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高中数学:《递推数列》经典题型全面解析
类型1 an1anf(n)
解法:把原递推公式转化为an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列an满足a111,an1an2,求an。 2nn类型2 an1f(n)an 解法:把原递推公式转化为例:已知数列an满足a1例:已知a13,an1an1f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2n,an1an,求an。 3n13n1an (n1),求an。 3n2类型3 an1panq(其中p,q均为常数,(pq(p1)0))。 例:已知数列an中,a11,an12an3,求an.
变式:递推式:an1panfn。解法:只需构造数列bn,消去fn带来的差异.
类型4 an1panq(其中p,q均为常数,(pq(p1)(q1)0))。 (an1panrq,其中p,
q, r均为常数) 。 例:已知数列an中,a1nn511n1,an1an(),求an。 632类型5 递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数——迭加法):数列an:3an25an12an0(n0,nN),
a1a,a2b,求数列an的通项公式。
解法二(特征根法):数列an:3an25an12an0(n0,nN), a1a,a2b的特征方程是:
3x25x20。
22n1x11,x2,anAx1n1Bx2AB()n1。又由a1a,a2b,于是
33aABA3b2a2n1故a3b2a3(ab)() 2n3bABB3(ab)321例:已知数列an中,a11,a22,an2an1an,求an。
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类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))
S1(n1)解法:这种类型一般利用an与
SS(n2)n1n例:已知数列an前n项和Sn式an.
类型7 an1pananb4an12n2.(1)求an1与an的关系;(2)求通项公
(p1、0,a0)
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令
an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。
例:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.
【例】、已知数列{an}满足a11,an3n1an1(n2),则通项公式an
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