．一 直线的参数方程在解题中的应用 吴 燕 （南通市天星湖中学，江苏南通２２６０１０） 在新课程标准下，苏教版《数学选修４—４》中安排了直线的 ｓｉｎｅｔ（ 是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有 参数方程，它是对《数学必修２》第二章平面解析几何初步中直 关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转 线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆 化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用．在解高 锥曲线的问题提供了另一条途径．数学实践和学生体会表明： 考数学试题时也有用武之地．下面我们以高考题为例加以 用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷．本文通 说明． 过具体的例子加以说明． 二、范围问题 一、计算问题 求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题．由于求参 利用直线参数方程｛数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点．如 【ｙ＝ｙ０Ｘ＝Ｘ。Ｈ ＋ｔｓｌ？ｎｏｔ （ ｔ为参数）中参数ｔ的几何 果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较 意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题． 简单． ２ ２ 例１：已知直线ｌ过点Ｐ（２，ｏ），斜率为 ，直线ｌ和抛物线ｙ ： 例２（２００８年高考福建卷理科第２１题）：如图，椭圆 ＋ ＝ ２ ２ｘ相交于Ａ、Ｂ两点，设线段ＡＢ的中点为Ｍ，求：（１）ＩＰＭＩ；（２）Ｍ ａｂ 点的坐标． １（ａ＞ｂ＞０）的一个焦点是Ｆ（１，０），Ｏ为坐标原点． 解：（１）设直线的倾斜角为 ，依题意可得ｔａｎａ＝ ４（Ｉ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三 ， 角形，求椭圆的方程： （Ⅱ）设过点Ｆ的直线ｌ交椭圆于Ａ、Ｂ两点．若直线ｌ绕点Ｆ任 ４ ３ ・。舢 了 了’ 意转动，恒有ＩＯＡＩ‘＋ＩＯＢＩ‘＜ＩＡＢＩ‘。求ａ的取值范围． Ｉｘ：２＋三ｔ ・．．直线ｌ的参数方程为｛１ ｄ ‘‘ （ ｔ为参数）（ ）． 解：（Ｉ）略，椭圆方程为一Ｘ＋Ｙ：１． ４ ３ 了 直线ｌ和抛物线相交，将直线的参数方程代人抛物线方 （Ⅱ）设直线ＡＢ的参数方程为｛ ｓＯ（ｔ为参数），代人 ’ＩＶ＝１：８１ｎＵ ． 程ｙ２＝２ｘ中．整理得 ＋ ＝１得 ８ｔ 一１５—５０＝０且△＞０．设方程的两个根为ｔ ＇ｌ２ ．Ｉ１＋ｔ：＝等’ｃｌｔ ａ ｂ （ｂ２ｃ０ｓ２０＋ａ２ｓｉｎ２０）ｔ２＋２ｂ２ｃｏｓｅｔ＋ｂ２ ａ２ｂ２＝０． ２５ ＝一——． 设上述方程的两根为ｔ。，ｔ ，由韦达定理知： 由于Ｍ为线段ＡＢ的中点，根据ｔ的几何意义，得ｌＰＭｌ－Ｉ竽 ｌ５ ｛ｌ ｔ１＋ｔ。一 ２ｂ‘ｃｏｓ０ ① １６ （２）’．‘中点Ｍ所对应的参数为ｔＭ＝ ＝ １５，将此值代人直 根据ｔ的几何意义，￣ＩＦＡＩ＝ｔ，，则ＩＦＢＩ＝一ｔ ，ＩＡＢＩ＝ｔ．一ｔ２， 线的参数方程（ ）， 又设Ａ（１＋ｔｌｃｏｓ０，ｔｌｓｉｎ０），Ｂ（１＋ｔ２ｃｏｓＯ，ｔ２ｓｉｎ０）， ‘‘．ＯＡＩ‘＋ＩＯＢＩ‘＜ＩＡＢＩ‘恒成立． 点Ｍ的坐标 Ｉｘ＝２＋三 旦： ＩｌＶ＝４ ５Ｘ １５ ３ ，Ｍ（ ４１・．．（１＋ｔｌｃｏｓ０） ＋（ｔｌｓｉｎＯ）‘＋（１＋ｔ２ｃｏｓ０）‘＋（ｔ２ｓｉｎ０）‘＜（ｔ１——ｔ２）‘， ，＝—— ‘ 扣为腻。 化简得：１＋（ｔ ＋ｔ，）ｃｏｓ０＋ｔ．ｔ，＜０，把①式代入得 ２ｂ２ｃｏｓ２０ ｂ２２ｂ ＿Ｉｘ：ｘ＾＋ｔｃｏ．ｓｃ￣（ｔ为参数）与曲线ｙ－ａ————＾—— ＜０． 一般地，直线｛ｙ＝ｙ ＋ｔｓｌｎｏｔ ｆ（ｘ）交于Ａ，Ｂ ｂ２ｃｏｓ２０＋ａ２ｓｉｎ２Ｏ ｂ２ｃｏｓ２０＋ａ２ｓｉｎ２０ 两点，对应的参数分别为ｔ ，则线段ＩＡＢｌ的中点Ｍ对应的参数 ２ ２ ２１ １２ ２二 ２ ２．．． 二 ２ ２ ２ ２ ＜０．， ｔ＝ ． ｂ ＣＯＳ廿＋ａ ｓｉｎ廿 显然有ａ２ｓｉｎ２０＿ｂ２ｃｏｓ２０＋ｂ －ａ。ｂ２＜０。 由ｔ的几何意义得ｌＰＡ…ＰＢｌ－ｌｔ。Ｉ＋ｌｔ￣ｌ＝ｔ，＋ｔ２＝３、／乏一． 即（ａ ＋ｂ ）ｓｉｎ ０一ａ２ｂ ＜Ｏ， 一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时， 则有弦长为Ｉ 广ｔ２Ｉ；直线上的点Ｐ到两交点的距离和为ｌＩｌｌ＋ｌ【２ｌ，距 ．．— 一．＞ｓｉｎ ０恒成立， 离涉及ｔ的正负时要加以区分． ａ ＋ｂ 因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数ＣＯＳ０￣， ・．・ｓｉｎ０∈ｆ０．１］． ５１ 浅析函数的一类“凸＂ 性质 陈志强 （常州市武进区横山桥高级中学，江苏常州 ２１３１１９） 摘 要：本文结合凸函数和平方凸函数的概念，给出了Ｎ 次幂凸函数的定义和判断Ｎ次幂凸函数的三个定理 关键词：凸函数平方凸函数Ｎ次幂凸函数 是上凸函数 预备知识 在引入新概念之前．我们再给 一个常用概念——平方 一、凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在 不等式研究中．凸函数所发挥的作用是无可替代的．本文对照 凸函数和平方凸函数的概念提出Ｎ次幂凸函数的概念，给 了 关于对数函数的ｌ一个“凸”性质，进一步拓展了凸函数的研究 领域．扩大了凸函数的应用价值．使凸函数在不等式研究巾发 挥更广泛的作用． 定义：设ｆ（ｘ）存区间Ｉ上有定义，如果对任意ｘ．，Ｘ，∈Ｉ，有ｆ ｘｌ＋ｘ，、 凸函数．通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别 用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一 规律．我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合Ｎ次 幂平均值，进一步建立了Ｎ次幂凸函数的概念． 定义２ ：设ｆ（ｘ）是定义在区间Ｉ Ｒ。上的正值函数，如果 对任意Ｘ．，Ｘ，∈Ｉ，ｔ∈（０，１）有 厂 — 厂 ——————一——— ——一 ｆ（Ｖｔｘ ＋（１一ｔ）ｘ：）≤Ｖｔｒ（ｘ ）＋（１一ｔ）ｆ（ｘ２） 则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上是平方下凸函数；反之，则称ｆ（ｘ）在区 间Ｉ上是平方上凸函数． 定义３：设是定义在区间Ｉ Ｒ’上的正值函数，如果对任意 Ｘ．，Ｘ，∈Ｉ，ｔＥ（Ｏ，１）有 ｆ（ｘ１）＋ｆ（Ｘ，） ２ （— —＿二）≤——＿＿一一— ２ 则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上是下凸函数；反之，则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上 是上凸函数． 拓展定义１…：设ｆ（ｘ）在区间Ｉ上有定义，如果对任意Ｘ ，Ｘ， ∈Ｉ，ｔ∈（０，１）有 ｆ（弋／ｔｘ¨＋（Ｉ－ｔ）ｘ：）≤Ｖｔｆ￣（ｘ ）＋（１－ｔ），（Ｘ２） 则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上是Ｎ次幂下凸函数；反之，则称ｆ（ｘ）在 区间Ｉ上是Ｎ次幂上凸函数． ｆ（ｔｘ，＋（１一ｔ）ｘ，）≤ｔｆ（ｘ．）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ，） 则称ｆ（ｘ）存区间Ｉ上是下凸函数；反之，则称ｆ（ｘ）在区间Ｉ上 ・．． ｂ ＞１ａ ＋ｌ１～ ， ② ③ ．．．ｔＲＥｔＦ，的直线为｛ ÷ ｏｓ （ｔ为参数） 【ｙ＝ｔｓｌｎｏｔ 其巾ＩＡＦ２Ｉ＝一ｔ ＩＢＦ，Ｉ＝一ｔ，， ．．．椭圆的一个焦点Ｆ（１，０），．．．ｃ：１，ｂ２＝ａ２＿ｃ２＝ａ２＿１ ２，ＩＡＢＩ＝ＩＡＦ２Ｉ－ＩＢＦ２Ｉ＝ＩＡＦｌ１＋２ａ—ＩＢＦｌ１＋２ａ＝４ａ＝４，即一ｔ１＋ｔ２＝４ ① 将直线参数方程代人双曲线方程，得８（３＋ｔｃｏｓ０）‘一ｔ ｓｉｎ Ｏ＝ ８．化简得 ２ ２ ＜（ａ 一１）ｂ２＝ｂ 由②，③得ａ２＜ａ２ｂ２＿ｈ２ａ， 因为ａ＞Ｏ，ｂ＞０，所１）２ａ＜ｂ ，即ａ 一ａ一１＞０， ＞ ｌ＋ 瓤 （ ， ＞ｌ＋ （９ｃｏｓ ０一ｌ １ｔ＋４８ｃｏｓ０・ｔ＋６４＝０． ． 由韦达定理知， ４８ｃｏｓ０ ６４ ｔ￣＋ｔ２ ———丁一，ｔｌｔ２ —— ｌ－９ｃｏｓ ０ ・ 本例在解题巾．充分发挥了直线参数方程在解题中的优 势（参数的几何意义、三角函数变换），由恒成立问题、三角函 数的值域．巧妙地利川椭圆中ａ、ｂ、Ｃ的关系实施转化，得到了 关于ａ的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方 法可行． 三、证明问题 ９ｃｏｓ ０－１ 由①式知ＩＡＢＩ＝ｔｔ￣－ｔ，Ｉ＝４， ・．．ＩＡＢＩ‘＝１６ ） ＿４× ② ：ｌ６，解得 另一方面， （ｔ￣－ｔ２） ：（ｔｌ＋ｔ２） －４ｈｔ２＝（ １—９ｃｏｓ ０ 。ｓ ０－－ ． 例３（２０１３年全国理科高考卷第２１题）：已知双曲线ｃ： 一 ９ｃｏｓ ０－１ Ｙ ＝１（ａ＞０ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ．，Ｆ２，离 Ｃ，－￣Ｎ３，直线ｙ＝２ ，９ ・．．ｂ ＩＡＦ 卜ＩＢＦ２ｌ＝ｔｉｔ２＝ ：１６ ③ 与Ｃ的两个交点间的距离为、／６． （Ｉ）求ａ，ｂ； （ＩＩ）设过Ｆ，的直线ｌ与Ｃ的左、 ● ” ９ｃｏｓ ０—１ 由②③知，ＩＡＦ，１．ＩＢＦ，Ｉ＝ＩＡＢＩ‘，即ＩＡＦ，Ｉ，ＩＡＢＩ，ＩＢＦ，Ｉ成等比 数列． 该题的常规解题思路有两种：（１）涉及直线与圆锥曲线综 合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但 ， １‘右两支分别相交于Ａ，Ｂ两点．且 ＩＡＦ Ｉ＝ＩＢＦ．１，证明：ＩＡＦ，ｌ，ＩＡＢＩ，ＩＢＦ，Ｉ 成等比数列． 因其运算量较大，学生常常望而生畏．特别用该方法求ＩＡＦ Ｉ、 ｌＡＦ’ｌ、ＩＢＦ．Ｉ、ｌＢＦ１旧寸还需用到两点间距离公式，无疑运算量又会 增大．（２）涉及在求ＩＡＦｌＩ、ＩＡＦ２Ｉ、ＩＢＦｌＩ、ＩＢＦ２Ｉ时可以用双曲线的焦 ２ 解：（Ｉ）易得ａ＝ｌ，ｂ＝２、／２， ｃ＝３。双曲线方程为ｘ ＝１． ８ （Ⅱ）如图，。． Ｆ （３，０） 半径公式，但这又超出考试大纲的要求．而利用直线参数方程 求解，简洁明快，是一种较好的选择．
