19
（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，
由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，
因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分
∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，
∴f（e）﹣f（1）=
2
．
设g（x）=x﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜， ∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．
∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
22
若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k+6k恒成立，只需f（x）min≥k+6k恒成立，
22
即求﹣5≥k+6k恒成立，即k+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1． ∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分 【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．体会数学转化思想的运用．
20
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