作者：吴业分 肖利华 文章来源：宁乡四中 发布时间：2011-10-12 点击数：102
吴业分 肖利华 湖南省宁乡县第四中学 410611
直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛.随着新一轮高中教材的改革,它的运用又呈现在人们的视线中.事实上用直线的参数方程表示直线在处理某些直线与圆锥曲线的位置关系等问题时有它独到的优势,我们通过几道解析几何综合题的解法来谈谈如何用直线的参数方程来优化解题.
直线方程过点M(,),且倾斜角为,则直线的参数方程为 (t为参数).与点M重合.
的几何意义是直线上点到
M的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点
下面举例说明直线的参数方程的应用
一 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离
例1.设直线经过点1)求直线和直线2)求直线和圆
(1,5),倾斜角为
,
的距离; 的距离的和与积.
的交点到点的两个交点到点
解:直线的参数方程为
1)将直线的参数方程中的x,y代入点
的距离为
( t为参数)
,得t=
.所以,直线和直线
的交点到
2)将直线的方程中的x,y代入=10.可知
均为负值,所以
=
,得
设此方程的两根为,则=
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 二 求直线与曲线相交的弦长
例2 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.
解 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为
(为参数)
代入整理得
由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。
∴===.
例3 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.
解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是 (t为参数)
即 把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数t的几何意义得
(t为参数)
点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.
三、求解中点问题
例4,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线
,由已知可得:
相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.
解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为
cos,
所以,直线的参数方程为代入
,整理得
(t为参数)
中点M的相应的参数是=
所以点M的坐标为
的方向向上;当t<0,则
的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于
点评:在直线的参数方程中,当t>0,则,这与二点之点的中点坐标有点相同. 四,求点的轨迹问题
例5．已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。
解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ −sin2θ) t2 +2(2x0cosθ −y0sinθ)t + (2x02 −y02 −2) = 0，
由题意t1 +t2=0，即2x0cosθ −y0sinθ =0，得。 又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上， ∴，即2x −y −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。
点评:这个题目的关键是运用t的几何意义,因为P1P2的中点为M,有 t1 +t2=0,再由韦达定理得2x0cosθ −y0sinθ =0,但是寻求
与
的关系,必须消去cosθ, sinθ.可以由斜率的几何意义来解决这个问题.
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总之,在研究线段的长度或线段与线段之间的关系等问题时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。
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