高中数列求an的常见方法

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高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列an满足a111，an1an2，求an。 2nn类型2 an1f(n)an 解法：把原递推公式转化为例:已知数列an满足a1例:已知a13，an1an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2n，an1an，求an。 3n13n1an (n1)，求an。 3n2类型3 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。 例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.

变式:递推式：an1panfn。解法：只需构造数列bn，消去fn带来的差异．

类型4 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。 （an1panrq,其中p，

q, r均为常数） 。 例:已知数列an中，a1nn511n1,an1an()，求an。 632类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列an：3an25an12an0(n0,nN)，

a1a,a2b，求数列an的通项公式。

解法二（特征根法）：数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b的特征方程是：

3x25x20。

22n1x11,x2,anAx1n1Bx2AB()n1。又由a1a,a2b，于是

33aABA3b2a2n1故a3b2a3(ab)() 2n3bABB3(ab)321例:已知数列an中，a11,a22,an2an1an，求an。

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类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))

S1(n1)解法：这种类型一般利用an与

SS(n2)n1n例：已知数列an前n项和Sn式an.

类型7 an1pananb4an12n2.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公

(p1、0，a0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

【例】、已知数列{an}满足a11，an3n1an1(n2)，则通项公式an