选修4-4 第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 教案

二 圆锥曲线的参数方程 教学目的：圆锥曲线的参数方程及其与普通方程的关系，系数a, b的含义； 教学重点、难点：圆锥曲线参数方程的推导及应用，参数方程与普通方程的相互转化 椭圆的参数方程 复习： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆x2y2r2参数方程 （2）圆(xx0)2(yy0)2r2参数方程 2．写出椭圆的标准方程，类比圆的参数方程，能写出椭圆的参数方程吗？ 问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有 x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ， y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是 xacos即  (θ为参数)。 ybsin这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为[0,2)。 xrcos椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程(θ为参数)中参数θ的意义类似吗？ yrsin由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。 2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 1 页 共 13 页

焦点在y轴上的椭圆的参数方程： x2y221, 2baxbcosyasin 2yx练习：已知椭圆＝1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM942＝60°。(1)求点M的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？ 错解：由已知可得a＝3，b＝2，θ＝600, ∴x＝acosθ＝3cos60°＝3，y＝bsinθ＝2sin60°＝3。 2从而，点M的坐标为(3,3)。 22yx正解：设点M的坐标为(x,y)，则由已知可得y＝3x,与＝1联立， 942解得x＝631， y＝693。 3131所以点M的坐标为(631,693)。 3131另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M的坐标(略)。 x2y2例1 求椭圆221(ab0)的内接矩形的面积及周长的最大值。 abx2y2解：如图，设椭圆221的内接矩形在第一象限的顶点是abA(acos，bsin)(02)，矩形的面积和周长分别是S、L。 S4|FA||EA|4acosbsin2absin22ab， 当且仅当a时，Smax2ab，L4(|FA||EA|)4acos4bsin4a2b2，42012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 2 页 共 13 页

Lmax4a2b2，此时α存在。 x2y21上运动，(1)求2x+3y的最大值和最小值； 例2 动点M(x,y)在曲线94(2)求M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小。并求出最小距离。 x3cos解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)。 y2sin由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为 34|5(cos•sin•)10||3cos4sin10|155d|5cos(1)10| 555其中1满足cos134,sin1 ．由三角函数性质知，当10时，d取最小值5 559898，2sin2sin1，所以，当点M位于(,)时，点M与直线5555此时3cos3sin1x2y100的距离取最小值5． x2y2例3 设点P（x，y）在椭圆1，试求点P到直线xy50的距离d的最大值和最169小值。 x2y2解：点P（x，y）在椭圆1上，设点P（4cos，2)）， 3sin）（α是参数且[0，1695sinarcsin|3cos4sin5|则d54232355。 x2y23当arcsin时，距离d有最小值0，此时椭圆1与直线xy50相切；当169252012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 3 页 共 13 页

33arcsin时，距离d有最大值2。 25 例4 θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 y2x2AM1例5 已知点A在椭圆1上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试14436MB2求动点M的轨迹方程。 解：由题意知B（0，9），设A（12cos，6sin），并且设M（x，y）。 xA1111xB12cos0yAyB6sin922228cos，4sin3， y111111112222x8cos（α是参数）， y4sin3则x动点M的轨迹的参数方程是x2(y3)2消去参数得1。 6416 x2y2例6 椭圆221(ab0)与x轴的正向相交于点A，O为坐标原ab点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 x2y2解：设椭圆221(ab0)上的点P的坐标是（acos，bsin）（α≠0且α≠π），Aab（a，0）。 则kOPbsinbsin0。而OP⊥AP， ，kAPacosacosa2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 4 页 共 13 页

于是bsinbsin01，整理得(a2b2)cos2a2cosb20 acosacosab2解得cos1（舍去），或cos2。 2abb21e2212因为1cos1，所以12。可转化为，解得，于是111e1。e2222abe2故离心率e的取值范围是，1。 2 2y2x例7 四边形ABCD内接于椭圆＝1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于916椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。 双曲线的参数方程 与研究椭圆参数方程的方法类似，我们来研究双曲线 x2y21(a0,b0)a2b2② 的参数方程。 如图, 以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1、C2。设A为圆C1上任一点, 作直线OA, 过A作圆C1的切线AA'与x轴交于点A', 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M,设OA与OX所成的角为φ(φ∈[0, 2π)且φ≠π/2，φ≠3π/2), 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。 设Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x,y)．那么点A1的坐标为(x,0)，点B1的2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 5 页 共 13 页

坐标为(b,y)．因为点A在圆C1上，由圆的参数方程得点A的坐标为（acos,asin）， 所以，OA(acos,asin),AA1(xacos,asin)．因为OAAA1，所以从而acos(xacos)(asin)20，解得xOA•AA10，a1sec，．记（seccoscos是正割函数，它表示余弦函数的倒数，现在只是为推导参数方程才引入，所以不要求引入，仅供同学们学习了解使用）则xsec．因为点B1在角的终边上，由三角函数的定义有tany，即bxasec（为参数）（2） ybtan．所以，点M的轨迹的参数方程为ybtan1sin222sectan1，所以，从（2）方程中消去参数后得到点M因为，即122coscos的轨迹的普通方程（1）．这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．所以（2）就是双曲线（1）的参数方程．此时的参数的范围为0,2，且2,3． 2由图可知，参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角. x2y2与椭圆类似，221双曲线上任意一点的坐标可以设为asec,btan，ab这是解决与双曲线有关的问题的重要方法. 例1.求点M0(0, 2)到双曲线x2－y2=1的最小距离。 x2y2例2 如图示，设为双曲线上221(a,b>0)任意一点，为原点过点作双曲线两渐近线的平ab行线，分别于两渐近线交于两点。探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？ 2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 6 页 共 13 页

解：双曲线的渐近线方程为ybx，不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec，abbbtan），则直线MA的方程为ybtan(xasec) （1），将yx代入（1），解得aaaa(sectan)，同理可得，点B的横坐标为xB(sectan)．设22b，所以，平行四边形MAOB的面积为a点A的横坐标为xAAOxa，则tanSxAxBa2(sec2tan2)••sin2•sin2 MAOB|OA|•|OB|sin2cossin4cos2a2a2bab•tan• 22a2由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关． 经验：①平行四边形的面积公式为：S|OA||OB|•sinAOB，由此可知，只要求得或表示出|OA|，|OB|的长度和AOB的正弦值即可． xasec②直接求出点A，B的坐标不容易，所以采用双曲线的参数方程，但注意正割函数的引ybtan入要做解释，特别是sec2tan21． ③掌握渐近线的斜率为坐标． 例3 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角． 分析：（1）实轴和虚轴等长的双曲线，叫等轴双曲线，所以等轴双曲线的渐近线，方程为yx，两渐近线的夹角为直角． 2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 7 页 共 13 页

bb，与渐近线平行的直线的斜率是，写出直线方程，求得点A，Baa（2）此题求证：BA1AAA2B2 证明：设双曲线方程为x2y2a2，取顶点A2（a,0），弦AB∥Ox，B(asec,atan), 则A(asec,atan)．∵kA2Aatanatan,kBA2asecaaseca,∴kA2A•kBA21 ∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角． 经验：①掌握等轴双曲线的定义和等轴双曲线方程的设法x2y2a2．②根据题义要能化出较标准的图象．③证明是直角，实际是证明所在直线的斜率积为-1． x2y2例4 已知双曲线221(a0,b0)，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平aba2b2分线与x轴相交于点P(x0,0)，求证：|x0|． a分析：证明题是学生学习较困难的部分，而不等式是更困难的部分，所以在证明前学会分析条件和结论之间的联系是解题的关键． 解：设A，B坐标分别为(asec,btan)，(asec,btan)，则中点为 abM((secsec))，(tantan))，于是线段AB中垂线方程为 22ba(secsec)a(tantan)x(secsec) 2b(tantan)2ya2b2(secsec)． 将P(x0,0)代入上式，∴x02aa2b2∵|secsec|2（∵A，B相异），∴|x0|． a经验：①中垂线的特点是直线过AB中点且与线段AB垂直．②关键点是|secsec|2，2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 8 页 共 13 页

由此得出结论． 抛物线的参数方程 前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程： x100t10000t) 12(t为参数，且gy500gt2对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？ 以抛物线的普通方程y22px为例，其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α。 显然，当α在(,)内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于22α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程．因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得yy由方程y22px，tan联tan，xx2pxtan2立，得到 (α为参数)，这是抛物线(不包括顶点)的参数方程． 2pytanx2pt21如果令t，t(,0)(0,)，则有（t为参数）． tany2ptx2pt2当t=0时，由参数方程（t为参数）表示的点正好就是抛物线的顶点(0，0)，因此，y2ptx2pt2当t(,)时，参数方程（t为参数）就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶y2pt点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 9 页 共 13 页

说明：1、抛物线的参数方程因参数选择的不同会有不同的形式，要注意所选参数的几何意义．(例如： 2pxtan2抛物线的参数方程为时(α为参数)，这是不包括顶点的抛物线的参数方程，α是2pytanx2pt2X轴正半轴到OM（M为抛物线上的点）所成的角．抛物线的参数方程为时(t为参数)，参y2pt数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数)． 2、抛物线参数方程要注意和普通方程的等价性，要注意抛物线的完整性． 例1 如图，O为原点，A,B为抛物线y22px(p0)异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．又当点A,B在什么位置时，ΔAOB面积最小？最小值是多少？ 分析：①注意直线垂直时的条件，斜率积为-1或向量的数量积为0，引出参数间的关系．②注意挖掘三点共线的条件：x1y2x2y10 2,2pt2）（t1t2，解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为(x,y)，(2pt12,2pt1)，（2pt22且t1•t20），则OM(x,y)，OA(2pt12,2pt1)，OB(2pt2,2pt2)，2AB(2p(t2t12),2p(t2t1))．因为OAOB，所以OA•AB0， 即 (2pt1t2)2(2p)2t1t20，所以t1t21 ① 22因为OMAB，所以OM•AB0，即(2px(t2t1))2py(t2t1)0 1y所以x(t1t2)y0，即t1t2(x0)． ② x2因为AM(x2pt12,y2pt1),MB(2pt2x,2pt2y)，且A，M，B三点共线， 2x)，化简，得y(t1t2)2pt1t2x0③ 所以(x2pt12)(2pt2y)(y2pt1)(2pt22012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 10 页 共 13 页

将①和②代入y(t1t2)2pt1t2x0得到 yy()2px0，即x2y22px0(x0)，这就是点M的轨迹方程． x（2） 222OA＝(2pt12)2(2pt1)22pt1t121，OB(2pt2)(2pt2)22pt2t2122所以，AOB的面积为SAOB2p2t1t2(t121)(t21)2p2t12t22 2p2(t1t2)44p当且仅当t1t2，即当点A,B关于x轴对称时，22AOB的面积最小，最小值为4p2.经验：①此题的重点是向量垂直，向量的数量积为0．由此找到参数之间的关系． ②三点共线得到x1y2x2y10，消去参数t1,t2得到点M的轨迹方程． ③此出用关系式①②③得到方程x2y22px0(x0)，采用的方法是整体消元，方法不多见，但不可忽视，目的告诉学生在解题过程中注意分析规律，注意观察综合应用． x2t2例2 过点M(2,4)且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）条 y4tA 0 B 1 C 2 D 3 分析：如图，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或与对称轴平行，所以直线有两条，答案选C． 经验：①抛物线的普通方程为y28x，顶点在原点，开口向右；且点M在抛物线上． ②判断椭圆和双曲线与直线交点个数时，一般联立方程，方程组有两解时，有两个交点；有惟一解时，有一个交点；无解时，没有交点．但抛物线例外，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线有一个交点．所以，判断抛物线与直线的交点个数时，把直线方程与抛物线方程联立，方程组两解时有两个交点；有一解时，如直线所过的点在抛物线内，则一条直线；若点在抛物线上，则两条直线，一条是切线， 另一条是平行于对称轴的直线；若在抛物线外，且直线不过抛物线的顶点时，有三条直线于2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 11 页 共 13 页

抛物线有一个公共点，其中两条切线，一条与对称轴平行；当直线过抛物线外一点，且过抛物线顶点时，与抛物线有一个交点的直线有一条．此题直线过点M(2,4)（且点在抛物线上，）所以与抛物线只有一个交点的直线有两条，所以选项为C． x2at例3 过抛物曲线（t为参数）的焦点F作直线交抛物线于A，B，设2yatΔAOB(O为原点)的面积为S，求证：S2:|AB|为定值． 分析：求面积的平方与弦长的比为定值，需要求出面积的表达式和弦长的表达式，此时再用参数方程表示未知数太多，不易表示，所以采用参数方程转化为普通方程形式，用直线方程与抛物线方程联立，一元二次方程求弦长方式即求． 解：抛物线x24ay的焦点为F(0,a)，(不妨设a>0),过焦点的直线AB方程ykxa，代入抛物线方程得x24akx4a20．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x24ak,x1x24a2． |AB|1k2(x1x2)24x1x24a(1k2)．又点O到直线的距离da1k2 ∴S11a|AB|•d4a(1k2)•2a21k2 221k2∴S2:|AB|4a4(1k2):4a(1k2)a3为定值． 经验：①解题方法不是千篇一律的，有时要参数方程化为普通方程，有时要普通方程化为参数方程，此题即要求把参数方程化为普通方程，且抛物线的开口向上，焦点在y轴上． ②弦长公式为|AB|1k2(x1x2)24x1x2，面积公式为S 1|AB|•d． 22、设M为抛物线y22x上的动点，给定点M0(1,0)，点P为线段M0M的中点，求点练习： P的轨迹方程。2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 12 页 共 13 页

x2pt21、若曲线{(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1,t2,y2pt则弦M1M2所在直线的斜率是(C)A、t1t2,1B、t1t2，C、,t1t21D、t1t2解：由于M1,M2两点对应的参数方程分别是t1和t2，则可得点M1和M2的坐标分别为M1(2pt,2pt1),M2(2pt,2pt2)，kM1M221222pt12pt212t1t22pt122pt2 4.(见教材P35第4题）已知A,B,C是抛物线25.(见教材P35第5题)经过抛物线y22px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB,以直y2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直， 线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点M的轨迹直线AB,AC分别与抛物线的轴交于D，E两点.的参数方程. 求证：抛物线的顶点平分线段DE.2115、解：直线OA的方程为ykx，直线OB的方程为yx 4、证明：设点A,B的坐标分别为(2pt,2pt1)kykx222p2p(2pt2,2pt2),则点C的坐标为(2pt2,2pt2) 解方程组{得点A的坐标是(,)2 y2pxk2k1直线AB的方程为y2pt1(x2pt12)1yxt1t22 解方程组{k得点B的坐标是(2pk,2pk)所以点D的坐标为(2pt1t2,0)，直线AC的方程为：y22px 设点M的坐标为(x,y)则2p2p2(2pt1t2,0)因为DE的中点为原点(0,0),所以抛物线2pk2pk2pp2kk xpk,ypk的顶点O平分线段DE。2k22k所以，线段AB的中点M的轨迹的参数方程是 pxpk22 k{(k为参数)pypkkx2y2y2pt11(x2pt12)，所以E的坐标为t1t2例6 已知椭圆a2b21上任意一点M， 2、证明：设M(acos,bsin),P(xp,0),Q(xQ,0)， 因为P、Q分别为B1M,B2M与x轴的交点， 所以KB1PKB1M,KB2QKB2Macosacos,xQ1sin1sin(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线 分别与x轴交于P, Q两点，O为椭圆的中心， 由斜率公式计算得求证：|OP|·|OQ|为定值。

xP 所以OPOQxPxQa2为定值2012.05.18 选修4-4第二讲 参数方程(圆锥曲线的参数方程) 第 13 页 共 13 页