2019年上海市宝山区中考数学一模试卷

2. 下列命题中，正确的是（ ）

A.两个直角三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 A. a=-2

a

B.两个矩形一定相似 D.两个菱形一定相似 C. a=l

P （ 2, 4）,那么OP与x轴正

3. 已知二次函数y=ax2・i的图象经过点 （1,・2）,那么a的值为（

B. a=2 D. a=-l

4.如图，直角坐标平面内有一点

半轴的夹角 的余切值为（ A. 2 一5. 设m, n为实数，那么下列结论屮错误的是（

- -k'sl- B CD B.(

m+n

6.

若OA的半径为5, 圆心A的坐标是（1,2），点P的坐标是 5, 2）,那么点P

2019年上海市宝山区中考数学一模试卷

副标题

的位置为（）

A. 在OA内 B.在0A± C.在G)A外 D.不能确定

二、填空题（本大题共 12小题，共48.0分） 一、选择题（本大题共 6小题，共24.0分） 1. 如图，已知 AB〃CD〃EF, BD : DF=1 结论正

确的是（）

A. AC： AE=1 : 3 B. CE： EA=1： 3 C. CD : EF=1： 2 D・ AB： CD=1 : 2

7. 8. 9.

抛物线y=x2-l的顶点坐标是 ________ ・

将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为 _____________ 请写出一个开口向下且过点（0, 2）的抛物线解析式： ___________

10.若 21,1 =3,那么 31 I 亍 ______

11.

两地在地图上的距离为

甲、乙两地的实际距离为

10cm,那么图

500千米，甲、乙

上4.5cm的两地之间的实际距离为 ________ 千米.

12. ______________________________________________________ 如果两个相似

三角形的周长的比等于1： 4,那么它们的面积的比等于 ____________________________

21.

13. RtAABC ZC=90 0 , AB=2 AC,那么 sinB= ___________________

14.直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm,那么该直角三角形的斜边长为 ____________ 15.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,点E在CB延长线上,

ZABD=ZCEA,若 3AE=2BD , BE=1,那么 DC = ____________ . 16. OO的直径AB=6, C在AB延长线上，BC=2，若G)C与G) O有

公共点，那么0C的半径r的取值范围是 _________

17.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，

等腰三角形腰长为 5, “边长正度值”为3,那么这个等腰三角形底角的余弦值等 于 ______ ・

18. 如图，RtAABC 中，ZACB =90 0 , AC=4 , BC=5,点 P 为 AC 上

一点，将ABCP沿直线BP翻折，点C落在C'处，连接AC', 若AC' 〃BC,那么CP的长为 三、计算题(本大题共 1小题，共10.0分)

上

19. 如图，已知：RtAABC ZACB=90 0 ,点 E 为 AB 上一点，AC=AE§3 ,

BC=4,过点A作AB的垂线交射线EC于点D,延长BC交AD于点F. (1)求CF的长； (2)求ZD的正切值.

四、解答题(本大题共 6小题，共68.0分)

sin30tan30° +cos60° cot30° 0

20.计算： .

21.

已知：如图，在 AABC中，AB=AC,点E、F在边 BC ±, ZEAF=ZB.求证：BF?CE=AB2.

若

・

22.如图，已知：AABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB =9,

AC=6, AD=2, AE=3.

（1）求闘的值;

It b （2）设

；子表示）•

23.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，

14° ,求电梯AB的坡度与长度. 参考数据：sinl4 0 =0., 24tanl4 0

电梯AB的两端分别距顶部9.9米

和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为

0., 25cosl4° 0.97.

P 6米£

24.如图，已知：二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点 A,顶点为P, 一次函数 y=|-3的图象交

x轴于点B,交y轴于点C, ZOCA的正切值为・g （1）求二次函数的解析式与顶点

P坐标；

(2)将二次函数图象向下平移 m个单位，设平移后抛物线顶点为 S AABP=S ABCP,求 m 的值.

P',若

25. 如图，已知：梯形 ABCD 中，ZABC=90 ° , ZDAB=45 ° , AB //DC , DC=3 , AB=5,点 P在AB边上，以点 A为圆心AP为半径作弧交边 DC于点E,射线EP于射线CB 交于点F・ (1) 若 AP=pl3],求 DE 的长； (2) 联结CP,若CP=EP,求AP的长；

(3) 线段CF上是否存在点G,使得AADE与AFGE相似？若相似，求FG的值；若不 相似，请说明理由.

答案和解析

1. 【答案】A

【解析】

解：VAB 〃CD〃EF,

A AC : CE=BD： DF=1： 2, 即 CE=2AC,

A AC : CE=1： 3, CE： EA=2： 3・

故选：A・

根据平行线分线段成比例定理得到AC : CE=BD： DF=1： 2,然后利用比例性质 对各选项进行判断.

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例.

2. 【答案】C

【解析】

解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似， 而两个等边三角形一定相似. 故选：C.

根据相似三角形的判定方法

对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断.

本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言.任何一个命 题

非真即假.要说明一个命 题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题

题 举

是假命 ，只需 出一个反例即可.

3. 【答案】D

【解析】

2

解：把（1,・2）代入y=ax -1得a-l=-2,解得a=-l.

把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值・

题查 图 标

本考 了二次函数象上点的坐特征：二次函数象上点的坐 解析式.也考查了二次函数的性质.

图

标满 足其

4. 【答案】B

【解析】

解：过点P作PA±x轴于点A・ 由于点P (2, 4),

・・・PA二4, OA=2

/,cot

®

故选：B・

过点P作PA±x轴于点A・由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定 义得结论.

本题考查了点在平面直角坐 标系里的意义及解直角三角形.解决本题的关键 是构造直角三角形. .【答案】D 【解析】

为实

解：A ＞如果m、n 数，那么m (n ) = (mn),故本

g]

団 选项结论

正确；

选项结论

正确；

为实 园页园

B、 如果m、n 数，那么(m+n) =m 4-n ,故本

C、 如果m、n为实数，那么m叵匚[)=mE3+m丄，故本选项结论 正确； D、如果m为实数，那么若mEB QI],那么m=0或工|强，故本选项结论错误・

故选：D.

根据平面向量的性质，即可判断A、B, C正确，根据向量的计算法则即可得D 错误.

此题考查了平面向量的性质.题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握 平面向量的性质是解此题

的关键.

6.【答案】A

【解析】

解：•・•圆心A的坐标是(1, 2)，点P的坐标是(5, 2), ・・・心册-1)2+(2-2)讣4V 5, ・•・点P在OA内， 故选：A.

先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根 据点与圆的关系的判

定方法进行判断.

本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关 键要记住若半径 为I•，点到圆心的

距离为d,则有：当d>i•时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当dVi•时，点在 圆内.也考查了坐

标与图形性质. 7.【答案】（0,・1） 【解析】

解：抛物线y=x2-l的顶点坐标为（0,・1）・ 故答案是：（0,・1）・

形如y=ax2+k的顶点坐标为（0, k）,据此可以直接求顶点坐标.

2

本题考查了二次函数的性质.二次函数的顶点式方程尸“（X-k） +h的顶点坐 标是（k, h）,对称轴方程是x二k・ 8•【答案】直线x=3 【解析】

解：将二次函数y=2x2的图象向右平彳个单位，所得解析式为：y=2（x・3）, 移故其图象的对称轴为：直线x=3・故 答案为：直线x=3・

直接利用二次函数平移 规律得出平移后解析式进而得出答案.

此题主要考查了二次函数 图象与几何 变换，正确记忆平移规律是解题关键.

9. 【答案】y=x2+2 （答案不唯一）

【解析】

解：•・•开口向下且 过点（0, 2）的抛物线解析式，

・•・可以设顶点坐标为（0, 2）,故解析式为：y=-x 2

+2 （答案不唯一）.

故答案为：y=-x 2+2 （答案不唯一）.

2

根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过 点（0, 2）得出即可.

题查 图 质 题 本 考 了二次函数 象的性 ，是开放型 目，答案不唯一.

10. 【答案】|

【解析】

解:

由2^1=3得到:

故引S=3>g|即

故答案是： 实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算.

考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属 于基础题. 11・【答案】225 【解析】

解：•・•甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离 为10cm,

10 1 nroHHHir

设图上4.5cm的两地之 间的实际距离为xcm,则

15 ・••比例尺三 1 解得 x=22500000, MMXXKI •••22500000cm 二225km,

・••图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米. 故答案为：225・

依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离 为10cm, 即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之 间的实际距离.

本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的 比值.

12.【答案】1： 16

【解析】

解：•・・两个相似三角形的周 长的比等于1： 4, ・•・它们的相似比为1： 4, ・•・它们的面积的比等于1： 16. 故答案为:1： 16.

由两个相似三角形的周 长的比等于1： 4,即可求得它们的相似比，根据相似三

角形的面 积比等于相似比的平方，即可求得它 们的面积的比.

此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方, 相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比.

13. 【答案】

【解析】 解：由题意，得

故答案为：山

根据锐角的正弦等于 对边比斜边，可得答案.

本题考查了锐角三角函数的定 义，利用锐角的正弦等于 对边比斜边是解题关 键.

14. 【答案】12cm

【解析】 解：由题意得，CG二4, ・••点G是AABC的重心,

A CD G=6, CD是AABC的中线,

® RtAACB 中，ZACB=90° , CD 是 厶他。的中

线，・・・AB二2CD二 12 (cm),

故答案为：12cm・ 根据三角形的重心的性质求出CD,根据直角三角形的性质计算即可.

本题考查的是三角形的重心的概念和性 质，直角三角形的性质，掌握三角形 的重心到 顶点的距离是它到 对边中点的距离的2倍是解题的关键.

15. 【答案】|

【解析】 解：VAB 〃DC,

・•• ZABD= ZBDC ,

•・• ZABD= ZCEA , ・•・ ZAEB= ZBDC ,

.\\ZEAB=180° ・ZAEB・ ZABE , ZCBD=180° ・ZABD- ZABE , ・•• ZEAB= ZCBD ,

A AAEB s&DC,

V3AE=2BD , BE=1, .吨， 故答案为：屈

根据平行 线的性质得到ZABD= ZBDC,推出AAEB ^ABDC ,根据相似三角形 的性质即可得到结论.

本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△ AEB -ABDC

解题的关键.

16.【答案】2WrW8

【解析】

解：・・・。0的直径AB=6 , C在AB延长线上，BC=2,

ACA=8,

VOC与(DO有公共点，即。C与(DO相切或相交， Z.r=2 或 I•二8 或 2< r<8,即 2W r W8.

故答案为2Wr W8.

利用OC与OO相切或相交确定r的范围.

本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：

①两圆外离？ d> R+r；②两圆外切？ d=R+r；③两圆相交？ R-r< d< R+r

(R2r)；④两圆内切？ d=R-r (R> r)；⑤两圆内含？ dr)・ 17.【答案】科或1

【解析】

解：设等腰三角形的底 边长为a,

l5-al=3,

解得，a=2或a=8,

T 5 4 -5 : : 当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦 当时，这个等腰三角形底角的余弦

值是故答案为: 根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和 锐角三角函数可

以求得相应的角的三角函数值.

本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关 键是明确题意，求出相应

的角的三角函数 值.

18.【答案】|

【解析】

解：过点C作CQ丄BC于点D,

•・・AC〃BC, ZACB=90° , :.ZC'AC= ZACB=90° ,且 CD丄BC,

・•・四边形C DCA是矩形，

ACD=AC, , C D二 AC=4 ,

・・•折叠

・・・BC』BC二5, CP=CP,

在 RtABDC*中，BP=|\\/C2?--frD21=3

ACD=BC-BD=2 :.AC=2 ,

在 RtAACP 中，CP 二CA +AP ,

2

2,

A CP =4+

5

•••CP 访

故答案为:

(4-CP)

过点C作C D±BC于点D,通过题意可证四边形C DCA是矩形，可得CD二AC ,

CD=AC=4 ,根据勾股定理可求BD二3,即CD=AC =2 ,根据勾股定理可求CP的 长.

题 变换 查

本是翻折 ，考 了矩形的判定和性 当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

质

质

，折叠的性，勾股定理，添加恰

!

19.【答案】解：(1) V ZACB=90 0 ,

AZACF=ZACB =90 0 , ZB+ZBAC=90 0 , VAD 丄AB, AZBAC+ZCAF=90 0 ,

AZB=ZCAF, AAABC^AFAC,

解得CF=；

AAH^.UC-C/7|=| EH=AE-AH=^

/. tanD=tanZECH 【解析】

22

(1) 证 AABC ^AFACl^

计

77c =,将相关线段的长代入计算可得;

(2) 作CH丄AB ,先算AB=5 ,据此可得

12 z

S/AC^-CII

2

CfS

EH=AE-AH=

,依据 tanD=tanZECH=

= ，AH= Ell CH 可得答案.

质 题 键

，解的关是添加

题 查

本主要考 解直角三角形与相似三角形的判定和性

辅助线构造与ZD相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性 质、勾股定理 等知识点.

1

1 20.【答案】解: 原式= > 二

X 【解析】

直接利用特殊角的三角函数 值把相关数据代入进而得出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解 题关键.

21 •【答案】证明：

V ZAEC=ZB+ZBAE=ZEAF+ZBAE=ZBAF ,又・.* AB=AC, AZB=ZC, /.AABF s/^ECA, AAB： CE=BF： AC,

2

【解析】

利用两角 对应成比例可得厶ABFs/XECA,对应边 成比例可得相 应的比例式， 整理可得所求的乘

积式.

此题考查了相似三角形的判定与性 质.注意证得AABF -AECA是解此题的关 键.

22 •【答案】 解：(1) VZAED=ZABC, ZA=ZA

/.AADE^AACB,

2 6

⑵竺=訂竺=-(+曇.

【解析】

(1) 根据已知ZAED= ZABC , ZA= ZA ,

进而得出AADE s^ACB ,由该相似三

角形的性质解答;

(2) 由三角形法则解答即可.

考查了平面向量和相似三角形的判定与性

质.注意：平面向量是有方向的.

23•【答案】解：作BC丄PA交PA的延长线 于点

C,作QD〃PC交BC于点D, 由题意可得，BC=9.9-2.4=7.5米， QP=DC=1.5 米，ZBQD=14 0 , 贝lj BD=BC-DC=7.5・1.5=6 米, VtanZBQDfc

tanl4

解得，ED=18, AC=ED =18, VBC=7.5 ,

/. tanZBAC： BC 7.5 5 二 12 9 即电梯AB的坡度是 5 12, VBC=7.5 , AC=18 ZBCA=90 ° , 22

・・・AB屮7. 5 + 18 = 19.5 ,

即电梯AB的坡度是5： 12,长度是19.5米. 【解析】

根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡 度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度.

本题考查解直角三角形的 应用■仰角俯角

问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形 结合的思想解答. 24•【答案】解:(1) Vy=x-3, x=0 时, y=-3,

当 y=0 时，|-3=0 ,解得 x=6, ・••点 B (6, 0) , C ( 0,・3),

2

VtanZOCA： ?

AOA=2,即 A ( 2, 0),

将 A (2, 0)代入 y=x2+bx,得 4+2b=0 , 解得b=-2, y=x2

2

:.

-2X= 则抛物线解析式为 y=x2 -2x,顶点p的坐标为(1, -D ； (2)如图,

由平移知点P'坐标为(1,・1-m),

x轴交于点H ,与BC交于点M,则M ( 1,

S AABP • =2

X4 ( m+1) =2 ( m+1 ),

AB?P

-)

设抛物线对称轴与

S ABCPZ =S AP* MC+S AP M = P M?O

m I X6*3I -ml,

【解析】

（1）先由直线解析式求岀点B, C坐标，利用ZOCA正切值求得点A坐标，再利

用待定系数法求解可得；

（2）由平移知点P'坐标为（1,・l・m）,设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC

交于点M,知M

SA =S A +S A ：= P BCP

P‘ M&L 解可得.

本题主要考查抛物线与X轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解 析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点.

25.【答案】解：（1 ）如图1屮，过点A,作AH 〃BC,交CD的延长线于点 H.

+1 m 賢一-IJ131-2 - - m (1 ,p^j),先得出 SA 二P~|AB?P， LJ a H=2 (m+1

U

，

P‘ MC

M?OBii -ml,根据SA =SA 列出方程求 凹

;

ABP BCP

VAB//CD , /.ZABC+ZC=180 ° , VZABC=90 0 , /.ZC=ZABC=ZH=90 0 , ・・・四边形AHCB是矩形， AAB=CH=5, VCD=3 ,

・・・DH =CH・ CD =2,

VZHAB=90 0 , ZDAB =45 0 , /.ZHAD=ZHDA =45 °

/.HD =AH =2, AE=AP* 词 根据勾股定理得，HE十E J砰3,则ED=1； (2)连接 CP,设 AP=x.

VAB//CD ,

・・・ZEPA二ZCEP,即等腰△ APE、等腰APEC两个底角相等,

AAAPE^APEC,壬陀=, 即：PE2=AE ?CE, 而

EC=2PB=2 ( 5-x), 即：PC2=CE?AP=2 ( 5-x) x, 而 PC2=PB 2+BC2,即：PC2 = (5-x) 2+22, /.2 ( 5-x) x= ( 5-x) 2 +22,

解得:

（不合题意值已舍去）

（3）如图3中，在线段CF上取一点G,连接EG.

设 ZF=a,贝ZAPE=ZAEP=ZBPF=90° ・a, 则：ZEAP =180° ・2ZAPE=2a , VAADE^AFGE ,设 ZDAE=ZF=a ,

由 ZDAB =45° ,可得 3 a =45° , 2 a =30° , 在 RtAADH 中，AH=DH =2 ,

在 RtAAHE 中，ZHEA=ZEAB=2a=30°

ZHAE=60° , /.HE

・•・ DE =HE -HD

=匡］＞2, EC=HC -HE =5・2匹I，

?tanZHAE =2

VAADE^AFGE ,

AZADC=ZEGF=135 * 贝lj ZCEG =45° , ・・・EG

妥］EC=5回2岡, ••鞋閤，

解得：FG=3『|J1・ 【解析】

(1) 如图，过点A,作AH〃BC,交CD的延长线于点H,在RtAAHE中求出AE ,

即可求求解；

(2) 设：AP=x ,利用△ APE^APEC,得出PC?二CE?AP,利用勾股定理得出 PC2=PB2+BC2,即可求解;

(3) 利用△ ADE ^AFGE,得到3 a =45° ,进而求出相 应线段的长度，再利相似比

AD DE FCr GE 即可求解.

本题属于三角形相似 综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其 中(3)中，利用三角形相似，确定a的大小，是本题的突破点，属于中考 压轴题.